- •Математика
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Общие положения
- •2. Требования к оформлению контрольной работы
- •3. Методические указания к изучению дисциплины
- •§2. Случайные события. Операции.
- •§3. Классическое определение вероятности .
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему.
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях.
- •§6. Простейшие свойства вероятностей.
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий.
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события.
- •§9. Формула полной вероятности.
- •§10. Формула байеса.
- •Комментарии к задаче № 2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли .
- •Комментарии к задаче № 3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения.
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа.
- •§16. Дисперсия случайной величины.
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения.
- •Комментарии к задаче № 4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики.
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин.
- •5. Методические указания к выполнению задания № 5
- •Часть 2.
- •Дискретный вариационный ряд
- •Интервальный вариационный ряд
- •Дискретный вариационный ряд
- •Корреляционная таблица
- •6. Контрольные задания № 1- № 4
- •Контрольные задания №5
- •Список литературы
- •Нормированная функция Лапласа
- •Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения
- •Критические точки распределения
- •Содержание дисциплины «Математика: Теория вероятностей и математическая статистика» Тема 1. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей
- •Тема 2. Случайные величины и способы их описания
- •Тема 3. Многомерные случайные величины (системы случайных величин)
- •Тема 3. Многомерные случайные величины (системы случайных величин)
- •Санкт-Петербург
- •Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине.
§8. Вероятность наступления хотя бы одного события.
Сложные события выражаются через другие наблюдаемые события с помощью алгебраических операций, описанных в §2. Основные формулы для вычисления вероятностей таких событий:
Р() = 1 Р(А). ( 1 )
Р(А · В) = Р(А) · Р(В / А) = Р(В) · Р(А / В) , если Р(А) > 0, Р(В) > 0 (формула умножения вероятностей); ( 2 )
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А · В)
(формула сложения вероятностей). ( 3 )
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p1 = 0,8, p2 = 0,6. Каждый произвел по одному выстрелу. Вычислить вероятность события А = {произойдет ровно одно попадание}.
Рассмотрим события А1 = {первый стрелок попал в мишень} и А2 = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда = {первый стрелок промахнулся}, a= {второй стрелок промахнулся}. В мишени окажется ровно одна пробоина в тех случаях, когда либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Поэтому А = А1 ·+ А2 ·. Последние два события несовместны, поэтому сумма их вероятностей равна вероятности их суммы А. События А1 и , а также А2 и попарно независимы, т.е. вероятности произведений этих событий равны соответствующим произведениям вероятностей этих событий. Т.к. Р(А1)=p1=0,8, P(A2)=p2=0,6, то Р() = 1 p1 = q1 = 0,2, P() = 1 p2 = q2 = 0,4 и Р(А) = p1q2 + p2q1 = 0,44.
Вероятность наступления «хотя бы одного события» (т.е. суммы нескольких событий ) вычисляют по формуле
( 4 )
Если же эти события попарно независимы, то
Пример 2. В продукции предприятия 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что среди 4 взятых независимо изделий хотя бы одно бракованное?
Пусть А интересующее нас событие, А = A1+ A2+ A3+ A4 , где A1 = {первое изделие бракованное}, A2 = {второе изделие бракованное} и т.д. Так как A1, A2, A3, A4 независимы, то и события также независимы. Событие= {среди 4 изделий ни одного бракованного} =, где= {первое изделие не бракованное} и т. д. Так как Р(A1) = Р (A2) = Р (A3) = Р(A4) = 0,1 (=10%) , то Р() = (1 0,1)4 = 0,94 = 0,6561. Значит, Р(А) = 1 Р() = 0,3439.
Если изделий не 4 , а 2 , то вероятность того, что из этих двух изделий хотя бы одно бракованное, можно вычислить с помощью формулы (3), т.е. не переходя к противоположному событию:
P (A1+A2) = P (A1) + P (A2) P (A) P (A2) = 0,1 + 0,1 0,01 = 0,19.
§9. Формула полной вероятности.
Пусть H1, H2, ...,Hn полная группа несовместных событий (определение см. в §2) и пусть событие А может произойти только с одним из событий Нk. Для такого события А выполняется следующая «формула полной вероятности»
События Hk принято называть гипотезами по отношению к событию А. Вероятности Р(Hk) трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез.
Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела, а затем бросил симметричную монету столько раз, сколько попал в мишень. Какова вероятность, что в результате выпал ровно один «орел»?
Здесь в качестве гипотез рассмотрим события Н1 = {произошло два попадания}, H2 = {произошло одно попадание}, H3 = {произошло два промаха}. Их вероятности Р( Н1 ) = 0,82 = 0,64, Р( Н2 ) = 2 · (1 0,8) · 0,8 = 0,32 (множитель 2 здесь из-за того, что гипотеза содержит два равновероятных события: «попал – промахнулся» и «промахнулся – попал» это формула Бернулли при р = 0,8, q = 0,2 , n = 2 , k = 1 см. §11), Р(Н3) = (1 0,8)2 = 0,04 . Сумма вероятностей этих гипотез равна 1, как и должно быть для полной группы. Далее рассмотрим событие А = {выпал ровно один «орел»}. Если произошло событие Н1, то монета бросается дважды. Вероятность того, что при этом выпадет ровно 1 «орел», равна Р( А/ H1 ) = 0,5 ( либо «орел – решка» с вероятностью 0,25 , либо «решка – орел» также с вероятностью 0,25 ). Если произошло событие Н2, то монета бросается один раз и вероятность выпадения при этом одного «орла» равна Р( А/H2 ) = 0,5 . Если же происходит событие Н3, то монету не бросают и Р(А/H3)= 0. Все данные для формулы полной вероятности получены. Следовательно,
Р(А) = Р( Н1 )Р( А/H1 ) + P( H2 )P( A/H2 ) + P( H3 )P( A/H3 ) = 0,48.
Пример 2. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Здесь удобно задать 3 гипотезы: H1 = {для первой игры взяты 2 новых мяча}, H2 = {для первой игры взяты новый и играный мячи}, Н3 = {для первой игры взяты 2 играных мяча}. Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности ( как и в примерах из §4 ) :
; ;
(Проверка: Р(H1) + Р(H2) + Р(H3) = 1).
Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча}. В результате осуществления гипотезы H1 в ящике останется 6 новых и 4 играных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы H2 в ящике будет 7 новых мячей из 10, поэтому . Аналогично,. Таким образом,
Заметим, что в одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез, скажем, в примере 2 гипотезу H2 можно представить в виде суммы двух: H2 = {первый взятый для первой игры мяч новый, второй играный}+{первый взятый для первой игры мяч играный, второй новый} и т. д. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности, вычислялись проще.