25. Вероятность ошибки при оптимальном приеме в канале со случайной фазой
Рассмотрим равновероятную передачу ЧМ сигналов по каналу со случайной фазой. Вероятность ошибки в этом случае вычисляется как
1 q−1
Pe = q ∑i=0 Pe (i) ,
где Pe (i) - вероятность ошибки при передаче i -го сигнала. Всегда справедливо равенство Pe (i) =1 − Pc (i) , где Pc (i) вероятность правильного приема при
передаче i -го сигнала. Оптимальное правило принятия решения имеет вид
i) = arg max ξi 2 ,
0≤i≤q−1
где ξi 2 = (rci )2 + (rsi )2 . Следовательно,
q−1
Pc (i) = Pr I(ξi 2
k =0
k ≠i
> ξk 2 ) | i .
При передаче i -го |
сигнала ξi2 = ( E cosθ + nci )2 + ( E sinθ + nsi )2 , |
и |
ξk2 = (nck )2 + (nsk )2 , где |
θ - случайный фазовый сдвиг, nci , nsi , nck , nsk |
- |
независимые гауссовские с.в., распределенные с параметрами (0, N0 / 2) . |
|
|
При вычислении величины Pc (i) поступим следующим образом.
Поскольку величины ξk , k = 0,1,..., q −1, k ≠ i , и ξi независимы, то можно фиксировать значение ξi , найти значение условной вероятности при
фиксированном ξi , то есть Pc (i,ξi ) , а потом усреднить полученное выражение
по ξi .
Пусть ξi фиксировано. Тогда, в силу независимости величин ξk ,
Pc (i,ξi ) = ∏q−1 Pr[ξi 2 >ξk 2 ]= ∏q−1 Pr[ξi2 > (nck )2 + (nsk )2 ]=
|
k =0 |
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
k ≠i |
|
|
|
|
k ≠i |
|
|
|
|
|
q−1 |
|
|
ξ 2 |
|
|
|
|
ξ 2 |
q−1 |
||
= ∏ 1 |
− exp |
− |
i |
|
|
= 1 |
− exp |
− |
i |
|
. |
N |
|
N |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kk ≠=0i |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
Переход от первой ко второй строке этого равенства выполняется путем перехода к полярным координатам при интегрировании гауссовских плотностей по той же схеме как это было сделано при получении верхней границы вероятности ошибки для КАМ . Далее имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ 2 |
q−1 |
|
|
|
P |
(i) = P |
(i,ξ |
|
|
− |
, |
(25.1) |
|||||||
) = 1 |
− exp |
i |
|
|
||||||||||
c |
|
c |
i |
|
|
|
|
|
|
N |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где черта сверху означает усреднение по ξi |
(то есть по всем с.в., определяющим |
|||||||||||||
ξi ) . Рассмотрим выражение под чертой в правой части (25.1). |
||||||||||||||||||||
тождество (a +b) N |
= ∑lN=0 CNl |
a N −l bl , можно записать, что |
|
|
||||||||||||||||
|
|
ξ |
|
2 |
|
q−1 |
q−1 |
|
|
|
|
|
|
|
lξ |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
−exp − |
|
i |
|
|
|
= ∑Cql −1 (−1)l |
exp |
− |
|
|
i |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
0 |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После подстановки (25.2) в (25.1) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
q−1 |
l |
|
l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lξi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Pc (i) = ∑Cq−1 (−1) |
exp − |
|
N0 |
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
l =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q−1 |
|
|
|
l(( E cosθ + nci ) |
2 |
+ ( |
E sinθ + nsi ) |
2 |
|
l |
(−1) |
l |
− |
|
|
) |
|||
= ∑Cq−1 |
exp |
|
N0 |
|
|
. |
|||
l =0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя
(25.2)
(25.3)
При усреднении в правой части (25.3) полезной оказывается следующая лемма.
Лемма. Пусть x - гауссовская случайная величина , распределенная с
параметрами (m,σ 2 ) , α - постоянная, такая что α <1/(2σ 2 ) . Тогда
|
|
|
1 |
|
|
αm |
2 |
|
|
exp(αx |
2 |
) = |
|
|
|
2 |
|
||
|
1 − 2ασ 2 |
exp |
1 |
− 2ασ |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
□.
Применяя эту лемму к усреднению правой части (25.3), получим
q−1 |
|
l 1 |
|
|
l E |
|
|||
l |
|
|
|
|
|||||
Pc (i) = ∑Cq−1 |
(−1) |
|
|
exp |
− |
|
|
|
. |
1 + l |
|
|
|
||||||
l =0 |
|
|
|
l +1 N0 |
|||||
Правая часть этого равенства не зависит от номера переданного сигнала; это значит, что и безусловная вероятность правильного приема Pc вычисляется по
этой же формуле. Поскольку Pe =1 − Pc , то имеем окончательное выражение для
вероятности ошибки
q−1 |
|
l +1 1 |
|
|
l E |
|
|
|||
l |
|
|
|
|
|
|||||
Pe = ∑Cq−1 |
(−1) |
|
|
exp |
− |
|
|
|
. |
(25.4) |
1 +l |
|
|
|
|||||||
l =1 |
|
|
|
l +1 N0 |
|
|||||
Выражение (25.4) дает точное значение вероятности ошибки. Простая верхняя оценка может быть получена на основе аддитивной границы. Она имеет вид
P < |
q −1 |
exp(−E / 2N |
0 |
) . |
(25.5) |
|||||
|
|
|
||||||||
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При q = 2 , то есть для двоичных сигналов, из (25.4) следует, что |
|
|||||||||
P = |
1 |
exp(−E / 2N |
0 |
) . |
|
(25.6) |
||||
|
|
|||||||||
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что (25.6) следует и из (25.5) и из (25.4), то есть аддитивная граница
(25.5) при q = 2 дает точное значение.
а |
б |
|
Рис.25.1 Вероятность ошибки (а) и верхняя граница вероятности ошибки (б)
На рис.25.2 показаны графики вероятности ошибки для двоичных ЧМ сигналов в канале с АБГШ и в канале с АБГШ и случайной фазой. Из этих графиков следует, что в канале со случайной фазой вероятность ошибки больше и может быть компенсирована незначительным (в практически важных случаях на 0.5…0.8 дБ) увеличением отношения сигнал/шум. С увеличением отношения сигнал/шум дополнительные энергетические затраты, связанные со случайным фазовым сдвигом, быстро уменьшаются.
В заключение отметим, что выражения (25.4), (25.5) и (25.6) справедливы для передачи по каналу с АБГШ и случайной фазой при использовании не только ЧМ сигналов, но и сигналов с ортогональными огибающими.
Рис.25.2 Вероятность ошибки для двоичных ЧМ сигналов