![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел второй Кинематика точки и твердого тела
- •Глава 5. Кинематика точки
- •5.1. Введение в кинематику
- •5.2. Способы задания движения точки
- •5.2.1. Координатный способ задания движения точки
- •5.2.2. Векторный способ задания движения
- •5.2.3. Естественный способ задания движения
- •5.3. Определение скорости точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения
- •5.3.3. Естественный способ задания движения
- •5.4. Определение ускорения точки
- •5.4.1. Векторный способ задания движения
- •5.4.2. Координатный способ задания движения
- •5.4.3. Естественный способ задания движения
- •Глава 6. Поступательное и вращательное движения твердого тела
- •6.1. Поступательное движение твердого тела
- •6.2. Вращательное движение твердого тела
- •6.6. Определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела
- •Глава 7. Плоское движение твердого тела
- •7.1. Уравнения плоского движения
- •7.2. Определение скоростей точек тела
- •7.3. Мгновенный центр скоростей.
- •7.4. Определение ускорений точек тела
- •7.5 Мгновенный центр ускорений
- •Глава 8. Сложное движение точки
- •8.1. Относительное, переносное и абсолютное движения
- •8.2. Определение абсолютной скорости
- •8.3. Определение абсолютного ускорения. Теорема Кориолиса
- •Глава 9. Сложное движение твердого тела
- •9.1. Сложение вращательных движений вокруг параллельных осей
- •9.1.1 Вращения направлены в одну сторону
- •9.1.2 Вращения направлены в противоположные стороны
- •9.2. Сложение поступательных движений
- •9.3. Сложение поступательного и вращательного движений
- •9.4. Сложение вращательных движений относительно пересекающихся осей
- •9.5. Сферическое движение тела
- •9.6 Общий случай движения твердого тела
Координатный способ задания движения
Перейдем от координатного способа задания движения к векторному на основе (2.3). Тогда с учетом (2.6) имеем
|
(2.7) |
Откуда
Следовательно проекции скорости на координатные оси определяются первыми производными по времени от соответствующих координат. Модуль скорости
|
(2.8) |
Направляющие косинусы вектора скорости относительно координатных осей определяются выражениями (рис. 2.7):
5.3.3. Естественный способ задания движения
Дана траектория
точки и закон изменения координаты по
этой траектории
Пусть в момент времени tточка занимала положение М, а в момент времениt1положение М1(рис. 2.8).
За время
координата получила приращение
,
тогда
то есть средняя скорость равна отношению
приращения криволинейной координаты
к соответствующему промежутку времени.
Для нахождения истинной скорости перейдем к пределу
|
(2.9) |
Численное значение скорости точки при естественном способе задания движения определяется первой производной по времени от криволинейной координаты. Скорость всегда направлена по касательной к траектории точки.
Пример 2.3.Определить скорость точки приt = 1 c,
для ее движения по законум.
На основе (2.9) находим
.
Для заданного момента времени
то есть скорость направлена влево (рис.
2.8).
Пример 2.4.ТочкаMдвижется в соответствии с уравнениями
|
(а) |
Определить величину
и направление вектора скорости точки
и указать ее положение на траектории в
момент времени
.
Решение.Исключая время из уравнений движения, по аналогии с примером 2.1, найдем уравнение траектории
|
(б) |
Следовательно,
в данном случае точка движется по эллипсу
(рис. 2.9). При
точка
имела координаты
;
м.
В заданный момент времениtкоординаты точки
м,
м.
Найдем проекции вектора скорости на
оси координат:
,
м/с;
,
м/с.
При
;
м/c;
м/c;
тогда модуль скорости
м/с. Направление вектора скорости можно
найти по его проекциям на оси координат,
или по направляющим косинусам. В
частности,
(
).
Очевидно, при выполнении рисунка в
масштабе вектор скорости
,
найденный по его проекциям
и
,
должен быть направлен по касательной
к траектории в точкеM.
5.4. Определение ускорения точки
5.4.1. Векторный способ задания движения
Ускорением материальной точки называется векторная величина, характеризующая изменение во времени величины и направления вектора скорости.
Пусть точка движется по криволинейной траектории. В момент времени tона занимает положение М и имеет скоростьV, а в момент времениt1– положение М1и скоростьV1(рис. 2.10).
За
промежуток времени
вектор скорости изменится на величину
.
Очевидно отношение
|
(2.10) |
есть среднее
ускорение за время
.
Истинное значение ускорения найдется
как предел отношения (2.10):
|
(2.11) |
Ускорение точки определяется первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиус-вектора точки по времени
|
(2.11’) |
Вектор ускорения всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.
5.4.2. Координатный способ задания движения
Для определения ускорения в соответствии с (2.11) вычислим векторную производную от вектора скорости (2.7)
|
(2.12) |
Из (2.12) вытекает:
|
(2.13) |
Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси определяются вторыми производными от соответствующих координат по времени. Модуль ускорения
|
(2.14) |
Направление вектора ускорения определяется через направляющие косинусы:
|
(2.15) |