Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Переработанные лекции (1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Умножение	h m, n x m, n								1				H 1, 2 X 1, 2

									4	2
									4
Корреляция	c m, n h m, n x m, n							C 1, 2 H 1, 2 X 1, 2
											1
											1						X 1, 2					Y		1, 2 d 1d
							m, n	I																		2
Интегрирование								I						2												2
Интегрирование	I x m, n y								4
		m n
Сохранение													1
				x m, n		2														X 1, 2			2		d 1d 2

энергии												4			2
энергии		m n										4
					m							,
			exp j		m	n		4 2				,
					01		02							1				01	2		02
	m n
	m, n								1												m 1
									1							exp

									4	2									j			n 2 d 1d 2
									4

				Z-преобразование
Прямое Z-преобразование цифрового двумерного сигнала:

X z1, z2 x m, n z1 m z2 n

m n

Где z1, z2 — комплексные переменные.

Набор значений z1, z2, для которых эта последовательность равномерно сходится, называется областью сходимости. Z-преобразование функции импульсного отклика системы инвариантной к сдвигу называется передаточной функцией.

H z h n z n

Применяя к Z-преобразованию теорему о свертке, получаем:

Y z1, z2 H z1, z2 X z1, z2

H z1, z2 Y z1, z2 X z1, z2

Т. е. переходная функция представляет собой так же отношение z-преобразований входного и выходного сигналов.

Обратное Z-преобразование — восстановление двумерного сигнала:

x m, n	1		X z1, z2 z1m 1z2n 1dz1dz2

	j2	2
	j2
Где интегралы берутся по контору против часовой стрелки и лежат в области
сходимости.
						1,		1, а
Когда область сходимости включает в себя единичный круг					z1	1,	z2	1, а
значения	X z1, z2 определяются как z1 exp j 1 ,			z2 exp j 2 , то Z-преобразование

сводится к преобразованию Фурье.

В случае если Z-образ сигнала можно разложить в ряд по степеням комплексных переменных, то цифровой двумерный сигнал представляет собой коэффициенты при соответствующих слагаемых ряда этого разложения.

Таблица z-преобразований:

Исходная функция f x, y

Преобразование Фурье F 1, 2

n n0

zn0

comb n

z 1

1 z 1

an comb

; a 1

z a

1 a z 1

n comb n

z 1

1 z 1

an n comb n

a z

a z 1

z a

1 a z

1 an

n comb

z 1 a

z a z 1

Свойства z-преобразования:

Свойство

Исходная функция

Z-преобразование

x m, n , y m, n , h m, n

X z1, z2 ,Y z1, z2 , H z1, z2

Отображение

x m, n

X z1 1, z2 1

Линейность

x m, n

m, n

1 X1 z1, z2 2 X2

z1, z2

Комплексная

x m, n

X z1 , z2

сопряженность

Сепарабельность

x1 m x2 n

X1 z1 X2 z2

Смещение

x m m0 , n n0

z1 m0 z2 n0

X z1, z2

Модуляция

ambn x m, n

Свертка

h m, n x m, n

X z1, z2 H z1, z2

Умножение

h m, n x m, n

z , z

dz dz

2 j

1 2

C1 C2

Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент tn, n=n0 зависит от отсчёта входной последовательности с номерами меньше чем. Для соблюдения условия физической реализуемости функция не должна иметь ненулевых

решений меньше нуля, то есть h n 0 при n 0 .

H z h n z n

n 0

Основываясь на этом выражении, любую последовательность можно назвать x[n] каузальной если x n 0 при n 0 .

Передаточную характеристику можно представить в виде формулы:

		M
H z		(z zi )
		i 1
		N
		(z p j )
		j 1
Где zi	— нули передаточной функции, т. е. точки, где функция H z обращается в
ноль,	pi	— полюса передаточной функции, т. е. точки, в которых функция H z

стремиться к бесконечности.

Система называется устойчивой, если при любой входной ограниченной последовательности выходная тоже ограничена.

