§ 8. Метод суперпозиции

Пусть функция распределения разыгрываемой случайной величины Х может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения:

F(х)=С₁F₁(х) + С₂F₂(х) (С₁>0, С₂>0).

При х→∞ каждая из функций распределения стремится к единице, поэтому С₁+С₂=1.

Введем вспомогательную дискретную случайную вели­чину Z. с законом распределения

Z	1	2
p	C1	C2

Мы видим, что

Р(Z-1)=С₁, Р(Z=2)=С₂,. (*)

Выберем два независимых случайных числа r₁ и r₂ По числу r₁ разыгрываем возможное значение Z. (см. § 4). Если окажется, что Z=1, то ищут искомое возможное значение Х из уравнения F₁(х)=r₂, если Z=2, то ре­шают относительно х уравнение F₂(х)=r₂.

Докажем, что функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распреде­ления. Воспользуемся формулой полной вероятности (см. гл. IV, § 2)

Р(А)=Р(В₁)Р_B1(А)+Р(В₂)Р_B2(A). Обозначим через А событие Х <х; тогда

Р(А)=Р(Х<х)=F(х). (**)

Рассмотрим гипотезы В₁: Z=1 и В₂: Z=2. Вероятности этих гипотез в силу (*):

Р(В₁)=Р(Z =1)=С₁ и Р(В₂)=Р(Z=2)=С₂. (***)

Условные вероятности появления события А соответ­ственно равны:

P_B1(А)=Р_B1(X<х)=F₁(х) и P_B2(А)=Р_B2(X<х)=F₂(х) (****)

Подставив (**), (***) и (****) в формулу полной вероят­ности, окончательно получим

F(х)=С₁F₁(х)+С₂F₂(х),

что и требовалось доказать.

Замечание. Метод суперпозиции обобщается на n слагаемых функций распределения.

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение случайной величины X, функция распределения которой

F(х)=С₁F₁(х)+С₂F₂(х),

где С₁>0, С₂>0 и С₁+С₂=1, надо выбрать два неза­висимых случайных числа r₁ и r₂ и по случайному числу r₁ разыграть возможное значение вспомогательной дискрет­ной случайной величины Z. (по правилу § 4):

Z	1	2
p	C1	C2

Если окажется, что Z=1, то решают относительно х уравнение F₁(х)=r₂, если Z=2, то решают уравнение F₂(х)=r₂.

Пример. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения

F(х)=1—0,25(е^-2x+3е^-х), 0<х<∞.

Решение. Воспользуемся методом суперпозиции, для чего представим заданную функцию в виде

F(х)=0,25(1 - е^-2x)+0,75(1-е^-х).

Таким образом, можно принять:

F₁(х)= 1 - е^-2x, F₂(х)= 1-е^-х, C₁=0.25, C₂=0,75.

Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z	1	2
p	0,25	0,75

Выберем независимые случайные числа r₁ и r₂. Разыграем Z по случайному числу r₁, для чего по правилу § 4 построим частичные интервалы ∆₁—(0; 0,25), ∆₂—(0,25; 1). Если r₁<0,25, то Z=1, если r₁≥0,25, то Z=2.

Итак, возможное значение Х находят, решая относительно х уравнение

1 - е^-2х= r₂, если r₁<0,25;

или

1 - е^-x=r₂, если r₁≥0,25.

Используя решение примера 2 (см. § 7), в котором была найдена явная формула х= - (1/λ)1п r для разыгрывания возможных значений показательного распределения с заданным параметром λ, окончательно получим:

x= - (1/2) 1п r₂, если r₁<0,25;

х= - 1п r₂, если r₁≥0,25.