Высшая_математика_Том1
.pdfтем точнее, чем x ближе к x0 . В этом случае форма Пеано, характеризующая лишь стремление остатка к нулю при x → x0 , непригодна для приближенных вычислений. В большинстве приложений у рассматриваемых функций существуют и непрерывны производные всех порядков, так что в формуле Тейлора в качестве n можно взять любое натуральное число. Предположим, все производные функции f (x) ограничены одной и той константой:
|f (k)(x)| 6 M.
Тогда, используя остаточный член в форме Лагранжа (6.4.7), будем иметь
|
|
|
|
f (n+1)(c) |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|||
n |
|Rn+1 |
(x)| = |
|
(n + 1)! |
|
(x −x0 )n+1 |
|
6 |
(n + 1)! |
|x −x0 |n+1 . |
(6.4.14) |
||||
∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
правая |
часть последнего |
неравенства стремится к нулю |
||||||||||
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при |
→ |
для любого |
. Возьмем произвольное число |
|
и выберем на- |
туральное число n0 , большее, чем 2|x − x0 |. Тогда при n > n0 будем иметь
n > 2 x |
x |
0 | |
или |
|x −x0 | |
< |
1 |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
| |
− |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x −x0 )n+1 |
= |
|(x −x0)n0 | |
|x −x0 | |
|
|x −x0 | |
··· |
|x −x0 | |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(n + 1)! |
|
|
(n0 )! |
|
|
|
n0 + 1 |
|
|
n0 + 2 |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
x0 ) |
n0 |
|
|
1 |
|
|
2(x |
|
x0 ) |
|
n0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
| |
|
− |
|
|
| |
|
|
< |
| |
|
− |
|
| |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n0 )! |
|
|
2n+1−n0 |
|
(n0 )! |
|
|
2 |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как первый множитель в правой части последнего неравенства не зависят от n, а второй 1/2n стремится к нулю при n → ∞, то отсюда
lim |
M |
x x |
0 | |
n+1 |
= |
0 (6.4.14) |
lim R |
x |
0 |
||
|
|||||||||||
n |
→ |
∞ (n + 1)! |
| − |
|
= |
n ∞ |
n+1 ( |
) = . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
Таким образом, в этом случае можно оценить погрешность приближенной формулы (6.4.13) (если n задано), либо подобрать n так, чтобы была гарантирована заданная точность. В общем случае необходимо исследовать стремление к нулю остатка в рассматриваемой точке x.
В недавнем прошлом основным приложением рядов Тейлора было их использование в приближенных вычислениях значений функции. С развитием вычислительной техники эти вопросы, по-видимому, потеряли свою актуальность. Тем не менее поле применения рядов Тейлора необозримо. Например, их часто с успехом используют для получения аналитического выражения, пусть хотя бы приближенного, решения функциональных уравнений (т. е. уравнений содержащих неизвестную функцию и, возможно, ее производные).
ПРИМЕР 6.4.1. Найти приближенное решение уравнения sin x + sin y = x −y
в окрестности точки x0 = 0.
231
РЕШЕНИЕ. Функцию y = y(x) ищем в виде (6.4.10). Подставляя в уравнение x = x0 = 0, получим sin y = −y. Значит, y(x0 ) = 0. Продифференцируем
данное уравнение
cos x + cos y ·y′ = 1 −y′.
Подставим x = 0, y = y(x0 ) = 0: cos 0 + cos 0 ·y′(0) = 1 −y′(0). Отсюда y′(0) = 1/2. Дифференцируя еще раз, получим
−sin x −sin y ·y′2 + cos y ·y′′ = −y′′.
Подставляя x = 0, y = y(0) = 0, y′ = y′(0) = 1/2, получим y′′ = −y′′. Значит y′′(0) = 0. Проделав эту операцию еще один раз, будем иметь
−cos x −cos y ·y′3 −3 sin y ·y′ ·y′′ + cos y ·y′′′ = −y′′′.
Отсюда при x = 0, y = y(0) = 0, y′ = y′(0) = 1/2, y′′ = y′′(0) = 0 получим y′′′ = 9/16. Таким образом, приближенное решение уравнения по формуле
(6.4.10)
y ≈ 2x + 323 x3 .
