Высшая_математика_Том1

Таким образом,

H = |AB ·AC ·AD| = √6 .

121

Глава 3.

Аналитическая геометрия

§3.1. Уравнение линии на плоскости. Полярная система координат. Уравнение поверхности и линии в пространстве

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат. Если указано правило, по которому каждой точке M(x, y) плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число z, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) задана функция двух переменных z = f (x, y).

Предположим, что на плоскости задана линия L. Уравнение F (x, y) = 0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y любой точки, не лежащей на линии

L.

Саму линию L называют геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F (x, y) = 0» кратко будем говорить: «дана линия F (x, y) = 0».

Для аналитического представления линии L часто бывает удобно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи третьей вспомога-

тельной переменной (или параметра) t

x = ϕ(t), y = ψ(t).

Если из этих равенств можно исключить параметр t, то получим уравнение

122

линии в виде F (x, y) = 0. Например, уравнение окружности радиуса R с

центром в начале координат имеет вид: x2 + y2 = R2 . y

Рис. 3.1

Параметр t может принимать любые значения, но для того чтобы точка M один раз обошла окружность, следует ограничить область изменения параметра t: 0 6 t < 2π. Отметим, что для исключения параметра t из уравнений x = R cos t, y = R sin t достаточно возвести в квадрат и сложить эти уравнения

x2 + y2 = R2 cos2 t + R2 sin2 t = R2 (cos2 t + sin2 t) = R2 .

Получили уравнение окружности: x2 + y2 = R2 .

Вид уравнения линии зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы координат к другой, так и при переходе от декартовых к каким-нибудь другим координатам, в отличие от изображения линии.

3.1.1. Полярная система координат

В математике и ее приложениях часто применяется полярная система координат.

Полярная система координат определяется заданием:

1)некоторой точки O, называемой полюсом,

2)луча OA, исходящего из этой точки, называемого полярной осью и

3)масштаба (единицы длины) на этой оси.

123

124

3.1.2.Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz в пространстве и некоторая поверхность S. Говорят, что уравнение F (x, y, z) = 0 является уравнением поверхности S, если координаты любой точки M(x, yz), лежащей на поверхности S, удовлетворяют этому уравнению и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на данной поверхности.

Пусть, например, S — сфера радиуса R с центром в точке M0 (a, b, c). Все точки сферы одинаково удалены от центра, значит, произвольная точка M(x, y, z) лежит на сфере S тогда и только тогда, когда |M0 M| = R. Отсюда |M0 M|2 = R2 и, значит, уравнение такой сферы имеет вид:

(x −a)2 + (y −b)2 + (z −c)2 = R2 .

Отметим, что в уравнении поверхности F (x, y, z) = 0 не обязательно присутствуют все три переменные x, y и z; требуется лишь, чтобы координаты точек поверхности обращали уравнение поверхности в верное числовое равенство. Рассмотрим, например, уравнение F (x, y) = 0 и пусть оно определяет кривую L на плоскости Oxy.

Рис. 3.4 Следовательно, поверхность заданная уравнением F (x, y) = 0 может

быть получена движением прямой, параллельной оси Oz, вдоль кривой L. Аналогично выглядят поверхности, заданные уравнениями F (x, z) = 0 и

F (y, z) = 0.

Такие поверхности называются цилиндрическими и кривая L называется

направляющей цилиндра.

125

3.1.3. Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей. Если F1 (x, y, z) = 0 и F2 (x, y, z) = 0 уравнения этих поверхностей,

F1 (x, y, z) = 0, F2 (x, y, z) = 0,

должны удовлетворять точки, лежащие как на одной, так и на другой поверхности, т. е. точки, лежащие на линии L их пересечения.

Как и для случая плоской линии, возможно параметрическое задание линии L в пространстве. При этом координаты x, y и z любой точки линии

L задаются как функции некоторого параметра t

x = x(t);

y= y(t);

z = z(t).

Например, уравнения x = R cos t, y = R sin t, z = 2aπ t задают винтовую

линию, лежащую на цилиндре x2 + y2 = R2 и имеющую шаг винта, равный a. Рекомендуем читателю построить эту линию.

