Переработанные лекции (1)
.pdf
Если спектр исходного (непрерывного) изображения может быть каким-либо образом восстановлен из спектра дискретного, то мы можем восстановить и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия:
xs 2 x0 , |
ys 2 y0 |
Это эквивалентно условию выбора шагов дискретизации, удовлетворяющих:
x |
1 |
, |
y |
1 |
|
|
|||
|
2 x0 |
|
2 y0 |
|
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходной функции можно, применив идеальный низкочастотный фильтр со следующими характеристиками:
|
|
|
|
1 |
, |
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
H , |
2 |
|
xs ys |
||||
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0, |
|
èí à÷å |
|
|
|
|
|
|
|||
При этом результат действия фильтра приводи к исходному Фрье-образу: |
|||||||
F 1, 2 H 1, 2 FS 1, 2 F 1, 2
Нижние границы пространственных частот, при которых возможно сохранение (восстановление) спектра исходной функции 2 x0 , 2 y0 называют пространственными
частотами Найквиста (Котельникова). Теория дискретизации констатирует, что функция с ограниченным спектром, дискретизированная с частотой выше частоты
Найквиста, |
может быть восстановлена без ошибки с помощью простейшего |
(идеального) |
низкочастотного фильтра. Если же условие не выполняется, т. е. |
xs 2 x0 , ys |
2 y 0 то соседние Фурье-образы будут накладываться друг на друга, тем |
самым искажая спектр.
Если |
область |
“поддержки” низкочастотного фильтра представляет собой |
|||||||||
прямоугольник: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
xs , |
|
xs |
|
|
ys |
, |
|
xs |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
То его импульсный отклик есть произведение SINC-функций: h x, y sin c x xs sin c y ys
Обратное Фурье-преобразование реконструирует изображение по формуле:
|
|
|
f x, y f m x, n y sin c x xs m sin c y ys n |
||
m n |
|
|
Результат будет совпадать с исходной функцией, если выполняется условие |
||
дискретизации Найквиста-Котельникова. |
||
Двумерная (непрерывная) |
функция с ограниченным спектром f x, y может |
|
быть однозначно (безошибочно) |
восстановлена из дискретизации f m x, n y если |
|
шаги дискретизации были выбраны из условия:
1 |
|
|
2 |
|
, |
1 |
|
|
2 |
|
|
xs |
x0 |
|
ys |
y 0 |
|||||
x |
|
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Восстановление функции проводится по интерполяционной формуле:
f x, y
m n
sin x xs m |
|
f m x, n y |
|
|
x xs m |
|
|
sin y ys n |
|||
|
|
|
|
y ys n |
|||
|
|
||
|
|
||
Задача
Изображение описывается функцией f x, y 2 cos 2 3x 4y . Дискретизация функции проводится со значениями интервалов дискретизации: x 0.2 , y 0.2 . Нужно восстановить функцию после дискретизации.
Решение Преобразуем функцию перед преобразованием Фурье:
f x, y 2 cos 2 3x 4y e j 2 (3x 4 y) e j 2 (3x 4 y)
Фурье-образ заданной функции:
F 1, 2 1 3, 2 4 1 3, 2 4 .
Откуда x0 3, y 0 4 .
|
Частоты дискретизации: |
1 |
xs 5 , |
1 |
ys |
5 меньше частоты дискретизации |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
||
Найквиста-Котельникова 2 x0 , 2 y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найдем спектр дискретизированного изображения: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k xs , 2 l ys |
|
|
|
|
|||||||
FS 1, 2 xs ys F |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 5k, |
|
4 5l 3 5k, |
|
4 5l |
|
|
||||||||||
25 |
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
k l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применим низкочастотный фильтр: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
, 2.5 1 |
2.5, |
2.5 2 2.5 |
|
|
|||||||
H , |
2 |
|
xs ys |
25 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
èí à÷å |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получим Фурье-образ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F 1, 2 H 1, 2 FS 1, 2 1 2, 2 1 1 2, 2 1 |
|
|
||||||||||||||||||
Он при восстановлении дает функцию: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f x, y 2 cos 2 2x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квантование изображений |
|
|
||||||||
|
Оцифровка (кодирование) = дискретизация + квантование. |
|
|
|||||||||||||||||
|
Операция |
квантования |
переводит |
|
непрерывную |
переменную |
в |
|||||||||||||
дискретную: u |
u , при этом u |
может принимать лишь определенное количество |
||||||||||||||||||
значений из заданного диапазона чисел r1, |
, rL . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Задача квантования — определить порядок разбиения диапазона изменения |
|||||||||||||||||||
измеряемой переменной |
|
на заданное количество отрезков, а также определить, какое |
||||||||||||||||||
значение присваивается переменной на каждом из этих отрезков. |
L |
|
||||
|
k |
|
|
0 |
|
|
Задача состоит в том, что бы определить |
t |
, |
k 0,..., L |
. При этом t , t |
|
— |
минимальное и максимальное значения переменной (границы диапазона изменения). Если переменная находится на участке tk ,tk 1 , то переменная заменяется на некоторое значение в нем tk rk tk 1 .
