Высшая_математика_Том1

0.6.3. Способы задания функции. График

В общем случае всякий закон, определяющий функцию y = f (x), задается некоторым текстом. Наиболее распространенная форма такого текста — формула, позволяющая вычислять значение функции y по заданному значению аргумента x. Способ задания функции с помощью формул называют аналитическим. Выше уже приводились примеры такого задания функции. Добавим к ним еще один. Функция y = sgn x (читается «сигнум x», что озна-

|x| = x ·sgn x.

Аналитический способ задания функции в свою очередь подразделяется на три способа: явный, неявный и параметрический.

Явный способ — это непосредственное выражение зависимой переменной через независимую переменную в виде формулы y = f (x): y = sin3 x, y = etg 2x и т. п.

Неявный способ. Пусть задано уравнение F (x, y) = 0. Пусть каждому x из некоторого числового множества X соответствует одно или несколько y таких, что пара чисел (x, y) удовлетворяет данному уравнению. Тем самым данное уравнение определяет функцию (одну или несколько) y = f (x) и при этом для всех x из множества X выполняется равенство F (x, f (x)) = 0. В этом случае говорят, что данное уравнение неявно задает y как функцию от x или что задана неявная функция.

ческой зависимости ни x = ϕ(y), ни y = f (x), получаемых из зависимости

F (x, y) = 0.

Параметрический способ — это выражение зависимой и независимой

переменных через третью переменную, называемую параметром,

(

x = ϕ(t), y = ψ(t),

где t — параметр. Если существует обратная функция t = ϕ−1 (x), то, подставляя ее во второе уравнение, получим явное задание y от x в виде y = ψ ◦ϕ−1 (x) = f (x).

21

Пример. Закон движения точки по окружности радиуса R с центром (0, 0) задается положением точки M(x(t), y(t)) на плоскости xOy в зависи-

мости от времени t. Этот закон можно записать в виде

(

x = R cos ϕ(t), y = R sin ϕ(t),

где ϕ(t) — угол, определяющий положение точки на окружности в зависимости от времени t. Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, приходим к неявной зависимости x2 + y2 = R2 .

Другие примеры параметрического задания функций:

1) параметрическое задание параболы y = 4x2 получаем, полагая x = t/2, y = t2 ;

2) параметрическое задание прямой 2x −y = 1 x = t, y = 2t −1. Вообще, любую функцию, заданную явным уравнением y = f (x), можно задать параметрически (или, как говорят, параметризовать), полагая x =

t, y = f (t).

Параметрическое задание функции удобно интерпретировать как перемещение точки M(x(t), y(t)) на плоскости xOy по закону, определяющему значение ее координат x(t) = ϕ(t), y(t) = ψ(t) в зависимости от времени t.

Иногда текст, задающий функцию, может принимать достаточно специфический вид. В качестве примера упомянем так называемое табличное задание функции (обычно используется при обработке экспериментальных данных). Здесь «текст», задающий соответствие f : x → y, «записывается» в виде таблицы, в которой в одной строке расписывается значение аргумента, а в другой — значение функции.

Наконец, еще один способ задания функции — графический. Введем на плоскости прямоугольную систему координат. Для любой числовой функции y = f (x) на оси Ox изобразим множество ее определения X , а на оси Oy множество значений этой функции. Множество точек плоскости (x, f (x)), для которых x X назовем графиком функции y = f (x). Графики функций отражают свойства (поведение) этих функций. Например, из школьного курса математики читателю хорошо известно, как на графике отражаются такие свойства функции, как возрастание или убывание (монотонность), периодичность и т. п. Остановимся подробнее на так называемых свойствах симметрии.

Четной называется функция f (x), имеющая область определения, симметричную относительно точки x = 0, и удовлетворяющая условию f (−x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Oy, так как точки графика (x, f (x)) и (−x, f (−x)) симметричны относительно оси Oy.

22

Нечетной называется функция y = f (x), имеющая область определения, симметричную относительно точки x = 0, и удовлетворяющая условию f (−x) = −f (x). График нечетной функции симметричен на плоскости относительно начала координат, так как точки (x, f (x)) и (−x, f (−x)) = (−x, −f (x)) симметричны относительно начала координат. Например, функция y = x2 — четная, а y = x3 — нечетная, их графики представлены на рис. 0.4.

Графики прямой и обратной функций, рассматриваемые совместно, также обладают некоторым свойством симметрии. Пусть y = f (x). Если в обратной функции x = f −1(y) поменять местами символы x и y : x ↔ y и записать обратную функцию в виде y = f −1 (x), то графики функций f (x) и f −1 (x) будут симметричны относительно прямой x = y. Это следует из того, что точка (x, y) = (x, f (x)) графика функции f (x) симметрична относительно прямой y = x точке ( f (x), x). И если обозначить f (x) = x′, то получим, что x = f −1(x′) и точка ( f (x), x) = (x′, f −1(x′)) является точкой графика функции y = f −1(x) при значении аргумента x′.

