1.1. Понятие о векторах и простейших действиях над ними

Вектором называют любую физическую величину, имеющую не только числовое значение, но и направление. Двойная смысловая нагрузка вектора хорошо видна при такой записи векторной величины :

,

(1.1)

где число характеризует абсолютное значение, а – направление. Вектор называют единичным вектором, поскольку величина его равна единице.

Геометрически векторная величина изображается стрелкой, опять-таки несущей двойную смысловую нагрузку: длина стрелки определяет абсолютное значение векторной величины, а направление указывается стрелкой. Условимся обозначать любую векторную величину соответствующей буквой со стрелкой над ней, а модуль вектора – той же буквой без стрелки. Так, например, – вектор скорости, а – модуль скорости, то есть всегда величина положительная.

Действия над векторами введены из-за необходимости описывать наблюдаемые явления. Так, на рис.1.1 изображена задача, в которой из т. А в т. C можно пройти двумя путями: прямым (вектор ) и через точку В. Во втором случае результат будет такой же поэтому:

.

(1.2)

Длину вектора , то есть абсолютное значение пути АC можно найти, если известны длины отрезков АB и ВC, то есть зная a и b (модули соответствующих векторов). Задача нахождения c требует, вообще говоря, нового чертежа – рис.1.1б, где даны только длины отрезков. По теореме косинусов

,

(1.3)

где  – угол между векторами и .

Углом между двумя векторами называют угол, образованный этими векторами, проведенными из одной точки. На рис. 1.1а показан не угол между векторами, а равный ему. Если пользоваться правилом параллелограмма, то на чертеже можно указать непосредственно угол между векторами соответственно его определению (см. рис. 1.1б). В теореме косинусов (1.3) знак плюс появляется потому, что сторона с лежит против угла (180^о– ).

Операция сложения векторов, как видим, требует для её выполнения двух уравнений. Уравнение (1.2) формально задаёт вектор-сумму, а уравнение (1.3) даёт возможность вычислить модуль суммы двух векторов. Заметим, что само по себе выражение (1.2) не задаёт направление вектора , а лишь определяет операцию. Это определение следует дополнить правилом сложения: сложить два вектора – значит построить второй вектор из конца первого и соединить стрелкой начало первого вектора с концом второго. Пунктиром на рис. 1.1б показано сложение по правилу параллелограмма, которое, очевидно, эквивалентно первому.

Этот же рисунок иллюстрирует и вычитание векторов: если результат – путь АС – известен, а пройден путь АВ, то остался путь ВС, значит:

.

(1.4)

Отсюда вытекает правило вычитания векторов: соединив начала векторов и замкнув концы в сторону вектора уменьшаемого, получим вектор разности. Длина его также может быть найдена по теореме косинусов:

.

(1.5)

Снова задача нахождения векторной величины распадается на две: нахождение направления вектора по (1.4) и его модуля по (1.5).

Здесь уместно заметить, что приращение  векторной величины – это вектор разности двух векторов. Так, скорость – векторная величина и ее изменение (приращение) будет тоже векторной величиной:

.

(1.6)

Направление приращения скорости найдется по правилу вычитания векторов, и, следовательно, не будет совпадать с направлением ни вектора-уменьшаемого, ни вектора-вычитаемого. Длина вектора записывается с символом модуля –. Не следует путать его с изменением длины вектора , обозначаемым через. Нетрудно убедиться, что если векторы направлены в одну сторону и длина векторабольше длины вектора, то приращение скорости совпадет с направлением скоростей. Если же скорость , то приращение будет отрицательно, то есть направлено в сторону, противоположную движению.

Векторы можно перемножать двумя способами: скалярным и векторным.

Скалярное произведение двух векторов есть скаляр, величина которого равна произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на косинус угла между ними:

.

(1.7)

Скалярное умножение векторов – единственный случай действия над векторами, когда не требуется два уравнения: ведь получаемый результат – скаляр!

Результатом векторного умножения векторов будет вектор, направление которого находится по правилу: вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы-сомножители. Направление векторного произведения определяется поступательным движением буравчика, если головку вращать от первого сомножителя ко второму (рис. 1.2). Записывается векторное произведение так:

.

(1.8)

Одного уравнения (1.7), указывающего операцию, вновь не достаточно: ведь следует указать и величину этого вектора. Она находится по правилу:

,

(1.9)

где  – угол между векторами-сомножителями.

В механике приходится иметь дело ещё и с двойным векторным произведением, но это правило будет дано в тексте соответствующей лекции.

Кроме арифметических операций с векторными величинами часто бывает нужно находить проекции вектора на оси координат, или выражать вектор через его проекции. Рассмотрим двумерный случай, когда вектор лежит в плоскостиXOY и составляет угол  с осью ОХ (рис. 1.3). Как следует из рисунка, угол вектора с осьюОУ будет в этом случае равен (90^о  ). Проекциями данного вектора на оси координат будут числа a_x и a_y, которые определяются величиной вектора и углом . В данном случае (см. рис. 1.3)

ax  acos; ay  – asin.

(1.10)

Вектор через его проекции можно выразить как сумму векторов, полученных умножением проекций на соответствующие единичные векторы и, выполняющие роль введенного выше единичного вектора, и определяющие направления осей координат:

.

(1.11)

Модуль вектора легко определяется через его проекции по теореме Пифагора:

.

(1.12)

В трехмерном случае проекций вектора будет три и в суммах (1.11) и (1.12) добавится проекция a_z c соответствующим единичным вектором.