Но даже если аналитическое выражение для функции f (x) известно, то формула Тейлора, как сказано выше, позволяет приближенно представить ее (или, как говорят в математике, аппроксимировать многочленом первой степени (линейная аппроксимация), второй степени (параболическая аппроксимация) и т. д.
ПРИМЕР 6.4.2. Представить приближенно в виде многочлена третьей степени функцию y = xx в окрестности точки x0 = 1.
РЕШЕНИЕ. Для нахождения производных прологарифмируем функцию: ln y = ln xx = x ln x. Отсюда последовательным дифференцированием находим
y′ = y(ln x + 1), |
y′′ = y′(ln x + 1) + |
y |
|
y′′′ = y′′(ln x + 1) + 2 |
y′ |
|
y |
|
|
, |
|
− |
|
. |
|||
x |
x |
x2 |
Подставляя в функцию и ее производные x = 1, получим y(1) = 1, y′(1) =
1, y′′(1) = 2, y′′′(1) = 3.
По формуле Тейлора (6.4.9) получаем искомое приближение
y = xx |
≈ |
1 + (x |
− |
1) + (x |
− |
1)2 + |
(x −1)3 |
= |
2x3 −3x2 + 3x + 3 |
. |
|
2 |
6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
В качестве следующих примеров рассмотрим разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена (6.4.10). При этом мы ограничимся функциями, коэффициенты Тейлора которых находятся сравнительно просто.
Показательная функция
232
Уфункции f (x) = ex все производные совпадают с f (x) и поэтому при x = 0 все они принимают значения, равные 1. По формуле Маклорена (6.4.10) с остаточным членом в форме Лагранжа
ex = 1 + x + |
x2 |
+ |
x3 |
+ . . . + |
xn |
+ |
xn+1 |
eθx, |
(6.4.15) |
|
|
|
(n + 1)! |
||||||
2! |
3! |
|
n! |
|
|
где 0 < θ < 1, а значит, c = θx находится между нулем и x. Покажем, что если неограниченно увеличивать n, то остаточный член будет стремиться к нулю при любом x. Пусть x произвольное действительное число. Выберем H > 0
настолько большим, чтобы − |
H < x < H |
. Так как |
функция ex, то она и все |
|||||||
|
|
|
|
|
H |
. Из неравенства |
||||
ее производные ограничены одной и той же константой e |
|
|||||||||
(6.4.14) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(x) 6 eH |
|x −x0 |n+1 |
0, |
n |
|
∞. |
|
|||
(n + 1)! → |
→ |
|
||||||||
| n+1 |
| |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, равенство (6.4.15) справедливо на всей числовой оси для
любого n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Синус и косинус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для производных функции y = sin x имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= cos x = sin(x + |
|
π |
); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y′′ = −sin x = sin(x + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
); |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y′′′ = −cos x = sin(x + 3 |
π |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Следовательно, |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y(n) = (sin x)(n) = sin(x + n |
). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
При x = 0 эти производные равны |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
0, при n = 2k, |
|
|
|||||||||||||||||||
y(n)(0) = sin(n |
|
|
|
) = |
(−1)k , при n = 2k + 1. |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(cos x)(n) = cos(x + n · |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
И, значит, |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) , при n = 2k, |
|
|
||||||||||||||||||||
y(n)(0) = cos(n |
|
) = |
− |
0, при n = 2k + 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом разложения Тейлора имеют вид |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
sin x = x |
− |
x3 |
+ |
x5 |
|
|
. . . + ( |
1)n−1 |
|
x2n−1 |
+ R |
|
(x). |
(6.4.16) |
||||||||||||||||||
3! |
5! − |
|
|
|
2n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
(2n |
− |
1)! |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
x4 |
|
|
|
|
|
n |
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.17) |
||||||||
cos x = 1 − |
|
|
+ |
|
−. . . + (−1) |
|
+ R2n+1(x). |
|||||||||||||||||||||||||
2! |
4! |
(2n)! |
233
Так как функции y = sin x и y = cos x и все их производные по модулю не превосходят единицы, то разложения справедливы на всей числовой оси (т. е. остаточные члены при любом x стремятся к нулю, если n → ∞).