Например, графики функций y = f (x) = ax и y = f −1 (x) = loga x, (a > 1), симметричны относительно прямой x = y, являющейся биссектрисой первого координатного угла (см. рис. 0.4).

0.6.4. Элементарные функции

Следующие функции: y = ax + b (линейная); y = sin x (синус x); y = logax (логарифм числа x по основанию a, a 6= 1, a > 0) назовем основными элементарными функциями.

Все функции, которые можно получить в результате конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления), а

23

также операций композиции (или суперпозиции, т.е. взятия сложной функции) и обратной функции, производимые над основными функциями ax + b, sin x и loga x, образуют множество всех элементарных функций.

Приведем некоторые из них, известные из курса элементарной математики.

1.Показательная функция y = ax . Эта функция является обратной к логарифмической функции.

2.Степенная функция w = xα (α действительное число) определяется как композиция трех функций: w = ez — показательной, z = αy — линейной

иy = ln x — логарифмической. Действительно,

5. Многочлен Pn(x) = a1 xn + a2 xn−1 + . . . + anx + an+1 — результат композиции линейных функций и арифметических операций (при целочисленных

n).

Продолжая применять к полученным функциям указанные выше арифметические операции, а также операции суперпозиции и взятия обратных функций, мы получим все множество элементарных функций.

Как в самой математике, так и в самых разных ее приложениях применяются гиперболические функции. Они определяются равенствами:

sh x = ex −e−x — синус гиперболический;

2

ch x = ex + e−x — косинус гиперболический;

2

ex −e−x

th x = ex + e−x — тангенс гиперболический;

ex + e−x

cth x = ex −e−x — котангенс гиперболический.

Оказывается для этих функций справедливы формулы,схожие с известными в тригонометрии. Например, если основное тригонометрическое тождество имеет вид sin2 x + cos2 x = 1, то для гиперболических функций справедливо основное гиперболическое тождество:

ch2 x −sh2 x = 1.

В самом деле,

24

Приведем для иллюстрации еще несколько формул, в справедливости которых рекомендуем убедиться самостоятельно.

th x = sh x ; th x ·cth x = 1; ch x

sh(x ±y) = sh x ch y ±ch x sh y;

sh 2x = 2 sh x ch x;

ch 2x = ch2 x + sh2 x.

Оказывается, для любой тригонометрической формулы существует аналогичная (но, как видно из примеров, не обязательно с ней совпадающая) гиперболическая формула.

Замечание. В качестве основных или образующих элементарных функций, при помощи которых указанными операциями образуется множество всех элементарных функций, можно взять другие наборы: {ax + b, cos x, ex} или {ax, C −const, tg x, 2x} и т. д.

Все элементарные функции задаются в виде формул, т. е. аналитически. Однако, стоит отметить, что аналитический способ задания, по существу, предполагает договоренность обозначать определенные операции соответствующими символами. Например, символ cos x обозначает величину проекции единичного отрезка на ось Ox. Символ loga x обозначает операцию нахождения такой степени y, чтобы заданное число x представлялось в виде x = ay. Таким образом, аналитическое задание функции формулой или знаком есть не что иное, как способ сокращения текста, описывающего закон соответствия f : x → y.

25

Глава 1.

Матрицы и системы линейных уравнений

С системами линейных алгебраических уравнений читатель знаком со средней школы. Рассмотрим, к примеру, простейшую систему из двух урав-

нений с двумя неизвестными:

(

2x −3y = 5,

(1.0.1)

3x + 4y = −1.

Решим эту систему методом исключения неизвестных: исключим неизвестное x, умножив первое уравнение на −3, второе — на 2, а затем сложив полученные уравнения. Получим таким образом ряд эквивалентных систем (напомним, эквивалентными, или равносильными, называются системы, которые имеют одно и то же множество решений):

Второе уравнение последней системы дает значение y = −1. Подставляя его в первое уравнение, находим x:

−6x + 9 ·(−1) = −15 ; −6x = −6 ; x = 1.

26

Эти последние действия также можно представить в виде эквивалентных преобразований систем:

Как читатель, вероятно, догадался, мы теперь исключили неизвестное y из первого уравнения системы (1.0.2), прибавив к нему второе уравнение, умноженное на −9. Таким образом получили систему (1.0.3), которая эквивалентна исходной системе (1.0.1) и настолько проста, что представляет собой решение исходной системы.

