![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •IV. Предельные теоремы теории вероятности
- •4.1 Последовательности независимых событий
- •4.2. ПоследовательносТи независимых величин
- •4.3. Неравенство чебышева
- •4.4. Типы сходимости
- •4.5. Закон больших чисел
- •4.6. Усиленный закон больших чисел
- •4.7. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Глава I
- •Глава II
- •Глава III
- •Глава IV
- •Список использованной литературы
4.6. Усиленный закон больших чисел
Поскольку в законе больших чисел речь идет о сходимости по вероятности с ростом числа n среднего арифметического сл. величин к некоторой постоянной величине, то в каждом отдельном эксперименте (при произвольном ω) закон больших чисел этой сходимости не гарантирует. А на практике мы встречаемся со сл. величинами именно в отдельных экспериментах.
Усиленный закон больших чисел – это одна из форм закона больших чисел, в которой вместо сходимости по вероятности утверждается сходимость почти наверное (с вероятностью 1).
Тогда те ω, для которых закон больших чисел не имеет места, образуют множество, вероятностная мера которого равна 0, т.е. он имеет место для почти всех ω.
Приведем прежде всего неравенство Колмогорова (без доказательства).
Теорема 6.
Пусть
– независимые сл. величины. Если
,
тогда для любого числа a > 0 справедливо
соотношение
. (4.5)
Неравенство (4.5) называют неравенством Колмогорова.
Теорема 7 (усиленный
закон больших чисел). Если
–
последовательность независимых сл.
величин, для которых
и ряд
сходится, то с вероятностью 1 имеет место
сходимость
при
.
Для доказательства теоремы понадобится
Лемма.
Если
и если
,
то
Докажем ее. Обозначим
через
событие
,
ε > 0 – некоторое число. Согласно
замечанию к теореме Бореля–Кантелли,
условие
означает, что с вероятностью 1 происходит
лишь конечное число событий
.
Следовательно, начиная с некоторого
номера
(
),
и этот номер с вероятностью 1 существует.
Лемма доказана.
Доказательство
теоремы. Обозначим
Так как
(по свойствуsup),
то на основании неравенства Колмогорова
имеем:
Просуммируем полученное неравенство:
.
Покажем, что последовательность
удовлетворяет условиям леммы, для чего
в последнем неравенстве изменим порядок
суммирования:
и ряд
сходится по условию. Здесь
определяется из соотношения
Последнее неравенство получается из
следующих оценок:
из условия
получаем
Тогда с вероятностью 1
,
начиная с некоторого номера, и,
следовательно,
Теорема 8. Если
–
последовательность независимых
одинаково распределенных сл. величин,
для которых математические ожидания
конечны,n
= 1, 2,…, то с вероятностью 1
Если же величины
не имеют конечного математического
ожидания, то последовательность
с
вероятностью 1 не ограничена.
Доказательство.
Пусть
,n
= 1, 2, …
Поскольку
то
по теореме Бореля–Кантелли событие
происходит
лишь конечное число раз, следовательно,
с вероятностью 1 можно утверждать что
начиная с некоторого номера
.
Иначе говоря,
Далее имеем
.
Следовательно,
где
.
Для последовательности
проверим условие теоремы 7:
так как
,
(
).
Тем самым показано, что выполнены условия
теоремы 7, а потому имеет место сходимость
почти наверное
к
m при n → ∞. Теорема доказана.
Обе теоремы принадлежат А.Н. Колмогорову.
4.7. Центральная предельная теорема
Постановка задачи, решаемой центральной предельной теоремой, имеет длинную историю: от Муавра (1718 г.) и Лапласа (1812 г.) до Ляпунова (1901 г.) и Линдеберга (1922 г.). В трудах двух последних ученых найдены необходимые и достаточные условия сходимости закона распределения суммы независимых сл. величин к нормальному закону. Исследования по центральной предельной теореме продолжаются до сих пор.
Термин «центральная предельная теорема» в ТВ означает любое утверждение о том, что при выполнении определенных условий функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.
Основную роль в этих теоремах играет теорема о связи сходимости последовательности функций распределения со сходимостью последовательности соответствующих характеристических функций – теорема непрерывности.
Теорема 9
(теорема непрерывности). Последовательность
функций распределения
слабо сходится к функции распределения
тогда и только тогда, когда последовательность
их характеристических функций
сходится к непрерывной предельной
функции
При этом
есть характеристическая функция для
и сходимость
к
равномерная в каждом конечном интервале.
Теорема 10
(центральная
предельная теорема). Пусть
–
последовательность независимых одинаково
распределенных сл. величин с
и
Тогда
,
(4.6)
где Ф(x) – функция нормального стандартного распределения.
Доказательство.
Функция
–
непрерывная, сходимость к ней
последовательности функций распределения
сл. величин
является сходимостью по распределению
сл. величин
к сл. величине ξ. Следовательно, мы можем
воспользоваться теоремой 9. Обозначим
через
характеристическую
функцию сл. величины
,n
= 1, 2,…, а через
–характеристическую функцию сл. величины
Воспользуемся свойствами 6 и 7
характеристических функций:
По
свойству 5 характеристических функций
дифференцируема дважды, тогда функцию
можно разложить в ряд Маклорена:
Но тогда
Следовательно,
при
Но
–
характеристическая функция стандартного
нормального распределения. Теорема
доказана.
Пример 3.
Рассмотрим в качестве
–
число наступлений некоторого события
в серии изn
независимых испытаний, в каждом из
которых событие наступает с вероятностью
р и не наступает с вероятностью q
= 1 – p.
Тогда по теореме 10 для функций
распределения F
(x)
нормированного отклонения от среднего
числа наступления события – сл. величины
имеет место соотношение
.
Это сформулированная нами ранее теорема Муавра–Лапласа.
Теорема 11
(Линдеберга). Пусть
–
последовательность независимых сл.
величин, для которых существуют
Если для всякого
выполняется условие:
, (4.7)
где
то справедливо утверждение
Доказательство.
Действительно, не ограничивая общности
рассуждений, будем полагать, что
Положим
Характеристическая функция сл. величины
имеетвид
где
– характеристическая функция сл.
величины
Имеем
Значит,
Смысл
условия Линдеберга (неравенства 4.7)
состоит в следующем. Обозначим за
событие
так как событие
имеет
место при
и
Таким образом,
можно сказать, что смысл условия
Линдеберга заключается в равномерной
по
малости слагаемых
,
то есть среди
нет таких, которые преимущественно
определяли бы величину
Следствием теоремы 11 является теорема Ляпунова (она появилась раньше, чем теорема Линдеберга).
Теорема 12
(Ляпунова). Если
–
последовательность независимых сл.
величин, для которых существуют
и
и при некотором
справедливо
равенство
Если существует
где
то имеет место утверждение
Доказательство.
Покажем, что
для последовательности
,
в условиях теоремы выполняются условия
Линдеберга:
Следовательно, теорема Ляпунова справедлива, при этом условие Ляпунова для проверки легче, чем условие Линдеберга.
Следствие. Если
–
последовательность независимых одинаково
распределенных сл. величин с
,
то
В этом случае
Исключительная важность центральной предельной теоремы объясняется тем, что она дает теоретическое обоснование следующему многократно подтвержденному практикой наблюдению: если исход сл. эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых в отдельности пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными математическим ожиданием и дисперсией.