Пример Самым простым и часто применяемым является квантование с постоянным
шагом. Напряжение измеряется в диапазоне от –3.2 мВ до +9.6 мВ. Количество уровней разбиения — L=256 (1 байт). Тогда при равномерном разбиении интервал квантования:
q 9.6 3.2 12.8 0.05 mB 256 256
Уровни разбиения рассчитываются так:
tk |
|
12.8 k 1 |
mB , k 0, , 256 |
|
256 |
||||
|
|
|
Уровни реконструкции (восстановления) так: rk tk 0.025 mB
Квантование необратимо, т.е. для данного выходного значения входной сигнал не может быть определен однозначно. Квантование неизбежно приводит к ошибке (потере информации), поэтому методы проектирования квантователя должны быть ориентированы на обеспечение минимума ошибки.
Оптимальный квантователь
Задача проектирования — добиться минимума средне-квадратической ошибки квантования для данного числа уровней квантования.
Пусть u —действительная скалярная случайная переменная с плотностью вероятности распределения. Необходимо найти такое распределение уровней
k |
|
k 0,..., L |
|
|
|
|
|
k |
|
|
t |
, |
|
и |
|
уровней |
реконструкции |
r , |
k 0,..., L 1 |
, чтобы обеспечить |
|
минимум ошибки. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Среднеквадратическая погрешность сумма квадратов отклонений от истинного |
||||||||
значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
E u u 2 |
|
|
L |
u u 2 |
pu u du |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
Представим функцию ошибки несколько по-другому:
L 1 ti1 |
|
|
u ri 2 pu u du |
i 0 t |
|
i |
|
Всего неизвестных (2L–1):
tk , k 1,..., L 1
rk , k 0,..., L 1 )
Известны только граничные значения — t0 tL .
Необходимое условие минимизации — частные производные целевой функции по каждой переменной tk , rk должны равняться нулю:
|
|
t |
|
r |
2 |
p |
t |
|
t |
|
r |
2 p |
t |
|
0 |
|||||||||
|
|
k |
k |
k |
k |
|||||||||||||||||||
|
tk |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
u |
|
|
|
|
k |
u |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tk 1 |
u rk |
pu u du 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 k L 1 |
|||||||||||||||||||
|
rk |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
rk |
rk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
tk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
upu u du |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rk |
|
tk |
|
|
|
|
|
|
E u |
|
u tk ,tk 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
tk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pu u du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tk
Системы из (2L–1) линейных уравнений можно решить методом итераций Ньютона. Полученные результаты позволяют заключить, что оптимальное положение
точек разбиения ровно посередине между точками восстановления (реконструкции), которые, в свою очередь, лежат в «центре массы» функции плотности вероятности на участке между точками разбиения.
В том случае, если число уровней квантования велико, то решение может быть получено путем кусочно-линейной аппроксимации вероятности pu u :
ˆ |
ˆ |
|
1 |
t j |
t j 1 , |
t j u t j 1 |
pu (u) pu (t j ), t j |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Используя эту аппроксимацию, получим формулу:
|
t0 zk |
|
|
|
u 1 3 |
|
|||
|
A |
|
p |
|
|||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
tk 1 t0 |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
u 1 3 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
Где A tL t0 , |
|
zk |
A k |
L , |
k 0,..., L 1. |
||||
Уровни разбиения, значение которых нужны для определения динамического ранга A квантователя, берутся из предварительной оценки. Когда уровни разбиения
tk рассчитаны, уровни реконструкции rk могут быть легко посчитаны.