Правило устойчивости для одномерной системы:

h n

Правило устойчивости для двумерной системы:

h m, n

m,n

Для выполнения свойств устойчивости и каузальности переходная функция H z должна иметь полюса внутри единичной окружности. Z-преобразование применяется для расчета БИХ фильтров.

Оптическая и модуляционная передаточная функция

Оптическая передаточная функция характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот. Для пространственно инвариантной системы оптическая передаточная функция определяется как нормированная передаточная функция:

OTF H 1, 2

H 0, 0

Модуляционная передаточная функции определяется как модуль оптической передаточной функции:

MTF H 1, 2

H 0, 0

Для дискретного сигнала эти формулы так же справедливы.

Матричная алгебра

Обычно одно или двухмерные сигналы представляют в виде векторов или матриц. Вектор столбец x, состоящий из N элементов обозначают так:

x 1

x 2

x {x(n)}

Матрица А имеющая M строк и N столбцов обозначают так:

a 1,1

a 1, N

2,1

A {a(m, n)}

a M ,1 a M , 2

a M , N

При работе с двумерными сигналами обычно удобно представлять изображение

в виде матрицы.

Сведения из матрацной алгебры:

Название

Обозначение

Описание

Матрица

A {a(m, n)}

m — номер строки, n —

номер столбца

Транспонирование

Матрица отражается

a n, m

относительно главной

диагонали.

Комплексное

m, n

сопряжение

Комплексно-

n, m

сопряженное

транспонирование

Единичная матрица

Элементы на главной

m n

диагонали равны единице,

остальные элементы равны

нулю.

Нулевая матрица

O 0

Все элементы нули.

Сумма

матриц

m, n

Матрицы A и B должны

(изображений)

иметь

одинаковые

размеры.

Умножение матрицы

A a m, n

на скаляр

Размерность матрицы A —

Перемножение

матриц

c m, n

a m, k b k, n

M K , B — K N , C

—

k 1

M N , в

общем случае

AB BA

Коммутативность

AB BA

В общем

случае

это

неверно.

Скалярное

x, y

x T y x n y n

Результат — скаляр, если

произведение

равен нулю — x, y

ортогональны.

Векторное

произведение

Симметрия Матрица Эрмита

Детерминант Обратная матрица

След матрицы Собственные числа Собственные функции

xyT x m y n

A AT

A A T

A 1

A 1 A AA 1 I

Tr A a(n, n)

Все корни: A k I 0

Все решения:

A k k k ,

k 0

Размерность x — M 1, y — N 1, результат операции

матрица с размерностью

M N

Все элементы на главной диагонали матрицы — реальные числа, остальные элементы a m, n a n, m .

Определяется только для квадратных матриц. Определяется только для квадратных матриц.

Сумма диагональных элементов матрицы.

Определение детерминанта для матриц:

det A

a11

a12

det A

a11

a a

a21

a22

det A

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a11 a22 a33 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31

Умножение матриц:

a11	a12	b11 b12 b13	a11	b11	a12 b21	a11	b12
		b11 b12 b13		b11	a22 b21	a21 b12
A B a21 a22			a21	b11	a22 b21	a21 b12
a a		b21 b22 b23	a	b	a b	a	b
31	32		31	11	32 21	31	12

Возьмем 2 вектора:

	x 1			x 1
	x 2			x 2
x		,	y
x	x 3	,	y	x 3
	x 4			x 4

Скалярное произведение векторов:

x, y x(1) y(1) x(2) y(2) x(3) y(3) x(4) y(4)

a12 b22

a22 b22

a32 b22

a11 b13 a21 b13 a31 b13

a12

a22

a32

b23

Векторное произведение векторов:

	i	j	k	x 2 y 3 x 3 y 2
	i	j	k	x 2 y 3 x 3 y 2
x, y	x 1	x 2	x 3
x, y	x 1	x 2	x 3		x 1 y 3 x 3 y 1
	y 1	y 2	y 3	x 1 y 2 x 2 y 1

Свойства операций над матрицами:

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA.

