§ 3. Случайные числа

Ранее было указано, что метод Монте—Карло основан на применении случайных чисел; дадим опреде­ление этих чисел. Обозначим через R непрерывную слу­чайную величину, распределенную равномерно в интер­вале (0, 1).

Случайными числами называют возможные значения r непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1).

В действительности пользуются не равномерно рас­пределенной случайной величиной R, возможные значе­ния которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а прибли­женно заданное распределение. В приложении 9 при­ведена таблица случайных чисел, заимствованная из книги: БольшевЛ. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428.

§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины

Пусть требуется разыграть дискретную случай­ную величину X, т. е. получить последовательность ее возможных значений x_i (i= 1, 2, . . ., п), зная закон рас­пределения X:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через r_j(j=1,2,…) возможные значения, т. е. случайные числа.

Разобьем интервал 0≤R<1 на оси Or точками с координатами р₁, p₁+p₂, р₁+р₂+p₃+…, р₁+р₂+…+p_n-1 на п частичных интервалов ∆₁,∆₂,…,∆_n:

Дл. ∆₁=р₁-0=р_i,

Дл. ∆₂=(р₁+р₂)-р₁,=р₂

……………………….

Дл. ∆_n=1-(p₁+p₂+…+ p_n-1) = Рп.

Видим, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом:

Дл. ∆_i=р_i. (*)

Теорема. Если каждому случайному числу r_j (0 ≤r< 1), которое попало в интервал ∆_i, ставить в соответствие возможное значение x_i, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Доказательство. Так как при попадании слу­чайного числа r_j в частичный интервал ∆_i, разыгрываемая величина принимает возможное значение x_i, а таких интервалов всего n, то разыгрываемая величина имеет те же возможные значения, что и X, а именно х₁, х₂,...,x_n .

Вероятность попадания случайной величины R в ин­тервал ∆_i, равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание), а в силу (*) Дл. ∆_i=р_i. Таким образом, вероятность попадания R в интервал ∆_i равна р_i. Следова­тельно, вероятность того, что разыгрываемая величина примет возможное значение х_i, также равна р_i (поскольку мы условились в случае попадания случайного числа r_j в интервал ∆_i считать, что разыгрываемая величина приняла возможное значение х_i). Итак, разыгрываемая ве­личина имеет заданный закон распределения.

Правило. Для того чтобы разыграть дискретную слу­чайную величину, заданную законом распределения

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

надо: 1) разбить интервал (0, 1) оси Оr на п частичных интервалов: ∆₁—(0; р₁), ∆₂—( р₁+р₂+…+p_n-1);

2) выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число r_j.

Если r_j попало в частичный интервал ∆_i то разыг­рываемая дискретная случайная величина приняла воз­можное значение х₁.

Пример. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X	3	11	24
p	0,25	0,16	0,59

Решение. 1. Разобьем интервал (0,1) оси Оr точками с коор­динатами 0,25; 0,25+0,16=0,41 на 3 частичных интервала: ∆₁— (0; 0,25), ∆₂—(0,25; 0,41), ∆₃—(0,41; 1).

2. Выпишем из таблицы приложения 9 восемь случайных чисел, например: 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.

Случайное число r₁ =0,10 принадлежит частичному интервалу ∆₁, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла воз­можное значение x₁=3. Случайное число r₂=0,37 принадлежит частичному интервалу ∆₂, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение x₂ == 11. Аналогично получим остальные возмож­ные значения.

Итак, разыгранные возможные значения Х таковы: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24.

Замечание. Далее будет показано, что разыгрывание собы­тий можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины. Сначала рассмотрим полную группу, состоящую из двух событий (см. § 5), а затем из п событий (см. § 6). Разумеется, полная группа из двух событий является частным случаем полной группы п событий. Однако исходя из методических соображений этот частный случай намерено выделен в самостоятельный параграф—§5.