Логарифм
Рассмотрим функцию y = f (x) = ln(1 + x). Дифференцируя, находим
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y′′ = − |
|
1 |
|
|
= (−1)1 |
|
1 |
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(1 + x)2 |
|
(1 + x)2 |
|
||||||||||||||||||||||||
y′′′ = |
|
1 ·2 |
|
= ( 1)2 |
|
|
2! |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(1 + x)3 |
|
|
− |
(1 + x)3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y(4) = |
− |
1 ·2 ·3 |
|
= ( |
− |
1)3 |
|
3! |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||
(1 + x)4 |
(1 + x)4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y(n) = ( 1)n−1 |
(n −1)! |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
(1 + x)n |
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
y(n)(0) = (−1)n−1(n −1)! |
|
|||||||||||||||||||||
y(0) = 0, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Искомое разложение по формуле (6.4.10) имеет вид |
|
||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|||||||
ln x = x − |
|
+ |
|
|
−. . . + (−1)n−1 |
|
+ Rn+1(x). |
(6.4.18) |
|||||||||||||||||||
2 |
3 |
n |
Можно доказать, что остаточный член Rn+1 (x), будет стремиться к нулю при n → ∞, если только −1 < x 6 1.
Бином Ньютона
Рассмотрим функцию f (x) = (a + x)n, где n — натуральное число. Из школьного курса математики известны частные случаи (a + x)2 = a2 + 2ax + x2 и (a + x)3 = a3 + 3a2 x + 3ax2 + x3 . Очевидно, f (x) — многочлен степени n, поэтому все производные, начиная с n + 1-й тождественно равны нулю и остаток также равен нулю. Ясно, что f ′(x) = n(a + x)n−1 , f ′′(x) = n(n −
1)(a + x)n−2, . . . , f (k)(x) = n(n −1) . . . (n −k + 1)(a + x)n−k , . . . , f (n)(x) = n(n−
−1) . . . 2 ·1.
Подставляя сюда x = 0 и учитывая, что Rn+1 (x) ≡ 0, по формуле Маклорена (6.4.10) получаем формулу бинома Ньютона
(a + x)n = an + |
n |
an−1 x + |
n(n −1) |
an−2 x2 |
+ |
|
|
||
|
|
|
|||||||
1 |
2! |
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
n(n −1)(n −2) |
an−3 x3 |
+ . . . + |
n(n −1)(n −2) . . . 2 ·1 |
xn. |
|||
|
|
3! |
|
|
|
n! |
234
Коэффициенты при an−k xk называются биномиальными коэффициента-
ми и обозначаются Ck |
. Таким образом, |
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
Cn0 = 1, Cn1 = n, Cn2 = |
n(n −1) |
, . . . , |
|
|
|||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnk = |
n(n −1) . . . (n −k + 1) |
, . . . , Cnn = 1. |
|
|
|
|
|
|
k! |
|
Биномиальные коэффициенты можно выразить через факториалы |
|||||||
Ck |
= |
|
|
n! |
; k = 0, 1, 2, . . . , n; 0! = 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
n |
k! ·(n −k)! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Отметим важное свойство биномиальных коэффициентов
Cnk = Cnn−k , k = 0, 1, 2, . . . , n,
удобное при вычислении биномиальных коэффициентов, у которых верхний индекс больше половины нижнего, например C107 = C1010−7 = C103 =
10 ·9 ·8/3! = 120.
С использованием биномиальных коэффициентов формула бинома Ньютона может быть записана в виде
(a + x)n = Cn0 an + Cn1 an−1 x + Cn2 an−2 x2 + . . . + Cnnxn =
n
∑ Cnk an−k xk . (6.4.19)
k=0
Отметим, что формула (6.4.19) была известна задолго до Ньютона. Заслуга Ньютона в том, что он распространил эту формулу на не целые n.