Уровни реконструкции определяются как средние на каждом участке разбиения. В этом случае среднеквадратическая погрешность равна:
|
1 |
tL |
|
|
1 |
3 |
||
|
|
p |
u 3 |
|
||||
|
|
du |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
||
|
12L |
t |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Это полезная формула, так как она дает оценку погрешности квантования по значению плотности вероятности и числу интервалов квантования.
Два наиболее распространенных закона распределения плотности вероятности:
Закон Гаусса:
pu u |
|
1 |
|
|
|
|
u 2 |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Закон Лапласа:
pu u 2 exp u
Где — средняя величина u, — дисперсия u.
Оптимальное расположение точек разбиения и реконструкции для этих законов приводятся в таблицах.
Линейный квантователь
Для равномерного закона распределения плотности вероятности формулы для оптимального квантователя будут иметь вид:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, t0 |
u tL |
|||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|||||||||||
p |
t |
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
èí à÷å |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда: tk2 1 |
tk2 |
|
t |
k 1 |
t |
k |
||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 tk 1 tk |
|
|
|
|
||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
tk 1 tk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Что дает:
tk 1 tk tk tk 1 q
В конце мы приходим к выражению:
q |
tL t0 |
, t |
|
t |
|
q, |
r t |
|
|
q |
|
k |
k 1 |
k |
|
||||||
|
L |
|
|
k |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ошибка квантования ε = u – u* равномерно распределена внутри интервала q
2; q
2 . Ошибка квантования определяется по формуле:
|
1 |
q |
|
|
|
|
2 u2du |
q2 |
|||
q |
|
|
|||
|
|
q |
12 |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
Дисперсия равномерно распределенной случайной переменной с диапазоном изменения А равна:
2 |
|
A2 |
, |
q |
A |
|
|
||||
u |
12 |
|
|
2B |
|
|
|
|
|||
Где В — число используемых бит Тогда отношение (полезный) сигнал/шум (квантования) определяется по
формуле:
|
|
2 2B |
|
SNR 10 log |
22B 6B dB |
|
|
||||
|
|
||||
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||
u |
|
|
|
|
|
Компандор
Это процедура повышения качества изображения и заключающаяся в приведении плотности распределения вероятностей уровня серого (яркости) к некоторому заданному виду. Процедура строится по экспериментально полученной гистограмме исходного распределения вероятности.
Общая схема преобразования:
f u |
v |
Êâàí ò î âàò åëü |
v |
«Компандор» — от английских слов: Compandor = COMPress + expANDOR. Это означает последовательное проведение операций «сжатие» и «расширение». Компандор — равномерный квантователь, имеющий на входе и выходе преобразователь с нелинейной характеристикой.
Полная схема преобразования имеет вид:
u |
w f u |
|
Êâàí ò î âàò åëü y y |
|
|
u g y |
|
|
|
i |
|
|
|
Условие корректного проведения операции квантования: g x f 1 x
При этом функция должна удовлетворять условию (если предположить, что динамический диапазон квантователя [–a,a]):
x |
p |
1 3 |
du |
|
|
|||
|
|
|
u |
|
|
|||
|
u |
|
|
|
||||
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f x 2a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
t |
L |
|
|
|
|
|||
|
p |
u 1 3 |
du |
|
||||
|
u |
|
|
|
|
|||
t0 |
|
|
|
|
|
|
||
Если функция плотности вероятности симметрична относительно
нуля pu u pu u , то: |
|
|
|
|||||
x |
|
1 3 |
du |
|
|
|
||
|
p |
u |
|
|
|
|||
u |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f x a |
|
|
|
|
|
, |
x 0 |
|
t |
|
|
|
|
||||
|
L p |
u 1 3 du |
|
|
|
|||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f x f x , |
x 0 |
|
|
|
||||
Пример Задана ограниченная функция плотности вероятности Лапласа, часто
используемая для вероятностной модели шума:
pu u c exp |
|
u |
|
, |
A u A |
||
|
|
||||||
c |
|
1 exp A 1 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
||
