Определение. Стационарный случайный процесс называется гауссовским, или

независимы. Обратное верно для любого распределения, то есть независимые случайные величины не коррелированны. Иначе говоря, некоррелированность и независимость для гауссовских случайных величин эквивалентны. □

коэффициентом корреляции и лежит в интервале [/1,(1] . На рис.8.1 показаны графики функций плотности вероятностей wx ( ) вектора x ! (x1 , x2 ) для различных значений параметров распределения. Видно, что при ! 0 функция плотности вероятностей имеет

круговую симметрию относительно вертикальной оси, проходящей через точку (m1 , m2 ) . В

общем случае (при Α 0 ) линии уровня функции плотности вероятностей имеют вид

эллипсов.□

m1 ! 1 m2 ! 1.5

; 2 ! 1! 0

m1 ! 1 m2 ! 1.5

; 2 ! 1

! 0.9

Рис.8.1 Двумерная гауссовская плотность вероятностей; а) графики плотности, б) линии уровня

Это значит, что корреляционная функция определяет корреляционную матрицу для любого набора отсчетов, следовательно, корреляционная функция полностью задает описание стационарного гауссовского процесса с нулевым средним.

есть средняя мощность процесса с нулевым математическим ожиданием численно равна его дисперсии. Поскольку спектральная плотность мощности однозначно связана с корреляционной функцией процесса, то она также как и корреляционная функция полностью определяет стационарный гауссовский процесс с нулевым средним.

На рис.8.2 показаны три примера корреляционной функции, спектральной плотности мощности и типичной реализации гауссовского случайного процесса. Первый пример соответствует слабо коррелированному (быстро изменяющемуся) процессу, его спектр мощности почти равномерен. Во втором примере корреляция больше, а спектр – уже. Третий пример соответствует процессу с наибольшей корреляцией и наименее узким спектром.

9. Белый гауссовский шум

Формально белый гауссовский шум (БГШ) определяется как гауссовский

определенная как

ng = ∞∫g(t)n(t)dt ,

−∞

обладает следующими свойствами: а) ng – гауссовская случайная величина

(г.с.в.), б) ng = 0 , в) ng2 = (N0 / 2) g 2 . Случайная величина ng может рассматриваться как скалярное произведение n(t) и g(t) , то есть ng = (g, n) .

Найдем корреляционную функцию БГШ. Известно, что K n (τ) ↔ Sn ( f )

Поскольку Sn ( f ) = N0 / 2 , то Kn (τ) = (N0 / 2)δ(τ) .

В дальнейшем будет использоваться одно важное свойство БГШ, сформулированное в виде следующего утверждения.

Утверждение. Скалярные произведения БГШ и ортогональных функций независимы.

Доказательство. Пусть ϕ1 (t) иϕ2 (t) - ортогональные функции, т.е. (ϕ1 ,ϕ2 ) = 0 . Скалярные произведения БГШ и функций ϕ1 (t) и ϕ2 (t) определены как

n1 = (n,ϕ1 ) = ∞∫n(t)ϕ1 (t)dt , n2 = (n,ϕ2 ) = ∞∫n(t)ϕ2 (t)dt .

г.с.в. Найдем корреляционный момент (корреляцию) этих величин n1n2 . Эта величина равна

Переход в третьем равенстве основан на использовании фильтрующего свойства δ -функции, а последний переход – на ортогональности функций ϕ1 (t)

Для описания приема (процесса формирования решения о переданном сигнале) используем понятие решающей области. Разобьем некоторым образом множество всех возможных значений вектора r на q непересекающихся

построения оптимального приемника может быть переформулирована как задача построения решающих областей, обеспечивающих минимальную вероятность ошибки.

принятия решения в пользу i -го сигнала при условии, что полученный вектор равен r . Тогда вероятность ошибки равна

i#0 Ri

Чтобы вероятность ошибки была минимальной, должна быть максимальной сумма в правой части (10.1), то есть нужно назначить решающие области таким образом, чтобы эта сумма была максимальной. Поскольку решающие области не пересекаются, то условие максимизации суммы эквивалентно максимизации каждого слагаемого этой суммы, то есть значения интеграла )Ri Pr[i | r]w(r)dr .

Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то легко видеть, что значение этого интеграла максимально, если положить

Ri # r : Pr[i | r]w(r) Pr[i, | r]w(r),−i, % i+

или, исключая из определения области несущественный для этого множитель,

Вероятности Pr[i | r] это апостериорные вероятности приема i . Поэтому прием решений с использованием решающих областей (10.2) называется приемом по максимуму апостериорной вероятности (МАВ). С использованием формулы Байеса имеем Pr[i | r] # w(r | i)Pi / w(r) , тогда равенство (10.2) можно переписать в виде

Тогда алгоритм оптимального приема можно записать следующим образом: по принятому из канала сигналу вычислить вектор r коэффициентов разложения по базису и положить i! # k , если r Rk , где решающие области определены равенством (10.3). Иллюстрация приведена на рис. 10.3.

Вычисление значения w(r | 0)P0

Вычисление значения w(r | q !1)Pq!1

Рис.10.3 Схема оптимального приемника (приемника по МАВ)

На практике часто встречается случай, когда сигналы передаются равновероятно, то есть Pi # 1/ q для всех i , i # 0,1,..., q !1. В этом случае

определение решающих областей и оптимального приемника можно упростить,

исключив из определения (10.3) одинаковые априорные вероятности.

Получающийся в этом случае алгоритм носит название приема по максимуму правдоподобия (МП), а решающие области принимают вид