![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
- •4. Применения формулы Тейлора
- •5. Правило Лопиталя
- •1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •2. Монотонность функции
- •2. Локальный экстремум
- •3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •4. Исследование функций с помощью высших производных
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •4.Выделение полного квадрата
- •5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
- •Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •1. Интеграл с переменным верхним пределом
- •2. Формула Ньютона-Лейбница
Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций
Вычисление определенного интеграла можно свести к вычислению неопределенного. Соответствующая формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Для ее вывода необходимо изучить сначала свойства интеграла с переменным верхним пределом, к описанию которого мы переходим.
1. Интеграл с переменным верхним пределом
Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву:
Пусть
функция
интегрируема на отрезке
Тогда
для любого
можно вычислить число
Значит, для каждого
определена функция
Эту функцию называютинтегралом
с переменным верхним пределом.
Теорема
1. Если
функция
интегрируема на отрезке
то интеграл
непрерывен на этом отрезке. Если
непрерывна на отрезке
то
дифференцируема
на указанном отрезке, причем
Доказательство
первой
части этого утверждения опускаем.
Перейдем к обоснованию второй части.
Пусть
произвольная
точка интервала
Вычислим
Так
как
непрерывна на отрезке
то применима теорема о среднем: существует
точка
такая, что
Тогда
Устремляя
здесь
и учитывая, что при этом
т.е.
Равенство (1) показано в любой внутренней
точке отрезка
Можно показать, что оно верно и на концах
этого отрезка. Теорема доказана.
Следствие
1. Любая
непрерывная на отрезке
функция
имеет первообразную.
Действительно,
в качестве одной из первообразных можно
указать интегралс переменным верхним пределом (
).
2. Формула Ньютона-Лейбница
Докажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления.
1Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.
2Функция называется непрерывно дифференцируемой на множестве если она и ее производная непрерывны на
3На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и