Интегрирование. Пусть g(t) ↔

Доказательство.

g(t) h(t) ↔

∞∫ ∫∞

h(τ ) g(t −

τ )dτ e− j 2π ft dt =

∞∫ h(τ ) ∫∞

g(t − τ )e− j 2π ft dtdτ =

− ∞ − ∞

− ∞

− ∞

=

∞∫ h(τ )G( f )e− j 2π fτ dτ = H ( f )G( f ) .

−

∞

s(t)e j 2π f0t ↔

S( f ) δ ( f − f0 ) = S( f − f0 ) .

Теорема о свертке может

быть проиллюстрирована

на примере линейной

Линейный фильтр задается импульсной переходной характеристикой фильтра h(t) .

Пусть

x(t) сигнал на входе линейного фильтра, тогда выходной сигнал

y(t) связан с входным

сигналом соотношением

y(t) = ∫−∞∞ h(t − τ )x(τ )dτ = h(t) x(t) .

(6.1)

Если взять преобразование Фурье от обеих частей этого равенства и применить

теорему о свертке, то получим, что Y ( f ) = H ( f ) X ( f ) , где Y ( f ) ↔

y(t) , X ( f ) ↔

x(t) и

H ( f ) ↔ h(t). Функция H ( f )

называется частотной переходной характеристикой фильтра.

Рис. 6.1 поясняет сказанное.

y(t) = h(t) x(t)

x(t)

Линейный

фильтр

h(t) ↔ H ( f )

X ( f )

Y ( f ) = H ( f ) X ( f )

Рис.6.1. Линейная фильтрация

фильтра как реакции фильтра на входной сигнал в виде δ

-функции.

Заметим также, что

частотная характеристика фильтра может быть определена как

отношение

спектров

выходного и входного сигналов, то есть H ( f ) = Y ( f ) / X ( f ).

Равенство Парсеваля. Пусть s(t) ↔ S( f ) , тогда

∞∫ s2 (t)dt =

∞∫

S( f )

2 dt .

Доказательство.

− ∞

− ∞

∞∫ s2 (t)dt =

∞∫ s(t)s(t)dt =

∞∫ ∫∞

S( f )e j 2π ft df

s(t)dt =

∞∫ S( f ) ∫∞

s(t)e j 2π ft dtdf

=

− ∞

− ∞

− ∞ − ∞

− ∞

− ∞

#$$"$$!

= s(t )

=

∞∫ S( f )S ( f )df =

∞∫

S( f )

2 df .

−

∞

− ∞

Найдем

его

спектр,

используя

ранее

установленные

соотношения A & A% ( f ) и

g(t) exp( j2 f0t) & G( f f0 ) , где

g(t) & G( f ) . Используя формулу Эйлера для косинуса,

cos x (e jx # e jx ) / 2 , имеем

s(t) A

1

(e j 2 f0t e j! # e j 2 f0t e j! ) &

A

(% ( f

f0 )e j! # % ( f # f0 )e j! ).

2

2

Аналогично, для синусоидального сигнала s(t) Asin(2 f0 t # ! )

s(t) A

1

(e j 2 f0t e j! e j 2 f0t e j! ) &

A

(% ( f

f0 )e j! % ( f # f0 )e j! ).

2 j

2 j

При ! 0

A

(% ( f

f0 ) # % ( f # f0 )) ,

Acos 2 f0t &

2

то есть спектр вещественный, так как сигнал задается четной функцией, и

Asin 2 f0t &

A

(% ( f

f0 ) % ( f

# f0 )),

2 j

то есть спектр мнимый, так как сигнал задается нечетной функцией. □

Спектр произведения произвольного сигнала и гармонического сигнала. Пусть

сигнал

определен

как s(t) g(t)c(t) ,

где

g(t)

-

некоторая произвольная функция

(огибающая), а c(t) cos(2 f0t # ! )

- гармонический сигнал (несущая). Найдем спектр S( f )

сигнала

s(t) .

По теореме о свертке S( f ) G( f ) C( f ) ,

где G( f ) & g(t) , C( f ) & c(t) .

Поскольку c(t)

гармонический сигнал, то

C ( f ) 1 (% ( f

f 0 ) e j! # % ( f # f 0 )e j! ).

2

Тогда

(% ( f f0 )e j! # % ( f # f0 )e j! )

e j!

e j!

S( f )

1

G( f )

G( f ) % ( f f0 ) #

G( f ) % ( f # f0 )

2

2

2

Спектр последовательности сигналов.

Пусть

{si (t)}

- сигнальное

множество,

i 0,..., q 1. Определим последовательность

индексов

i (i0 ,i1 ,..., iN 1 )

длины

N ,

где

il 6{0,1,..., q 1} , 0 / l / N 1. Определим также последовательность сигналов длины

N ,

определяемую последовательностью индексов

i ,

si (t) 7N 1 sil

(t lT )

где

T

- период

l 0

следования сигналов. Например, для

N 7 и

i (5,2,0,3,1,3,3),

сигнальная

последовательность образована сигналами s5 (t),

s2 (t),

s0 (t),

s3 (t),

s1 (t),

s3 (t), s3 (t) .