Высшая_математика_Том1

−b

−3

Рис. 3.20 Рис. 3.21 ПРИМЕР 3.5.1. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1)его полуоси равны 4 и 2;

2)расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5.

В заключение этого параграфа рассмотрим параметрические уравнения

эллипса. Раньше мы вывели параметрические уравнения окружности

x = R cos t, y = R sin t.

Здесь параметр t — угол между радиус-вектором OM и положительной полуосью Ox, где M — произвольная точка окружности.

Очевидно, x = a cos t, y = b sin t при подстановке в каноническое уравне-

ние эллипса (3.5.3) обращает его в тождество. Следовательно,

x = a cos t,

y= b sin t.

иявляются искомыми параметрическими уравнениями эллипса. Но здесь параметр t уже не будет углом между радиус-вектором точки эллипса и положительной полуосью Ox.

151

Возьмем две точки M1 (x, y) и M2 (x,Y ), расположенных соответственно на эллипсе и окружности, имеющих одну и ту же абсцисcу x и лежащих по одну сторону от оси Ox. тогда

Разрешая это уравнение относительно y, получим y = bY .

Так как параметрические уравнения окружности a

x = a cos t, Y = a sin t,

то, заменяя здесь Y = a y, получим параметрические уравнения эллипса

x = a cos t, y = b sin t.

Таким образом, параметрt — это угол, соответствующий радиус-вектору точки M2 окружности, описанной около эллипса, если эта точка лежит над или под точкой M1 эллипса. Очевидно, точка M1 (x, y) описывает весь эллипс, если параметр t пробегает интервал от 0 до 2π.

3.5.3. Гипербола

Определение 3.5.2. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами (и равная 2a).

Для вывода канонического уравнения гиперболы проведём ось Ox через фокусы F1 и F2 , а ось Oy перпендикулярно оси Ox через середину отрезка F1 F2 (рис. 3.17). Обозначим расстояние между фокусами 2c, тогда фокусы

152

имеют координаты F1 (−c, 0) и F2 (c, 0). Возьмём точку M(x, y) на плоскости. Эта точка лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда |MF1 −MF2 | = 2a.

По формуле расстояния между двумя точками имеем MF1 = (x + c)2 + y2 ,

Далее проделаем без пояснений те же преобразования, что при выводе

канонического уравнения эллипса:

q q

(x + c)2 + y2 = (x −c)2 + y2 ±2a, q

x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 −2cx + c2 + y2 ±4a (x −c)2 + y2 + 4a2 , q

cx −a2 = ±a (x −c)2 + y2 , c2 x2 + a4 = a2 (x2 + c2 + y2 ),

(c2 −a2 )x2 −a2 y2 = a2 (c2 −a2 ).

В любом треугольнике разность двух любых его сторон меньше третьей стороны. Поэтому (рис. 3.17), |MF1 −MF2 | < F1 F2 . Отсюда 2a < 2c, то есть c2 −a2 > 0. Обозначим b2 = c2 −a2 , тогда

b2 x2 −a2 y2 = a2 b2 .

Разделив обе части на a2 b2 , получаем каноническое уравнение гиперболы

Как и при записи уравнения эллипса можно убедиться, что при алгебраических преобразованиях уравнения (3.5.5) мы не приобрели новых корней.

Величина a называется действительной полуосью гиперболы, величина b называется мнимой полуосью гиперболы.

3.5.4. Гипербола: исследование формы

Из канонического уравнения гиперболы x2 − y2 = 1 получаем: a2 b2

1) гипербола симметрична относительно осей координат и относительно начала координат;

2) гипербола пересекается с осью Ox в двух точках A(−a, 0) и B(a, 0). Гипербола не имеет общих точек с осью Oy.

153

Действительно, полагая y = 0, из канонического уравнения гиперболы

y2 = −b2 , а это равенство невозможно для действительных чисел.

Точки A и B называются вершинами гиперболы. Ось Ox называется действительной осью гиперболы, а ось Oy —мнимой осью;

3)абсциссы точек гиперболы удовлетворяют неравенствам x 6 −a или

x > a.

В самом деле. Из канонического уравнения гиперболы имеем x2 = 1 + a2

y2 > 1. Отсюда x2 > a2 , а, значит, x 6 −a или x > a;

b2 4) в силу симметрии гиперболы достаточно построить ее часть в первой четверти.

Покажем, что прямая y = b · x является асимптотой гиперболы. Это a

означает, что если точка M(x, y), двигаясь по гиперболе неограниченно удаляется от начала координат, то ее расстояние PM до этой прямой стремится

к нулю (рис. 3.23). y

PТак как в первой четверти x > 0 и y > 0,

ax + x2 −a2

Знаменатель последней дроби неограниченно увеличивается, если x → +∞, а значит, сама дробь стремится к нулю. Итак, рассматриваемая часть

гиперболы приближается к прямой y = b x с ростом x. В силу симметрии

a

аналогичным свойством обладают остальные части гиперболы расположенные во второй, третьей и четвертой четвертях;

154

5) используя производные можно показать, что при x > 0 первая про- r

Это означает, что данная функция монотонно возрастает и ее график — выпуклая вверх кривая.

На основании свойств 1)–5) строим гиперболу (рис. 3.24).

Построение асимптот гиперболы y = ±b x позволяет более точно по-

a

строить саму гиперболу. Очевидно, что асимптоты совпадают с диагоналями прямоугольника, центр которого совпадает с центром симметрии O гиперболы, а стороны параллельны действительной и мнимой осям симметрии. Отрезки длиной 2a и 2b, соединяющие середины сторон этого прямоугольника, также называют осями (действительной и мнимой) гиперболы.

