По |
заданной |
предельной |
абсолютной |
погрешностиe начальный |
шаг |
вычислений h устанавливают с помощью неравенства h4 < e . |
|
||||
Правило Рунге - Ромберга |
|
|
|
||
Пусть |
y2hk и |
yk2h - значения |
искомой |
функции, полученные одним |
из |
указанных методов при шагах вычисленияh и 2h соответственно, а e - заданная абсолютная предельная погрешность. Тогда считается, что достигнута заданная точность вычислений, если выполняется неравенство:
|
1 |
× |
|
y |
2(hk) -yk(2h) |
|
< e |
(4) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
2s -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
при всех k и |
при s |
= 2,3,4 |
соответственно для методов Эйлера, |
Эйлера - |
|||||
Коши, Рунге - Кутта. Решением задачи является функция {ykh }. |
|
|
|||||||
Применяя |
указанное |
|
правило, последовательно |
вычисляют |
значения |
||||
искомой функции с шагом 2h и с шагом h и сравнивают полученные результаты по формуле (4). Вычисления заканчивают, когда неравенство (4) выполняется при всех k.
Пример решения поставленной задачи
Функцию варианта задания оформляем как процедуруфункции, используя
вменю оболочки QBasic.
·дифференциальное уравнение (Y¢(x))
FUNCTION f (x, y0)
f = < функция соответствующего варианта >
END FUNCTION
•интервал (а, b), шаг (h), краевое значение функции (у0)
Блок-схема для задачи решения дифференциального уравнения имеет вид.
40
БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ
начало |
Головно |
вход |
Подпрограмма |
||
|
|
й модуль |
|
|
Функции |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
a, b, h, y0 |
|
|
|
|
|
|
f = ... |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
yy = y0 |
|
выход |
|
|
|
|
|
eiler |
|
|
|
yy = y0 |
|
|
|
koshi |
|
вход |
Подпрограмм |
|
|
|
а для метода |
yy = y0 |
|
i = 1 |
Эйлера |
|
|
||
|
|
|
|
runge |
|
eilerM(i) = y0 |
|
i = 1 |
|
x = a |
|
x = a |
|
x≤ b+h/2 |
|
|
|
|
|
x ≤ b+h/2 |
|
y = y0 + h * f(x, y0) |
выход |
|
|
||
x, eilerM(i), |
конец |
y0 = y |
|
koshiM(i), |
|
|
|
rungeM(i) |
|
i = i + 1 |
|
|
|
|
|
i = i + 1 |
|
eilerM(i)=y0 |
|
x = x + h |
|
x = x + h |
|
|
|
|
|
|
вход |
Подпрограм |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ма для |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метода |
|||
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
Эйлера- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коши |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
koshiM(i)=y0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≤ |
b+h/2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
выход |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k1 = h * f(x, y0) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 = h * f(x+h, y0+k1) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y0 + (k1 + k2)/2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = i + 1
koshiM(i) = y0
x = x + h
|
|
|
вход |
|
|
Подпрограм |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ма для |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
метода |
||
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
Рунге-Кутта |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rungeM(i) = y0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≤ b+h/2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
выход |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k1 = h * f(x, y0) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 = h * f(x+h/2, y0+k1/2)
k3 = h * f(x+h/2, y0+k2/2)
k4 = h * f (x + h, y0 + k3)
y = y0 + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6
y0 = y
i = i + 1
rungeM(i) = y0
x = x + h
42
Запись всех подпрограмм можно осуществить через меню оболочки QBasic:
1.Alt - вход в меню
2.Edit®New SUB … - создание новой подпрограммы
3.Edit®New FUNCTION… - создание новой подпрограммы функции
4.Набираем в диалоговом окне новое имя подпрограммы (например: eiler)
На экране появляется заготовка для создания подпрограммы: SUB <имя подпрограммы, параметры>
<текст подпрограммы> END SUB
1. Приступаем к написанию подпрограммы между ключевыми словамиSUB
и END SUB
2. Все вспомогательные подпрограммы объединяются управляющ программой или головным модулем.
3.Переход от текста управляющей программы к текстам подпрограммам происходит при нажатии клавиш F2.
ВИД ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ QBASIC
Головной модуль на языке QBasic
DECLARE SUB eiler (a!, b!, h!, y0!)
DECLARE SUB koshi (a!, b!, h!, y0!)
DECLARE SUB runge (a!, b!, h!, y0!)
DECLARE FUNCTION f! (x!, y0!)
CLS
DIM SHARED eilerM(1000), koshiM(1000), rungeM(1000)
INPUT "левый конец интервала a= "; a
INPUT "правый конец интервала b= "; b
INPUT "шаг "; h
INPUT "краевое значение функции Y0= "; y0
yy = y0 'сохранение краевого значения функции
REM Вызов Метода Эйлера
43
CALL eiler(a, b, h, yy) yy = y0
REM Вызов Метода Эйлера-Коши |
|
|
|
|
CALL koshi(a, b, h, yy) |
|
|
|
|
yy = y0 |
|
|
|
|
REM Вызов Метода Рунге-Кутта |
|
|
|
|
CALL runge(a, b, h, yy) |
|
|
|
|
PRINT "-------------------------------------------------------------- |
|
|
" |
|
PRINT "│ x │ elier │ koshi │ runge │" |
|
|
|
|
PRINT "-------------------------------------------------------------- |
|
|
" |
|
L$ = "│ #.# │ ##.##### │ ##.##### │ ##.##### │" |
|
|
||
i = 1 |
|
|
|
|
FOR x = a TO b + h / 2 STEP h |
|
|
|
|
PRINT USING L$; x; eilerM(i); koshiM(i); rungeM(i) |
|
|
||
i = i + 1 |
|
|
|
|
NEXT x |
|
|
|
|
PRINT "-------------------------------------------------------------- |
|
|
" |
|
END |
|
|
|
|
Первые четыре строчки пишутся автоматически при присоединении |
||||
подпрограмм к головному модулю в результате выполнения команды Save All. |
|
|||
Подпрограмма |
для |
решения |
дифференциального |
урав |
методом Эйлера: |
|
|
|
|
SUB eiler (a, b, h, y0) |
|
|
|
|
i = 1 eilerM(i) = y0
FOR x = a TO b + h / 2 STEP h y = y0 + h * f(x, y0)
y0 = y i = i + 1
44
eilerM(i) = y0
NEXT x
END SUB
Подпрограмма |
для |
решения |
дифференциального |
ур |
методом Эйлера-Коши:
SUB koshi (a, b, h, y0)
i = 1 koshiM(i) = y0
FOR x = a TO b + h / 2 STEP h k1 = h * f(x, y0)
k2 = h * f(x + h, y0 + k1) y = y0 + (k1 + k2) / 2
y0 = y i = i + 1
koshiM(i) = y0 NEXT x
END SUB
Подпрограмма |
для |
решения |
дифференциального |
ур |
методом Рунге-Кутта:
SUB runge (a, b, h, y0)
i = 1 rungeM(i) = y0
FOR x = a TO b + h / 2 STEP h k1 = h * f(x, y0)
k2 = h * f(x + h / 2, y0 + k1 / 2) k3 = h * f(x + h / 2, y0 + k2 / 2) k4 = h * f(x + h, y0 + k3)
y = y0 + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6 y0 = y
i = i + 1
45