![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
1. Первообразная и неопределенный интеграл
Ниже
в качестве
берется любой из промежутков:
(концы
и
могут быть бесконечными).
Определение
1. Говорят,
что функция
являетсяпервообразной
для функции
на множестве
если
Разыскание всех первообразных функции
называетсяинтегрированием
Например,
функция
является первообразной для
на всей оси
так как
Теорема
1(об
общем виде всех первообразных данной
функции).
Пусть
фиксированная
первообразная функции
(на множестве
).
Тогда множество всех первообразных
функции
(на множестве
)
описывается формулой
где
произвольная постоянная.
Доказательство
вытекает
из того, что если
и
две первообразные функции
,
то
а, значит, разность
является
постоянной величиной на множестве
,
т.е.
Определение
2. Совокупность
всех первообразных функции
(на множестве
)
называется неопределенным
интегралом на
этой функции.
Обозначение:
При этом сама функция
называетсяподынтегральной
функцией и
если интеграл от нее существует, то
говорят, что
интегрируема
на
.
Из
теоремы 1 вытекает, что
где
фиксированная
первообразная функции
(на множестве
),
а
произвольная постоянная.
Отметим, что равенство
равносильно равенству
.
Таким образом, для доказательства того,
что некоторая функция
является
неопределенным интегралом от функции
надо продифференцировать ее по
если при этом будет получена подынтегральная
функция
,
то равенство
будет истинным.Используя этот факт,
легко докажем следующие формулы.
Таблица
неопределенных интегралов (ниже везде
произвольная
постоянная)
Докажем,
например, формулу 10. Дифференцируем
правую часть равенства 10 по
:
Получена подынтегральная функция левой части 10. Значит, равенство 10 верно. Точно так же доказываются остальные формулы этой таблицы.
Свойства неопределенного интеграла (везде ниже предполагается, что интегралы от соответствующих функций существуют):
Свойствоназывают свойствомлинейности
интеграла. Первые два свойства
показывают, что операции дифференцирования
и интегрирования взаимно обратны.
Немного
позже будет установлено, что всякая
непрерывная на промежутке
функция
интегрируема на этом промежутке.
2. Замена переменной в неопределенном интеграле
Перейдем к формулировке теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле, которая часто используется при вычислении интегралов. Здесь имеются в виду два утверждения1:
где
функция, обратная к функции
Теорема
2.
а) Пусть выполнены условия: 1) функция
непрерывна в своей области определения
б) функция
непрерывно дифференцируема на множестве
таком, что
Тогда для всех
имеет место равенство
б) Пусть
выполнены условия: 1) функция
непрерывна в своей области определения
2) функция
непрерывно дифференцируема2на множестве
таком, что
3)4) функция
имеет на множестве
обратную
функцию
Тогда для всех
имеет место равенство
Замечание
1. Преобразования вчасто называютпроцедурой введения
множителя под знак дифференциала.Формулу
удобно применять в тех случаях, когда
функция
легче интегрируется, чем исходная
функция
Например,
=Далее
надо вернуться к старой переменной с
помощью обратной функции
и получить ответ: