3.Метод размерных оценок в задачах физики

3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования

Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позво­ляет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строи­тельстве туннелей в горах.

По мере приобретения навыков впечатление от метода размерностей должно смениться пониманием того, что уже на самой первой ста­дии применения этого метода - при выписывании систе­мы, определяющих взаимосвязь параметров - необходимо чет­ко представлять себе саму физику явления. Метод раз­мерностей не открывает новых фундаментальных законов и, не подвергает сомнению установленные законы. Вместе с тем даже люди, не имеющие глубоких специаль­ных знаний, могут получить из соображений размернос­ти не только функциональную зависимость, но часто и чис­ленную оценку.

Этот метод сам служит одним из важных стимулов к углубленному изучению физики, создавая при удачном его применении отнюдь не обманчивое ощущение собствен­ных возможностей, он помогает быстро прикинуть, что должно получиться в ответе, проверить сам ответ, восстановить забытую формулу.

При разумном выборе параметров безразмерные комби­нации функционально связанных величин всегда оказы­ваются порядка единицы. Законы природы не зависят от масштабов, которыми мы измеряем длину, время, массу и другие физические величины. Выбираемые единицы измерений во мно­гом носят случайный характер, такой выбор связан с удобствами, привычками и историческими тради­циями.

Поэтому естественно пытаться выражать за­коны природы, т. е. уравнения, связывающие различные физические величины, в таком виде, чтобы они не зависе­ли от выбора масштабов. Так приходят к безразмер­ным соотношениям. Но когда образованы безразмер­ные соотношения из функционально связанных величин, можно потребовать, чтобы эти со­отношения были порядка единицы, поскольку другого выбора не имеется.

Существование безразмерных физических соотноше­ний есть, по существу, проявление принципа подобия – при изменении масштабов численные значения физичес­ких величин, конечно, меняются, физические же законы ме­няться не должны.

Размерные оценки базируются на преобразованиях подобия, являющихся частным случаем аффинных преобразований. Рассмотрим свойства этих преобразований.

Преобразование

f: x_i' = kx_i, i=1,..n (3.1)

или

р(А', В')=kр(А, В)

где А и В — любые две точки пространства, А' и В' — их образы под действием преобразования f (3.1), называется преобразова­нием подобия с коэффициентом подобия k.

При k = 1, f - тождественное преобразование; при k > 1, f - растяжение, при к < 1, f - сжатие. Коэффициент подобия k удобно представить в кано­ническом виде:

к = е^α (3.2)

(по сравнению с (3.1) канонический вид (3.2) обладает тем преимуществом, что при нулевом значении параметра преобразо­вания α, мы получаем тождественное преобразование, а условия преобразования имеют вид, соответственно, в условия α=0, f - тождественное преобразование,

при α > 0, f - растяжение, при α < 0, f – сжатие.

Важно подчеркнуть, что в случае преобразования подобия ко­эффициент подобия по всем направлениям один и тот же. Преоб­разование подобия изменяет размеры фигур, но не их форму. Фор­ма - инвариант преобразования подобия.

Аффинные преобразования - преобразования подобия с раз­личными коэффициентами подобия по различным направлениям.

x_i^’=k_ix_i - преобразования подобия. (3.3)

Преобразование подобия (3.1) - частный случай аффинных пре­образований (3.3). Переход от (3.1) к (3.3) - генерализа­ция, или обобщение, переход от (3.3) к (3.1) - специализа­ция, или переход от общего случая к частному. Аффинное преобразование - линейное - оно переводит прямые в прямые. Ни размеры, ни форма при аффинном преобразовании не сохра­няются.

Определение группы преобразований.

-Аффинные преобразования образуют группу, так как множе­ство объектов, на которые они действуют, замкнуто относи­тельно аффинных преобразований.

-Аффинные преобразования содержат тождественное преобра­зование, выполняющего роль единичного элемента группы.

-Для каждого аффинного преобразования существует обратное, унич­тожающее его действие; последовательное выполнение прямого и обратного аффинных преобразований есть тождественное преобра­зование.

-Последовательное выполнение трех аффинных преобразований А₁ ° А₂° А_3,, ассоциативно, т.е.

(А₁ ° А₂) °А₃= А₁ °( А₂° А₃)= А₁ ° А₂° А₃ . (3.4)

Группа аффинных преобразований коммутативна, или абелева, т.е. для любых двух аффинных преобразований А₁, А₂ резуль­тат их последовательного выполнения не зависит от того, в каком порядке идут «множители»:

А₁ ° А₂ = А₂° А₁ (3.5)

Преобразования подобия также образуют группу - подгруппу группы аффинных преобразований.

Преобразования подобия действуют не только в пространстве - на геометрические фигуры, но и на дискретные последователь­ности, а также на решения дифференциальных уравнений и на сами дифференциальные уравнения. Преобразования подобия лежат также в основе анализа размерности.