Найти формулы «прямого» и «обратного» преобразований «компандора». Решение Используя приведенную ранее формулу, получим «сжимающую» функцию:
|
|
|
|
|
a 1 exp |
x / 3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
0 x A |
f |
|
x |
|
|
1 exp |
|
A / 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f x , |
|
|
A x 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расширяющая «восстанавливающая функция»:
3 g x
ln 1
x |
|
|
A |
|
|
|
1 |
exp |
|
|
, |
|
|||||
a |
|
|
3 |
|
|
g x ,
0 x a
a x 0
В качестве функций преобразования могут быть предложены различные варианты. В частности, нередко используются «сжимающие» функции для квантователя «компандор»:
|
u |
|
|
f u |
pu1n xi |
|
|
xi 0 |
|
, n 2, 3,... |
|
x |
|
||
|
L 1 |
|
|
|
pu1n xi |
|
|
|
xi 0 |
|
|
f u log 1 u , |
u 0 |
||
f u u 1n , |
u 0, |
n 2,3,... |
|
Для большого количества уровней серого L среднеквадратичная погрешность будет аппроксимироваться по формуле:
|
1 |
tL 1 |
pu u |
1 3 |
3 |
|||
|
|
|
du |
|||||
|
|
|||||||
12L2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
Улучшение визуального качества изображений
Предварительная обработка изображений нацелена на подчеркивание определенных деталей в изображении, выделение некоторых характерных черт таких, как границы объектов на изображении, изменение контраста. Цель — добиться улучшения визуальных качеств с тем, чтобы было удобно анализировать изображение. Эти операции не увеличивают количество информации, содержащихся в данных, а лишь изменяют, в первую очередь, динамический диапазон выделяемых черт, чтобы их можно было легко выделить на изображении. Методы предобработки включают в себя манипуляции со значениями уровня серого и контраста, удаление (уменьшение) шума, выделение (подчеркивание) краевых точек, фильтрацию, интерполяцию, использование цветовой гаммы.
Эти операции не увеличивают количество информации, содержащихся в данных, а лишь изменяют, в первую очередь, динамический диапазон выделяемых черт, чтобы их можно было легко выделить на изображении.
Наибольшая трудность в проведении операций улучшения качества – количественная оценка (критерий) результата. Поэтому подавляющая часть приемов является эмпирической и требует интерактивного взаимодействия для получения удовлетворительных результатов.
Алгоритмы улучшения визуального качества делятся на 4-е группы:
–точечные (пиксельные) операции
–пространственные (локальные) операции
–(глобальные) преобразования
–операции с цветом
Точечные (пиксельные) операции:
–изменение контраста
–отсечение шума (с известным уровнем серого)
–операции с битовым содержанием
–(оконное) деление на части
–операции с гистограммой изображения
Пространственные (локальные) операции:
–сглаживание шума
–медианная фильтрация
–низкочастотная фильтрация
–высокочастотная фильтрация
–фильтрация в полосе частот
–увеличение размера фрагмента (зумирование)
Преобразования изображения:
–линейная фильтрация
–фильтрация с заданным ядром преобразования
–преобразование Фурье
Операции с цветом
–использование различных палитр
–псевдоцвета
Точечные операции не требуют использования памяти и преобразуют исходное
значение уровня серого пикселя u 0, L в другое |
v 0, L согласно некоторой |
функции преобразования, т.е. |
|
v f u |
|
Контрастное масштабирование: |
|
|
u, |
|
|
|
|
v u a va , |
||
|
u b |
v , |
|
|
b |
0 u a a u b b u L
Значения a и b выбирают исходя из оценки гистограммы. Пример применения контрастного масштабирования:
Для темных участков: 1 , |
|
L |
. |
||
3 |
|||||
|
|
||||
Для серых участков: 1, |
2L |
. |
|||
3 |
|||||
|
|
|
|||
Для светлых участков: 1 Из примера видно что наибольшему «растяжению» подвеграются серые участки,
увеличивая там контрастность.
Отсечение и бинаризация (введение порога):
Частный случай контрастного масштабирования, когда 0 называется отсечением:
0, 0 u a v u, a u b
L, b u L
Полезная операция для случая, если известно, что полезный сигнал заключен в диапазон значений уровня серого между a и b.