![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •IV. Предельные теоремы теории вероятности
- •4.1 Последовательности независимых событий
- •4.2. ПоследовательносТи независимых величин
- •4.3. Неравенство чебышева
- •4.4. Типы сходимости
- •4.5. Закон больших чисел
- •4.6. Усиленный закон больших чисел
- •4.7. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Глава I
- •Глава II
- •Глава III
- •Глава IV
- •Список использованной литературы
4.4. Типы сходимости
Пусть дана некоторая
последовательность сл. величин
и сл. величина.
Определение.
Говорят, что
последовательность сл. величин
сходится
к сл. величине
почти
наверное (с
вероятностью 1),
если
Обозначение:
или
Иначе говоря,
равенство
означает, что множество тех,
для которых последовательность
имеет вероятностную меру 0.
Определение.
Говорят, что
последовательность сл. величин
сходится
к сл. величине
по
вероятности,
если
.
Обозначение:
или
В отличие от
предыдущего случая сходимость по
вероятности означает, что существуют
множества значений ω ненулевой
вероятности, для которых
не имеет пределом
при n → ∞.
Эти два вида
сходимости связаны между собой: из
сходимости почти наверное следует
сходимость по вероятности. Обратное
утверждение не имеет места, но если
последовательность
,
то любая ее подпоследовательность
содержит
другую подпоследовательность, сходящуюся
по вероятности 1 [3].
Определение.
Говорят, что
последовательность сл. величин
сходится
к сл. величине
в среднем
порядка p, если
.
В анализе этот вид
сходимости называют сходимостью в
смысле
.
Поэтому обозначают этот вид сходимости
так:
.
При p
= 2
сходимость
называют сходимостью в среднем
квадратическом, обозначают это так:
(отlimit
in
the
mean)
или
.
Определение.
Пусть сл.
величины
имеют функции распределения
,
а сл. величина
– F(x).
Говорят, что последовательность сл.
величин
сходитсяпо распределению
к сл. величине
,
если
во всех точках непрерывности функцииF.
Обозначение:
Говорят еще в этом
случае, что последовательность функций
распределения
слабо сходится к функции распределения
:
.
Соотношения между различными типами сходимости представлены ниже в виде схемы.
4.5. Закон больших чисел
Так называются
теоремы, дающие условия, при которых
арифметическое среднее сл. величин по
вероятности сходится к арифметическому
среднему их математических ожиданий:
Теорема 4 (закон
больших чисел). Если последовательность
независимых одинаково распределенных
сл. величин такова, что
то
.
Доказательство.
Заметим прежде всего, что все
одинаково
распределены, потому у них всех одно
и то же математическое
ожидание и
одна и та же дисперсия. Теорему докажем,
опираясь на теорему 1. Доказываемый
предел можно переписать в виде
.
Воспользуемся неравенством Чебышева:
,
так как конечная сумма независимых сл.
величин, умноженная на число
,
есть сл. величина с математическим
ожиданием
и дисперсией
.
Замечание. Теорема 4 имеет место и без требования существования конечных дисперсий. Просто доказательство ее будет иным.
Теорема 5.
Если последовательность независимых
сл. величин
такова, что
существуют
и
,
то
.
Это тоже закон больших чисел, но для произвольной последовательности сл. величин, произвольной в том смысле, что не утверждается одинаковое распределение всех сл. величин.
Доказательство.
По неравенству
Чебышева (4.4) имеем
,
так как
По теореме Штольца
(по
условию). Теорема доказана.
В основе этой теоремы лежит известная теорема П.Л. Чебышева (1880 г.):
Пусть последовательность
попарно независимых сл. величин имеет
математические ожидания
и дисперсии
,
ограниченные в совокупности числом В,
то есть
,k
= 1, 2, 3,… Тогда
.
Пример 2.
Пусть μ – число успехов в серии из n
независимых испытаний по схеме Бернулли,
величина
фиксирует успех или неудачу в
-м
испытании по схеме Бернулли (оно принимает
значение 1 или 0 соответственно). Тогда
в серии испытаний число успехов
равно
,
– частота успехов вn
независимых
испытаниях. Известно, что
.
По доказанному
при
Последнее соотношение есть теорема
Бернулли.
Ранее при определении вероятности мы говорили о приближении в каком-то смысле частот событий к вероятностям этих событий. Теперь этот смысл понятен – последовательность частот сходится к вероятности события по вероятности.