- •§ 1. Предмет метода Монте-Карло
- •§ 2. Оценка погрешности метода Монте—Карло
- •§ 3. Случайные числа
- •§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины
- •§ 5. Разыгрывание противоположных событий
- •§ 6. Разыгрывание полной группы событий
- •§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- •§ 8. Метод суперпозиции
- •§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
- •§ 1. Цепь Маркова
- •§ 2. Однородная цепь Маркова.
- •§ 3. Равенство Маркова
§ 5. Разыгрывание противоположных событий
Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью q=1—р.
Введем в рассмотрение дискретную случайную величину Х с двумя возможными значениями (для определенности примем х1=1,, х2=0) и соответствующими им вероятностями р1=р, р2 = q. Условимся считать, что если в испытании величина Х приняла возможное значение х1=1, то событие А наступило; если Х=х2=0, то событие A не наступило, т. е. появилось противоположное событие .
Таким образом, разыгрывание противоположных событий А и сведено к разыгрыванию дискретной случайной величиныХ с заданным законом распределения:
X |
1 |
0 |
p |
p |
q |
Для разыгрывания Х надо (по правилу § 4) интервал (0, 1) разбить точкой р на два частичных интервала: ∆1—(0, р) и ∆2—(р, 1). Затем выбирают случайное число rj,. Если rj, попадает в интервал ∆1, то Х = х1 (наступило событие A); если rj, попадает в интервал ∆2, то Х =x2=0 (событие A не наступило).
Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна р и, следовательно, вероятность наступления противоположного события A равна 1- р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число rj-(j=1, 2, ...); если rj<р, то событие A наступило; если rj≥р, то появилось противоположное событие .
Пример. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р=0,35.
Решение.Выберем из таблицы приложения 9 шесть случайных чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при rj<0,35 событие А появилось, а при rj≥0,35 наступило противоположное событие , получим искомую последовательность событий: A,,A,,A,A.
§ 6. Разыгрывание полной группы событий
Разыгрывание полной группы п (п > 2) несовместных событий A1, A2,…, An. вероятности которых р1, р2,…,рn известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения (для определенности примем х1= 1, х2=2, …, хn=n);
X |
1 |
2 |
… |
n |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Действительно, достаточно считать, что если в испытании величина Х приняла значение хi=i (i=1, 2, … , п), то наступило событие Ai,. Справедливость этого утверждения следует из того, что число п возможных значений Х равно числу событий полной группы и вероятности возможных значений хi, и соответствующих им событий Ai одинаковы: Р (X == хi) = Р(Ai)=рi,. Таким образом, появление в испытании события A равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина Х приняла возможное значение хi.
Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А1, А2,…, Аn полной группы, вероятности которых р1, р2,…, рn известны, достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную случайную величину Х со следующим законом распределения:
X |
1 |
2 |
… |
n |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Если в испытании величина Х приняла возможное значение хi=i , то наступило событие Аi.
Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: р1=Р(A1)=0,19, р2=Р(A2)=0,21, р3=Р(A3)=0,34 р4=Р(A4)=0,26. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.
Решение. В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
p |
0,19 |
0,21 |
0,34 |
0,26 |
По правилу § 4 разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: ∆1—(0; 0,19), ∆2,—(0,19; 0,40), ∆3,—(0,40; 0,74), ∆4— (0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число r1=0,66 gринадлежит интервалу ∆3, то Х=3, следовательно, наступило событие А3,. Аналогично найдем остальные события.
Итак, искомая последовательность событий такова:
А3, А2, А4, А3, А3.
Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.
Решение. Возможны 4 исхода испытания:
А1=АВ, причем в силу независимости событий Р(АВ)= Р (А)-Р (В)=0.6·0.2=0,12;
А2=, причемР()= 0,6·0,8 =0.48;
А3= , причем Р() = 0,4·0,2 = 0,08;
А4=, причем Р () =0,4·0,8 =0,32.
Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А1с вероятностью р1=0,12, А2 с вероятностью р2=0,48, А, с вероятностью р3 = 0,08 и А4 свероятностью р4=0,32.
В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего параграфа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
p |
0,12 |
0,48 |
0,08 |
0,032 |
Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например; 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Построим частичные интервалы: ∆1—(0; 0,12), ∆2—(0,12; 0,60); ∆3—(0,60; 0,68); ∆4—(0,68; 1). Случайное число r1=0,45 принадлежит интервалу ∆2, поэтому наступило событие А2=. Аналогично найдем исходы остальных испытаний.
Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испытаний такова: ,, АВ, ,,.
Пример 3. События A и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(A)=0,6; Р(В)=0,6; Р(AВ)=0,5.
Решение. Возможны 4 исхода испытания:
А1=АВ, причем, по условию, Р(АВ)=0,5;
А2=, причем Р()=Р(А)—Р(АВ)=0,8—0,5=0,3;
А3=, причем Р()=Р(В)—Р (АВ)=0,6—0,5==0,1;
А4=, причем Р()=1 — [Р (А1)+Р(А2)+Р (А3)]= 1— (0,5+0,34-0,1)=0.1.
Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А1 с вероятностью 0,5, А2 с вероятностью 0,3, А3 с вероятностью 0,1 и А4 с вероятностью 0,1.
Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33.
Для контроля приводим ответ: , АВ,, АВ.
Пояснение.Так как А=АВ+ ,тоР(А)=Р(АВ)+Р (). Отсюда Р()=Р(А)—Р(АВ).
Аналогично получим, что Р ()=Р (В)—Р (АВ).