3. Транспортная задача в сетевой постановке

Наряду с матричной широко используется сетевая постановка транспортной задачи, позволяющая более тонко учесть транспортный аспект. Транспортная сеть задается в этом случае с помощью графа, вершины которого соответствуют пунктам отправления, назначения и транзитным узлам, а дуги – магистралям. Неизвестные задачи – переменные модели – объемы перевозок по каждой дуге, которые могут быть ограничены пропускной способностью или той ее частью, которая выделена для перевозок данного груза. Кроме того, может быть ограничен возможный объем обработки груза в каждом транзитном узле. Учет транспортных затрат ведется раздельно по их составляющим – на каждой дуге (линейно зависит от объема потока по ней) и в каждом узле (линейно зависит от объема переработки груза). Производственные затраты учитываются так же как и в матричной постановке.

Для формальной записи сетевой транспортной задачи введем неориентированный граф , где- множество вершин,- множество дуг,- пропускная способность дуги,- мощность по обработке единицы груза,- затраты на перевозку единицы груза по дуге,- затраты на обработку груза в узле,- объем перевозки по дуге. В этих обозначениях транспортная задача в сетевой постановке имеет вид:

, ; (3.1.)

, ,; (3.2.)

, ,; (3.3.)

. (3.4.)

Правая часть балансовых соотношений (3.2.) имеет различный смысл в зависимости от роли узла . Для пунктов отправления данного грузаи указывает его наличие, для пунктов назначенияи равно потребности. Для остальных узлов, выполняющих применительно к данному продукту чисто транзитные функции,. Возможны более сложные формы записи левых частей ограничений (3.3.) на мощность транспортных узлов и второй части функции цели (3.4.), в частности избирательное суммирование и т.п. – для уточнения калькуляции нагрузки на узел.

Рассмотренные постановки достаточно условны с экономической точки зрения. Так, предположение об однородности продукта означает, что две его любые единицы полностью идентичны как в производственном, так и в потребительском аспекте, что не всегда выполняется даже для массовых грузов. Грубым является и предположение о линейной зависимости затрат на перевозку от ее объема. Нелинейность зависимости затрат от расстояния может в данном случае и не играть роли, поскольку удельные затраты фиксируются для каждой дуги или для каждой пары «пункт отправления – пункт назначения». Замена линейных зависимостей на нелинейные в целевых функциях позволяет в ряде случаев более тонко учесть экономическое содержание плановой проблемы, сохранив при этом ряд существенных свойств транспортной задачи. Подобные модификации и другие обобщения приводят к широкому классу задач транспортного типа.

Если отказаться от предпосылки об однородности продукции, получим класс многопродуктовых задач. В предположениях полной взаимозависимости различных продуктов в производственном аспекте (т.е. отсутствии общих лимитированных ресурсов) и полной невзаимозаменяемости у потребителей многопродуктовая задача разлагается на независимые однопродуктовые задачи. Однако, учет хотя бы частичной взаимозависимости продуктов с точки зрения производства либо взаимозаменяемости в потребительском аспекте превращает модель в распределительную задачу, которая сохраняет лишь некоторые из специфических свойств транспортной задачи, либо в общую задачу линейного программирования, когда такие свойств утрачиваются полностью.

Современные компьютеры позволяют решать транспортную задачу при нескольких десятках тысяч неизвестных и ограничений. Поэтому узкими местами становятся подготовка данных и, в еще большей степени, способность человека воспринимать расчеты в целом. Рост быстродействия и объема памяти компьютера привели к тому, что все чаще транспортные задачи решают с помощью широко распространенных пакетов прикладных программ, реализующих универсальные алгоритмы математического программирования:

1. при необходимости усложнений модели, превращающих ее в общую задачу, универсальный алгоритм в отличие от общего остается применимым;

2. всякое специализированное средство требует определенных затрат, окупающихся лишь по достижении некоторого объема его использования. Однако и при этом транспортная задача сохраняет значение как теоретическая схема, важная на стадиях разработки и анализа модели.

Среди специализированных алгоритмов решения транспортной задачи наиболее известны метод потенциалов и весьма эффективный метод Форда-Фалкерсона. Среди математически близких транспортной задачи следует отметить задачу оптимального назначения.