11. Итеративное агрегирование межотраслевой балансовой модели

Итеративное агрегирование является методом решения систем алгебраических уравнений и задач математического программирования и основано на многократном решении агрегированной задачи меньшей размерности с параметрами, изменяющимися от итерации к итерации в результате корректировок. Основу метода составляют:

1. построение агрегированной задачи по приближенному решению и условиям исходной задачи (операция агрегирования задачи);

2. построение по точному или приближенному решению агрегированной задачи приближенного решения исходной задачи (операция дезагрегирования).

В зависимости от типа задачи выбираются конкретные способы осуществления этих операций.

Являясь методом решения строго сформулированных задач планирования и прогнозирования балансового и оптимизационного типов, итеративное агрегирование представляет одну из логических схем процесса обмена информацией в сложных иерархических системах. Операция дезагрегирования решения и частично операция агрегирования задачи могут осуществляться в отдельных подсистемах общей системы, выделение которых предопределяется выбранным способом агрегирования. Таким образом, итеративное агрегирование соответствует декомпозиционному подходу в управлении сложными системами.

Под агрегированием понимается приближенное описание подсистем с помощью меньшего числа важнейших показателей – функции от переменных, в совокупности достаточно полно и точно характеризующих подсистемы.

Метод итеративного агрегирования наиболее полно разработан для линейного случая, т.е. для решения систем линейных алгебраических уравнений и задач математического программирования с ограничениями, линейными по основным переменным, когда операции агрегирования и дезагрегирования становятся простыми.

Впервые метод итеративного агрегирования был предложен для статической модели межотраслевого баланса, на примере которого он иллюстрируется ниже.

Пусть - заданная матрица удельных прямых материальных затрат, удовлетворяющая условиям:

.

- заданный вектор конечного продукта;

- искомый вектор валового продукта.

Тогда статическая модель межотраслевого баланса представляется системой уравнений

, (11.1)

при дополнительном условии .

Агрегированной системой уравнений межотраслевого баланса при заданном приближенном решении данной системы назовем

, (11.2)

где

- полуагрегированные коэффициенты прямых затрат;

- агрегированные коэффициенты прямых затрат;

- множество номеров переменных , задающее разбиениеотраслей исходного баланса наотраслей агрегированного баланса (Ø) при,.

Переменные исистем (11.1.) и (11.2.) связаны формулами линейного невзвешенного агрегирования

.

Операция дезагрегирования решения системы (11.2.) задается в виде

.

Решение системы (11.1.) методом итеративного агрегирования, начиная с исходного приближения, состоит в определении последовательности векторов

.

Сходимость процесса проанализирована для случая

и частного способа агрегирования . Необходимые условия сходимости метода итеративного агрегирования для систем (11.1.) и систем линейных алгебраических уравнений общего вида исчерпывающим образом не изучены.

Применение метода итеративного агрегирования возможно:

• для решения систем линейных и нелинейных уравнений и задач математического программирования, представляющих различные обобщения простой статической модели межотраслевого баланса;

• для нахождения решений в многоуровневых системах моделей народно-хозяйственного планирования и прогнозирования.

Для системы с двумя уровнями, один из которых соответствует центру, а на другом выделено локальных подсистем, метод итеративного агрегирования приводит к следующей последовательности расчетов для агрегированной моделивсей системы и для моделейподсистем, где- векторы переменных и изменяющихся на итерациях параметров агрегированной модели и модели подсистемы:

1. на итерации находится- решение модели;

2. по строится;

3. отыскивается - решение моделей;

4. по строится векторпараметров агрегированной модели на итерации.

В приведенной схеме метода итеративного агрегирования в качестве переменных для моделей оптимального планирования могут использоваться переменные прямой и двойственной задач одновременно. В алгоритмах, задающих зависимости и, аргументами могут быть значения переменных не только на очередной, но и на предыдущих итерациях. Во многих динамических задачах эффективным является динамическое агрегирования, основанное на усреднении во времени.

Итеративное агрегирование имеет много общих черт с другими методами решения сложных задач планирования и принципиальными схемами организации отдельных блоков в процессах решения плановых и прогностических расчетов. Отличие состоит явным включением в контур расчета операции агрегирования (для расчетов параметров агрегированной модели с заранее определенной структурой) и операции дезагрегирования.