Рассмотрим функцию f (x) = (1 + x)α, где α =6 0 — произвольное действительное число. Для x > −1 она имеет производные всех порядков
f ′(x) = α(a + x)α−1, |
f ′′(x) = α(α |
− |
1)(a + x)α−2, . . . , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k + 1)(a + x)α−k . |
||||||
|
|
|
|
|
|
f (k)(x) = α(α |
− |
1) . . . (α |
− |
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (k)(0) = α(α −1) . . . (α −k + 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Введем биномиальные коэффициенты |
|
|
α α 1 . (α n + 1) |
||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
2 |
2! |
|
|
α |
|
||||||||||||
α |
= 1, |
α |
= α, |
α |
= |
α(α −1) |
, . . . , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
|
( − ) . . |
− |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|||||||||
Из формулы Маклорена (6.4.10) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
α |
α |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)α = 1 + 1 x |
+ 2 x2 + . . . + |
n xn + Rn+1(x) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
α |
xk |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
R |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k=0 k |
|
|
+ |
|
n+1 |
( ). |
(6.4.20) |
235
6.4.3. Правило Лопиталя
Правило Лопиталя – это метод вычисления некоторых пределов. Основное правило Лопиталя служит для раскрытия неопределенностей вида 0/0. Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, причем g′(x) 6= 0 в этой окрестности.
Тогда если lim f (x) = f (a) = 0, lim g(x) = g(a) = 0 и существует предел
|
f ′(x) |
|
x→a |
|
x→a |
|
||||
lim |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→a g′(x) |
|
|
f (x) |
|
|
f ′(x) |
|
|
||
|
|
|
|
lim |
|
= lim |
. |
(6.4.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x→a g(x) |
x→a g′(x) |
|
Всамом деле, по теореме Коши 6.4.5 для x 6= a найдется такое c между a и x
,что f (x) = f (x) − f (a) = f ′(c) . Если x → a, то c → a и lim f ′(c) = lim f ′(x) .
(x) g(x) −g(a) g′(c) c→a g′(c) x→a g′(x)
Отсюда получаем требуемое.
Если окажется, что lim f ′(x) снова дает неопределенность вида 0/0, то
x→a g′(x)
можно попытаться применить правило Лопиталя повторно. Иногда приходится применять этот прием несколько раз.
ПРИМЕР 6.4.3. Найти lim |
1 + sin x −ex |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
РЕШЕНИЕ. Дважды применяя правило Лопиталя, получим |
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
1 + sin x |
ex |
|
|
0 |
|
lim |
cos x ex |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
− = |
0 |
|
2x− = |
0 = |
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
= x→0 |
−sin x −ex |
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
= |
− |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя применимо также для неопределенностей вида ∞/∞:
lim f |
x |
∞ |
lim g x |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
lim |
f ′(x) |
|
, то |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если x→a |
( ) = ± |
|
, x→a |
( ) = ± |
|
и существует предел x→a g′(x) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
|
= lim |
f ′(x) |
. |
|
|
|
|
|
(6.4.22) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x→a g(x) |
|
x→a g′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕР 6.4.4. |
Найти lim |
ln sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
РЕШЕНИЕ. По правилу Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
ln sin2 x |
|
lim |
(1/ sin2 x)2 sin x cos x |
|
lim |
2 sin x cos x |
) = |
0 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
−1/ sin2 x |
|
|||||||||||||||||
x→0 |
ctg x |
= x→0 |
|
= x→0(− |
|
|
|
236
Правило Лопиталя справедливо также и в случаях, когда x → ±∞, когда
lim f ′(x) = ±∞ и наконец, оно справедливо для односторонних пределов.
x→a g′(x)
ПРИМЕР 6.4.5. Показать, что |
|
|
|
||||
|
lnα x |
|
|
xα |
(6.4.23) |
||
1) lim |
|
|
= 0, |
2) lim |
|
= 0, (α > 0, β > 0). |
|
x |
β |
βx |
|||||
x→+∞ |
|
|
x→+∞ e |
|
РЕШЕНИЕ. В обоих случаях, при положительных значениях параметров α и β, мы имеем неопределенности вида ∞/∞. В зависимости от конкретных численных значений этих параметров применяем правило Лопиталя до тех пор, пока не исчезнет неопределенность.
