![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
На
рисунке изображены график функции
точки
секущая,
касательная к кривой
углы
Пусть
функция
определена в точке
и некоторой ее окрестности
.
Сместимся из точки
в точку
Величина
называетсяприращением
аргумента в точке
а
величина
=
называется
приращением функции
в точке
(соответствующим приращению
аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то
его называют производной
функции
в
точке
и
обозначают
При этом функцию
называютдифференцируемой
в точке
а
величину
называютдифференциалом
функции
в точке
Выясним,
в чем состоит геометрический смысл
производной и дифференциала. Так как
и так как
то
т.е.
т.е.
производная функции
в точке
является угловым коэффициентом
касательной к кривой
с точкой касания
С
другой стороны, из рисунка видно,что
поэтому
дифференциал
равен приращению касательной
к графику функции
при переходе аргумента из точки
в точку
Из
геометрического смысла производной
легко получить уравнения касательной
и нормали к кривой
в точке
(касательная),
(нормаль).
Выясним
теперь механический смысл производной.
Если
путь пройденный материальной точкой
за время от момента
до момента
то
средняя скорость материальной точки,
а величина
мгновенная
скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая
дифференцируемая в точке
функция
непрерывна в точке
(обратное, вообще говоря, неверно; пример:
непрерывна
в точке
но
не существует).
4. Арифметические действия над производными
Теорема
4. Если
функции
дифференцируемы в точке
то в этой точке дифференцируемы и функции
причем
(в
рассматриваемой точке
).
Если,
кроме того,
то
в точке
дифференцируемо и частное, причем
Доказательство
проведем для производной суммы. Имеем
поэтому
Теорема
доказана.
5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными.
Теорема
5.
Пусть
сложная функция
определена в точке
и некоторой ее окрестност и пусть
выполнены условия:
1.
функция
дифференцируема в точке
2.
функция
дифференцируема в соответствующей
точке
Тогда
сложная функция
дифференцирума
в точке
и имеет место равенство
Напомним следующие понятия:
а)
Функция
называетсяобратимой
на множестве
если
При
этом функция
сопоставляющая каждому
элемент
такой, что
называется функцией,обратной
к
Очевидно, имеют место тождества:
Заметим,
что все строго монотонные на множестве
функции обратимы на
б)
Говорят, что функция
задана
параметрически уравнениями
если функция
обратима
на отрезке
В
этом случае
где
функция, обратная к функции
Теорема
6. Пусть
функция
в
некоторой окрестности точки
имеет обратную функцию
Пусть, кроме того, функция
дифференцируема в точке
и
Тогда обратная функция
дифференцируема
в соответствующей точке
и имеет место равенство
Теорема
7. Пусть
функция
задана
параметрически уравнениями
и пусть выполнены условия:
1)
функции
дифференцируемы
в фиксированной точке
2)
в рассматриваемой точке
Тогда
функция
дифференцируема
в точке
и имеет место равенство