Свойства операции транспонирования матриц:

(AT)T = A

(AB)T = BTAT

(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.

(A − 1)* = (A*) – 1 (AВ ) * = A*B*

Случайные сигналы

Дискретный случайный сигнал или процесс представляет собой

последовательность

случайных

(недетерминированных)

переменных,

характеризующихся:

Средним значением (математическим ожиданием):

E u

Где символ E обозначает оператор математического ожидания.

2. Дисперсией (мерой разброса случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания):

u2 n 2 n E	u n n	2
u2 n 2 n E	u n n	2

3.Ковариацией (мерой линейной зависимости двух случайных величин): cov u(n),u(n ) ru (n, n ) r(n, n ) E u(n) (n) u (n ) (n )

4.Взаимной ковариацией

cov u(n), (n ) ru (n, n ) E u(n) u (n) (n ) (n )

Плотность вероятности функции случайной переменной u обозначается pu(u). Распределение Гаусса от случайной переменной:

	1			u		2
						2
pu u
		exp
				2 2
	2 2
	2 2

Если 0 ,			2 1		то		распределение называется стандартным нормальным

распределением.

Случайная последовательность u(n) называется стационарной в строгом смысле

если:

E u n constante

Eu n u n r n n

Стационарный процесс характеризуется постоянством основных характеристик случайного процесса (среднего значения, дисперсии и т.д.).

Две случайных переменных x и y являются независимыми только в том случае, если совместная функция плотности вероятности может быть записана как:

px, y x, y px x py y

Две случайных последовательности x(n) и y(n) являются независимыми тогда и только тогда, когда для любых значений n и n′ величины x(n) и y(n′) так же независимы.

Двумерные случайные сигналы (изображения) характеризуются статистическими моментами 1-го и 2-го порядков (средним значением и дисперсией).

Для стационарного двумерного сигнала характерно:

m, n const

ru m, n; m , n ru m m , n n r m m , n n

Этот сигнал является так же пространственно инвариантным.

Случайный двумерный сигнал называется белым шумом, если любые два элемента изображения взаимно некоррелированы, т. е. функция ковариации имеет вид: rx m, n; m , n x2 m, n m m , n n

Ковариационная функция называется сепарабельной, если она может быть представлена произведением ковариаций соответствующих одномерных сигналов: Для нестационарного сигнала:

r m, n; m , n r1 m, m r2 n, n

Для стационарного сигнала: r m, n r1 m r2 n

Пример 1 – разделимая стационарная функция ковариации

r m, n 2	m		n	,		1,	2	1


1		2			1

При этом дисперсия характеризует “одношаговую” корреляцию:

r 1, 0	/ 2 ,		2	r 0,1 / 2
1			2
Пример 2 - неразделимая ковариационняа функция
r m, n 2 exp
r m, n 2 exp					1m2 2n2
		, то ковариация r m, n становится функцией расстояния d
Если	2	, то ковариация r m, n становится функцией расстояния d				m2 n2 :
1	2

r m, n 2 d ,

Где exp

Такая функция называется изотропной и циркулярно-симметричной.

На практике расчет среднего значения и ковариационной функции проводится по приближенным формулам:

	1	M	N
ˆ	1	u m, n
ˆ		u m, n
	MN m 1		n 1

r m, n rˆ m, n	1

	MN

M m N n

u m , n ˆ	u m m , n n ˆ
m 1 n1

Краткие сведения из теории информации

Предположим, есть источник, генерирующий независимые сигналы (например, соответствующие некоторым уровням серого) rk с вероятностью pz , k=1,…,L.

Тогда количество информации связанной с rk определяется по формуле:

Ik log2 pk bits

При этом: pk 1

k 1

Все значения pk 1 и значение Ik не является отрицательным.

Энтропия (с точки зрения информационной теории) определяется как среднее количество информации, генерируемое источником:

H pk log2 pk bits / message

k 1

Для цифрового изображения, рассматриваемого как “источник” (ансамбль) независимых пикселей, энтропию можно оценить по гистограмме.