126

Действительно, так как прямая проходит через точку M0 (x0 , y0 ), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (3.2.1): y0 = kx0 + b. Вычитая

это равенство из уравнения (3.2.1), получим уравнение (3.2.2). y

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точкуM0 (x0 , y0 ), перпендикулярно касательной. Если k = f ′(x0 ) — угловой коэффициент ка-

3.2.2. Общее и каноническое уравнения прямой

Если прямая перпендикулярна оси Ox, то её невозможно задать уравнением y = kx + b, так как tg 90◦ не существует. Такие прямые задаются

127

уравнением x = a, где a — константа. Но при решении задачи зачастую (например, найти уравнение высоты в некотором треугольнике с заданными вершинами) заранее не известен угол наклона прямой к оси Ox и мы будем искать уравнение прямой в виде y = kx + b, тогда как такого уравнения в данном случае может не существовать.

Как можно задать прямую на плоскости? Прямая L однозначно определяется заданием какой-либо точки M0 (x0 , y0 ), через которую она проходит,

инаправлением. Направление можно задать вектором, который:

A)перпендикулярен данной прямой (рис.36);

B)параллелен данной прямой (рис.37).

Получим уравнения прямых в каждом из этих случаев. A. Общее уравнение прямой на плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x, y) на плоскости. Очевидно, что M L тогда и только тогда, когда M0 M n. Используя условие ортогональности двух векторов (равенство нулю их скалярного произведения), будем иметь

M0 M ·n = 0. Но M0 M = {x −x0 , y −y0 }и n = {a, b}. Следовательно, уравнение прямой имеет вид

Вектор n = {a, b} называется нормальным вектором или вектором нормали

к прямой. Уравнение (3.2.5) — это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали.

Раскрывая в уравнении (3.2.5) скобки и обозначая

128

При решении задач просто необходимо помнить, что в общем уравнении прямой коэффициенты при переменных x и y задают вектор нормали, т. е. вектор, перпендикулярный этой прямой. Например, если прямая задана уравнением 2x − 3y = 4, то вектор n = {2, −3} перпендикулярен данной прямой.

ПРИМЕР 3.2.1. Даны вершины треугольника A(−2, 1), B(1, 3) иC(−3, −2). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

РЕШЕНИЕ. Высота перпендикулярна в основанию. Значит нормалью к искомой прямой может служить вектор BC = {−4, −5}. Используя уравнение (3.2.5), получаем

−4(x + 2) −5(y −1) = 0.

Упрощая, получаем уравнение высоты

4x + 5y + 3 = 0.

ПРИМЕР 3.2.2. При каком значении параметра a прямые 3ax −8y + 13 = 0 и (a + 1)x −2ay −21 = 0 параллельны?

РЕШЕНИЕ. Прямые параллельны, если их нормали n1 = {3a, −8} и n2 = {a + 1, −2a} параллельны. Используя условие (2.2.7) коллинеарности двух векторов, получаем

3a = −8 . a + 1 −2a

Отсюда 3a2 −4a −4 = 0. Решая это уравнение, получим a1 = 2 и a2 = −23 .

ПРИМЕР 3.2.3. При каком значении параметра a прямые (3a + 2)x + (1 − 4a)y + 8 = 0 и 2x −3y + 7 = 0 будут перпендикулярны друг другу?

РЕШЕНИЕ. Прямые перпендикулярны, если их нормали n1 = {3a + 2, 1 − 4a} и n2 = {2, −3} будут также перпендикулярны, значит, скалярное произведение n1 ·n2 = 0. Отсюда

B. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Получим уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) параллельно вектору s = {l, m} (рис. 3.8). Возьмем произвольную точку M(x, y) на плоскости. Очевидно, что точка M L тогда и только тогда, когда векторы M0 M и s коллинеарны. Используя условие (2.2.7) коллинеарности двух векторов, будем иметь

129

Уравнение (3.2.7) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Вектор s = {l, m} называется направляющим вектором прямой.

Итак, в каноническое уравнение прямой входят координаты вектора ей параллельного (направляющего вектора прямой). Например, если пря-

x −1 y + 3

мая задана уравнением 2 = −4 , то эта прямая проходит через точку

M0 (1, −3) параллельно вектору s = {2, −4}.

Заметим, что в уравнении (3.2.7) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю (оба эти числа быть равными нулю не могут, так как

При решении задач следует помнить, что если уравнение прямой записано в канонической форме (3.2.7), то числа, стоящие в знаменателях, задают направляющий вектор прямой.

ПРИМЕР 3.2.4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(3, −2) перпендикулярно прямой 4x −5y + 1 = 0.

РЕШЕНИЕ. Направляющим вектором искомой прямой может служить

вектор нормали n = {4, −5} данной прямой: x −3 = = y + 2 — искомое

уравнение.

4 −5

130