|
lnα x |
|
|
|
|
α lnα−1 x |
|
|
|
|
α lnα−1 x |
|
|
|
|
||||||||
1) lim |
= lim |
|
|
|
x |
|
= |
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xβ |
|
|
|
βxβ−1 |
|
|
βxβ |
|
|
|
|||||||||||||
x→+∞ |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
α(α |
|
|
1) lnα−2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
α(α −1) lnα−2 x |
|
|
|
||||||||
|
= lim |
|
|
x |
|
|
|
= lim |
= . . . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→+∞ |
|
|
β2 xβ−1 |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
β2 xβ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . = |
lim |
α(α −1) . . . (α −k + 1) lnα−k x |
= 0, |
|||||||||||
как только α −k < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
βk xβ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) lim |
xα |
|
|
|
αxα−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= lim |
|
|
|
|
= . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
βx |
βe |
βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ e |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(α −1) . . . (α −k + 1)xα−k |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . = lim |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
βk eβx |
|
|
как только α −k < 0.
Рассмотренный пример имеет некоторый теоретический интерес. Среди элементарных функций выделим три класса:
1)показательные функции y = ax = ex ln a с основанием a > 1;
2)степенные функции y = xα с показателем α > 0;
3)логарифмические функции lnα x, возведенные в произвольную положительную степень α.
Все функции этих классов неограниченно возрастают с ростом x. Тогда любая функция из предыдущего класса возрастает медленнее любой функции из последующего класса. Отсюда, в частности, сразу получаем, что какое бы ε > 0 ни взять, для всех достаточно больших x выполняется неравенство ln x < xε.
237
Правило Лопиталя позволяет раскрывать и все другие неопределенности (∞ −∞), (0 ·∞), (00 ), (∞0 ), (1∞). В каждом случае алгебраическими преобразованиями данное выражение нужно преобразовать к неопределенности
вида (0/0) или (∞/∞). Как это делается, рассмотрим на примерах. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
). Найти предел x→0 |
ctg |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Неопределенность ( |
− |
x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
ctg x |
|
1 |
= lim |
|
|
|
cos x |
1 |
|
= lim |
x cos x −sin x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
− x |
sin x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= lim |
cos x −x sin x −cos x |
= lim |
|
|
|
|
x sin x |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
sin x + x cos x |
|
x→0 sin x + x cos x |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
sin x |
|
|
|
= |
|
|
= 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
+ cos x |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Неопределенность ( |
|
· |
|
). Найти предел x |
|
|
+0 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
||
|
РЕШЕНИЕ. Функцию x ln x можно представить либо в виде |
|
, либо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/x |
|
|
|
. Первое представление предпочтительнее, так как в этом случае про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1/ ln x |
изводная знаменателя находится проще. В этом случае функция дает неопределенность вида (∞/∞) и по правилу Лопиталя имеем
x +0 |
= x +0 |
ln x |
= x +0 |
1/x |
= x +0(− |
) = . |
|
1/x |
1/x2 |
||||||
lim x ln x |
lim |
|
lim |
|
lim |
x |
0 |
→ |
→ |
|
→ |
− |
→ |
|
|
При раскрытии трех последних неопределенностей можно использовать основное логарифмическое тождество uv = eln uv = ev ln u. Нетрудно проверить, что во всех трех случаях в показателе экспоненты мы будем иметь
|
|
(0 |
|
∞) |
|
|
|
|
|
предыдущем примере. |
|||
неопределенность вида |
|
0· |
, рассмотренную в |
x |
|||||||||
Неопределенность (0 |
|
). Найти предел lim(sin x) . |
|||||||||||
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln sin x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
x ln sin x |
= lim e |
1/x |
= |
|
|
|
|
|||||
lim(sin x) = lim e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
cos x/ sin x |
|
x2 cos x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1/x2 |
= lim e− |
|
= e0 = 1. |
|||
|
|
|
|
|
= lim e |
|
sin x |
||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
На последнем шаге использован первый замечательный предел.