Для заданного L (количества градаций серого) энтропия источника принимает максимальное значение для равномерного (равновероятного) распределения, т.е. pk 1/ L, 1,..., L . В таком случае:

L	1		1
max H		log2		log2 L
			L
k 1	L

Например, для источника бинарного изображения, т. е. L 2 . Тогда если p1 p , p2 1 p , энтропия для данного рисунка будет определяться формулой:

H H p p log2 p 1 p log2 1 p

Максимальное значение			энтропии		при	равномерном законе	распределения,
т.е. max H 1bit,		p 1/ 2 .
Если	же	появление	0	или	1	неравновероятно,	например при
p 1/ 8	H 0.2 bits , и согласно теории информации Шеннона, можно найти схему

кодирования таких сообщений, при которой потребуется всего 0,2 бита на сообщение.

Двумерная дискретизация

Основное требование при компьютерной обработке изображений — трансформация (физически непрерывной) функции в дискретную форму.

Оцифровка включает в себя последовательное выполнение двух операций:

–дискретизации

–квантования

f x, y

fS x, y

u m, n

Процедура визуализации изображения предусматривает операцию дискретноаналогового преобразования:

u m, n

f x, y

Математически процесс дискретизации изображения продемонстрируем для двумерной функции с ограниченным спектром.

Двумерная функция f x, y имеет ограниченный спектр, если для Фурьеобраза F 1, 2 выполняется условие F 1, 2 0 :

1 x0 ; 2 y0

Где переменные x0 ; y 0 — максимальные пространственные частоты по x и y. В

случае циркулярной симметрии:0 x0 y0

Фурье-образ дискретизированного сигнала представляет собой периодически повторяющийся Фурье-образ непрерывной функции.

Идеальная дискретизирующая функция представляет собой (бесконечный) двумерный массив дельта-функций, расположенных в узлах прямоугольной сетки с

периодами решетки x , y :

comb x, y; x, y x m x, y n y

m n

Операция дискретизации есть произведение исходной функции на дискретизирующую:

fS x, y f x, y comb x, y; x, y f m x, n y x m x, y n y

m n

Фурье-образ дискретизирующей функции ступеньки с периодами решетки x ,y это также функция ступеньки с периодами решетки 1 x , 1 y :

COMB 1, 2 F comb x, y; x, y xs ys 1 k xs , 2 l ys

k l

xs yscomb 1, 2 ; 1 x , 1 y

Пространственные частоты дискретизации по координатным направлениям равны величинам, обратным соответствующим шагам дискретизации:

xs 1 x , ys 1 y

Воспользуемся правилом, согласно которому произведение функций в исходном пространстве эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов:

		1 k xs , 2 l ys
FS 1, 2 F 1, 2 COMB 1, 2 xs ys F 1, 2		1 k xs , 2 l ys
	k l

xs ys F 1 k xs , 2 l ys

k l

Фурье-образ дискретизированной функции представляет собой периодическую (бесконечную) комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной) функции, продублированного в узлах сетки с периодом xs , ys .

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.201556.73 Кб63Очистка методом ионного обмена.docx
#
31.03.20159.39 Mб24Памятка первокурснику.doc
#
27.11.2019610.3 Кб4Парадигмы программирования.doc
#
13.03.2016236.23 Кб8Паспорт (LT3048).pdf
#
31.03.2015216.95 Кб19Перенапряжения при ОДЗЗ в сетях 6-35 кВ.pdf
#
31.03.20151.26 Mб12Переработанные лекции (1).pdf
#
12.09.2019497.93 Кб2Периодизация русской культуры.rtf
#
31.03.2015329.22 Кб18Пиар - лекции - 85 с..doc
#
31.03.201519.64 Кб52Письменные д.з. 1 Им 2012-13.docx
#
31.03.2015785.08 Кб25Пневмоострова-экз.pdf
#
20.09.201914.48 Mб9Подъемно-шпоры.doc