Сделаем некоторые замечания по поводу проделанных вычислений. Вопервых, процесс решения исходной системы состоял в последовательном выполнении над уравнениями системы некоторых операций, сохраняющих равносильность. Эти операции можно свести к следующим трем: умножение любого уравнения на число, не равное нулю; замена любого уравнения его суммой с другим; перестановка уравнений. Будем называть эти операции

элементарными преобразованиями.

Во-вторых, каждая из полученных в ходе решения систем однозначно определяется набором коэффициентов при неизвестных и правых частей уравнений. Изобразим, например, коэффициенты и правые части уравне-

Такие таблицы называют матрицами. В первой строке выписанной матрицы располагаются коэффициенты при неизвестных и правая часть первого уравнения системы (1.0.1), во второй строке — соответствующие коэффициенты второго уравнения.

В-третьих, элементарные преобразования, которые производились с системами, можно проделать с соответствующими матрицами, умножая их строки на число (т. е. умножая каждый элемент строки на это число), складывая строки или меняя их местами. Проделаем, например, с матрицей A те же преобразования, которые были проведены в (1.0.2)–(1.0.3) с системой линейных уравнений (1.0.1), т. е. умножим первую строку матрицы A на

27

−3, а вторую — на 2, затем сложим полученные строки и т. д. Тогда получим

Знак « » между матрицами означает эквивалентность соответствующих этим матрицам систем линейных уравнений. Финальная матрица (1.0.4)

соответствует системе (1.0.3)

x = 1,

y = −1,

которая, как и прежде, дает решение исходной системы (1.0.1).

Как видим, решение системы линейных уравнений можно свести к серии элементарных преобразований матрицы этой системы. Такими преобразованиями матрицу исходной системы можно преобразовать к такой матрице, в которой ниже диагональных элементов стоят нули. При этом оказывается, что в итоге получится система, равносильная исходной (этот метод решения систем называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных). Это, конечно, намного удобней, чем решать саму систему, особенно при решении систем больших размеров, т. е. с большим числом уравнений и неизвестных. Такие системы, содержащие десятки неизвестных и уравнений, нередки в различных областях, использующих математические методы, например в экономике, статистике и др. Матрицы используются также в других областях математики.

Данная глава будет посвящена основам матричного исчисления и применению его к решению произвольных систем линейных алгебраических уравнений.

§ 1.1. Матрицы и операции над ними

1.1.1. Линейные операции над матрицами

Матрицей размерности (m ×n) называется прямоугольная таблица, составленная из m · n чисел ai j , расположенных в m строках и n столбцах.

28

Матрицы изображаются и обозначаются одним из следующих способов:

где m — число строк матрицы, n — число столбцов. Числа ai j , образующие матрицу, называются элементами матрицы, при этом первый индекс i обо-

имеет размерность (2 ×3), ее элементы: a11 = 2, a12 = 1, a13 = −1, a21 = 0,

a22 = −2, a23 = 3.

Столбец размера m — это матрица размерности (m ×1). Строка размера n — это матрица размерности (1 × n). Для обозначения столбца будем использовать черту сверху, для обозначения строки — черту снизу, при этом элементы столбца или строки могут обозначаться буквами с одним

В то же время для элементов столбца или строки, входящих в какую-нибудь матрицу, сохраним их обозначение с двумя индексами. Так, для матрицы A

Матрица размерности (n ×n) называется квадратной порядка n. Например, следующие матрицы

a11 a12 ··· a1n

a a ··· a

=21 22 2n

A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

являются квадратными, причем матрица A имеет порядок n, а матрицы B и C — соответственно третьего и второго порядков.

Главной диагональю квадратной матрицы A = (ai j )n×n называют совокупность элементов (a11 , a22 , ..., ann), расположенных на диагонали, идущей из верхнего левого угла матрицы в ее нижний правый угол. Впрочем, указанную совокупность элементов, имеющих одинаковые индексы, также называют элементами главной диагонали, если даже матрица не является квадратной. Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю. Так, из приведенных выше примеров матриц треугольной является матрица B.

На множестве матриц одной размерности можно определить операции

сложения матриц и умножения матрицы на число:

а) сложить две матрицы, значит сложить соответствующие элементы:

A + B = (ai j + bi j )m×n,

( Складывать можно матрицы только одной размерности); б) умножить матрицу на число, значит умножить на это число все эле-

менты матрицы:

λA = (λai j )m×n,

Эти две операции в математике называют линейными.

вычислить матрицы: A + B, 2A, −3B.

РЕШЕНИЕ. Все искомые матрицы имеют ту же размерность (2 × 2), что и матрицы A, B. Их элементы вычислим, производя указанные действия с

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.1. Для матриц A и B неодинаковых размерностей сумма не определена, поэтому складывать их нельзя.

Поскольку операции сложения матриц и умножения матрицы на число сводятся к этим операциям над элементами матриц, то для них выполняются следующие

30