Неопределенность (∞0 ). Найти предел lim(ln(1 + x))x.
x→0
238
РЕШЕНИЕ.
|
|
|
|
|
|
|
|
ln ln(1 + x) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(ln(1 + x)) |
x |
= lim e |
x ln ln(1+x) |
= lim e |
1/x |
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/((1 + x) ln(1 + x)) |
− |
|
2x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim e |
|
−1/x |
2 |
|
|
ln(1 + x) + 1 = |
|||||
|
|
|
= lim e |
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
= lim e0 = 1.
x→0
1
Неопределенность (1∞). Найти предел lim (cos x) x2 .
x→0
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln cos x |
= lim e− |
tg x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
lim (cos x) x2 |
= lim e x2 |
2x |
|
|
|
|
||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
1/ cos2 x |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
= lim e |
= e |
|||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
Даже при использовании правила Лопиталя не следует забывать теорему об использовании эквивалентных бесконечно малых (предел отношения бесконечно малых не изменится, если числитель или знаменатель заменить эквивалентными бесконечно малыми). Так, в последнем примере решение будет кратким, если заменить бесконечно малую tg x, x → 0 на эквивалентную x. Более показателен следующий пример.
Если предел lim ex3 −x3 −1 находить, используя только правило Лопи- x→0 sin6 x
таля, то придется это правило шесть раз, причем при каждом дифференцировании числитель и знаменатель будут все более усложняться (убедитесь
в этом). Если же |
воспользоваться эквивалентностью sin x |
|
x при x |
→ |
0, а |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
затем сделать замену x |
|
= t |
(при этом, очевидно, t → 0), то получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
−x |
3 |
−1 |
|
|
|
x3 |
−x |
3 |
−1 |
|
|
|
t |
−t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
e |
|
|
= lim |
e |
|
|
= lim |
e |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
|
sin6 x |
x→0 |
|
|
x6 |
|
|
|
t→0 |
t2 |
et −1 |
|
|
et |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
= lim |
|
= |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
2t |
|
t→0 2 |
|
|
2 |
||||
Правило Лопиталя не всегда приводит к цели. Рассмотрим предел |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2 + 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
239
имеющий неопределенность вида (∞/∞). Дважды применяя правило Лопиталя, будем иметь
√√
lim |
x2 + 1 |
|
lim |
x/ x2 + 1 |
|
lim |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→+∞ x |
= x→+∞ |
1 |
|
= x→+∞ |
√x2 + 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x→+∞ x/√x2 + 1 |
= x→+∞ |
||||||||||||||||||||
Между тем предел легко находится непосредственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
√ |
|
|
|
xr1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
lim |
x2 |
|
|
lim |
1 |
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
= x→+∞ |
|
|
x |
= x→+∞ r |
|
|
|
|
|
|
Иногда правило Лопиталя неприменимо логически. Например, применяя его к первому замечательному пределу, получим, конечно, верный результат:
lim |
sin x |
= lim |
cos x |
= 1. |
|
|
|||
x→0 x x→0 1 |
|
Но ведь при этом мы используем тот факт, что производная синуса — косинус, а он обычно доказывается применением именно первого замечательного предела. Такие «доказательства» в логике называют порочным логическим кругом. В этом случае нужно этот круг разорвать — либо доказать, что производная синуса — косинус не используя первого замечательного предела, и тогда приведенное доказательство этого предела верно, либо доказывать первый замечательный предел без использования правила Лопиталя, что обычно и делают.
Наконец, обратим внимание на требование существования предела отношения производных. Может оказаться так, что этого предела нет, а сам предел отношения двух функций тем не менее существует. Например,
lim |
x + sin x |
= lim (1 + |
1 |
sin x) = 0, |
x |
|
|||
x→+∞ |
x→+∞ x |
так как произведение бесконечно малой 1 на ограниченную sin x являет-
x
ся бесконечно малой. В то же время предел отношения производных —
|
lim |
(x + sin x)′ |
= |
lim (1 + cos x) — не существует. |
||
x |
x′ |
|||||
→ |
+∞ |
|
x +∞ |
|||
|
|
|
|
→ |
6.4.4. Исследование поведения функции
Рассмотрим общие методы исследования поведения функции, основанные на дифференциальном исчислении.
Возрастание и убывание функции.
240