ПРИМЕР 3.5.2. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что

1)расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами — 10;

2)действительная полуось равна 5 и вершины делят расстояние между центром и фокусами пополам.

РЕШЕНИЕ. 1) Дано: 2a = 8 и 2c = 10 Отсюда по формуле (3.5.7) находим

155

определяет гиперболу с фокусами F1 (0, b) и F1 (0, −b) расположенными на оси ординат. В этом случае постоянная по модулю разность расстояний от точек гиперболы до фокусов равна 2b.

Две гиперболы, заданные уравнениями

Гипербола с равными полуосями a = b называется равносторонней. Ее каноническое уравнение

x2 −y2 = a2 , −x2 + y2 = b2 .

Взаключении этого параграфа заметим, что с помощью гиперболических функций, введенных в параграфе 1.6.4, параметрические уравнения гиперболы 3.5.6 можно задать в виде

x = a ch t, y = b sh t.

Всамом деле, подставляя эти формулы в уравнение гиперболы, видим, что при любом t

x2 − y2 = ch2 t −sh2 t = 1, a2 b2

в силу основного гиперболического тождества.

3.5.5. Эксцентриситет эллипса и гиперболы

Важной характеристикой эллипса и гиперболы является эксцентриси-

a

Таким образом, для эллипса эксцентриситет равен отношению расстоя-

ния между фокусами к большой оси: e = 2c . Для гиперболы эксцентриситет

2a

равен отношению расстояния междуфокусами к действительной оси e = 2c .

2a

Учитывая (3.5.4) и (3.5.7) легко получить следующие формулы для экс-

Из этих формул вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, эксцентриситет окружности равен нулю (так как для окружности a = b), эксцентриситет гиперболы больше единицы.

156

Эксцентриситет гиперболы является характеристикой угла между асимптотами гиперболы. В самом деле, отношение b/a равно тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы.

ПРИМЕР 3.5.3. Дан эллипс 25x2 + 169y2 = 4225. Найти его эксцентриситет.

РЕШЕНИЕ. Приводим уравнение эллипса к каноническому виду

ПРИМЕР 3.5.4. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой эксцентриситет e = 2.

РЕШЕНИЕ. Искомый угол обозначим 2ϕ. Тогда (рис. 3.24) tg ϕ = b и, сле-

3.5.6. Парабола

В школьном курсе математики параболой называется график функции y = ax2 + bx + c, a =6 0. В этом случае предполагается заданной декартова прямоугольная система координат. Если в этой системе координат кривую сдвинуть и повернуть на какой - либо угол, то ее уравнение изменится и называть ее параболой будет некорректно, между тем форма кривой при этом не изменится. Дадим определение параболы, не зависящее от выбора системы координат.

157

Определение 3.5.3. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F и от данной прямой, лежащих на этой плоскости.

Указанные в этом определении точка F называется фокусом параболы, а прямая называется директрисой (то есть направляющей) параболы.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p. Ось Ox проведем через фокус F перпендикулярно директрисе, а ось Oy — параллельно директрисе на расстоянии p/2 от нее (рис. 3.26). Пусть M(x, y) — точка плоскости. Согласно определению параболы точка лежит на ней тогда и только тогда, когда MF = MB, где B — проекция точки M на директрису. Точка B имеет координаты (−p/2, y), следовательно,

Возводя обе части этого равенства в квадрат и упрощая, получаем кано-

Число p называется параметром параболы.

При упрощении уравнения (3.5.10) могли появится посторонние корни, то есть точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.5.11), но не удовлетворяют уравнению (3.5.10). Покажем, что этого не произошло. Пусть M(x, y) — произвольная точка с координатами, удовлетворяющими

158

уравнению (3.5.11). Надо показать, что эта точка одинаково удалена от фокуса и от директрисы. Из уравнения (3.5.11) следует,что x > 0. Для точек с неотрицательными абсциссами MB = x + p/2. Для расстояния MF имеем

q q

=x2 + px + p2 /4 = (x + p/2)2 = x + p/2 = MB.

1 ·y2 , то получаем извест-

2 p

ную параболу y = ax2 , с точностью до обозначения осей координат. Отсюда получаем график параболы (рис. 3.27).

Отметим, что кривая y2 = 2 px при p < 0 также является параболой, но расположенной в левой полуплоскости Oxy.

Если фокус параболы расположен на оси Oy, директриса параллельна оси Ox и вершина находится в начале координат, то каноническое уравнение параболы будет иметь вид x2 = 2 py.

Очевидно, что каноническая форма записи уравнения параболы позволяет легко найти его фокус.

Чаще возникает обратная задача: уравнение эллипса задано в виде (3.5.13) и его надо записать в виде (3.5.12). Для этого достаточно в уравнении (3.5.13) выделить полные квадраты по переменным x и y. Заметим, что это возможно, если в уравнении (3.5.13) отсутствует член с произведением xy. Определив точку O, строим эллипс.

Аналогично поступаем в случае гиперболы и параболы.

159

ПРИМЕР 3.5.5. Установить, какие линии определяются уравнениями:

1)4x2 + 3y2 −8x + 12y −32 = 0;

2)16x2 −9y2 −64x −18y + 199 = 0;

3)x + y2 −2y + 1 = 0.

Изобразить эти линии на чертеже.

РЕШЕНИЕ. 1). Проведем стандартные преобразования по выделению полных квадратов

4x2 + 3y2 −8x + 12y −32 = 4(x2 −2x) + 3(y2 + 4y) −32 =

= 4[(x −1)2 −1] + 3[(y + 2)2 −4] −32 =

иb = 16 = 4. Строим чертеж (рис. 3.29). 2). Выделяя полные квадраты, получаем

(y + 1)2

16

= 1, имеющей параметры a = 3 и b = 4. Строим чертеж (рис. 3.30).

160