![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 3. Элементы аналитической геометрии
- •§3.1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1.1. Метод координат
- •3.1.2. Понятие об уравнении линии на плоскости
- •3.1.3. Прямая линия на плоскости
- •3.1.4. Кривые второго порядка
- •§3.2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •3.2.1. Плоскость
- •30. Частные случаи уравнений плоскости.
- •3.2.2. Прямая в пространстве
- •3.2.3. Взаимное расположение прямых и прямой и плоскости в пространстве
3.2.3. Взаимное расположение прямых и прямой и плоскости в пространстве
10. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные условия соответствующего взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных своими каноническими уравнениями:
(3.48)
относительно декартовой прямоугольной системы координат. Введем определение.
Определение. Углом между
прямыми называется угол между их
направляющими векторами:.
В соответствии с определением имеем (рис.3.30 хх ):
.
(3.49)
Рассмотрим различные случаи расположения двух прямых в пространстве.
1) прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости), если определитель
.
(3.50)
В (3.50) записано
условие некомпланарности векторов
и направляющих векторов
и
(и, следовательно, прямые
и
не лежат в одной плоскости (рис.3.31 хх
)).
2) прямые пересекаются, если
,
но векторы
и
неколлинеарны (то есть если их координаты
не пропорциональны).
Доказательство. Равенство
определителяесть условие компланарности векторов
,
и
– прямые
и
,
следовательно, лежат в одной плоскости.
Так как
∦
,
то прямые (в плоскости) пересекаются.
3) прямые параллельны, если
направляющие векторы
и
коллинеарны:
∥
,
но вектор
не коллинеарен с ними.
Доказательство. Так как∥
,
то прямые
и
параллельны (не совпадают!), если вектор
не коллинеарен с ними (рис.3.32 хх )
4) прямые совпадают, если
векторы,
и
коллинеарны (доказательство очевидно).
Замечание 1. Необходимость признаков доказывается методом от противного.
Замечание 2. Запишем условия перпендикулярности и параллельности прямых в координатной форме.
а) условие перпендикулярности прямых:
;
(3.51)
б) условия параллельности прямых:
.
(3.52)
Формулы (3.51) и (3.52) есть следствия формулы (3.49).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти угол между
прямой:
и прямой
,
проходящей через начало координат и
точку
.
Решение. Найдем направляющие
векторы прямыхи
и определим угол между ними (он по
определению и есть угол между прямыми).
Направляющий
вектор прямой
есть вектор
(см. пример в п.3.2.2.,60). В качестве
направляющего вектора прямой
можно взять, например, вектор
.
По формуле (3.49)
– угол
– тупой.
Пример 2. Найти уравнение
прямой, проходящей через точкупараллельно прямой
.
Решение. Считаем направляющий
векторискомой прямой равным направляющему
вектору заданной прямой. Тогда
=
и канонические уравнения искомой прямой
примут вид:
.
20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Определим понятие угла между прямой и плоскостью.
Определение. Углом между
прямой и плоскостью называется тот уголмежду прямой и ее проекцией на плоскость,
который удовлетворяет условию
(рис.3.33 хх ).
Таким образом, по определению,
=
(3.54)
Тогда
.
(3.55)
Знак выбирается
так, чтобы
.
Из формулы
(2.30) (см.§2.2,п.80) следует признак
перпендикулярности прямой и плоскости
(условие∥
)
;
(3.56)
Из формулы
(3.55) следует условие параллельности
прямой и плоскости (то есть условие
)
.
(3.57)
Получим необходимые и достаточные
условия, характеризующие взаимное
расположение прямой
(уравнение ее возьмем в каноническом
виде (3.41)) и плоскости
(заданной уравнением общего вида (3.32)).
В декартовой прямоугольной системе координат
1) плоскость
и прямая
пересекаются, если
.
Доказательство. Запишем
уравнениев параметрическом виде (3.44) и подставим
координаты
иz в (3.32):
,
или
.
(3.58)
Если
,
уравнение (3.58) относительноtимеет единственное решение и, следовательно,
прямая и плоскость имеют (лишь) одну
общую точку, то есть пересекаются.
2) плоскость и прямая параллельны,
если
Доказательство. Оно следует из того, что в этом случае уравнение (3.58) не имеет решений, то есть на прямой нет ни одной точки, лежащей на плоскости – прямая и плоскость параллельны.
3) прямая лежит на плоскости,
если
Доказательство. Уравнение
(3.58) принимает вид;
оно удовлетворяется
и, стало быть, все точки прямой
лежат в плоскости
– прямая и плоскость совпадают.
Замечание 1. Необходимость условий 1–3 доказывается методом от противного.
Замечание 2. Условие (3.57) является условием компланарности прямой и плоскости.
30. Некоторые задачи на прямую и плоскость.
Пример 1. Найти проекцию
точкина плоскость
.
Решение. Проекцией точкиMна плоскость является
основание перпендикуляра (точка),
опущенного из точкиMна эту плоскость. Координаты точки
можно найти, решив систему, состоящую
из уравнения прямой
и уравнения заданной плоскости.
Так как прямая
проходит через точку
,
а ее направляющим вектором
можно считать нормальный вектор
данной плоскости, то уравнения
есть канонические уравнения
.
Запишем параметрические
уравнения прямой
:
,
,
и подставим их в уравнение плоскости;
получим
и
,
,
,
,
то есть проекция точкиMна плоскость есть точка
.
Пример 2. Написать уравнения
перпендикуляра,
опущенного из точки
на прямую
:
.
Решение. Искомая прямаяа) перпендикулярна данной прямой
(с направляющим вектором
)
и, следовательно, ее направляющий вектор
перпендикулярен
:
;
в таком случае имеем (формула (3.51))
.
Перпендикуляр
и данная прямая
,
очевидно, лежат в одной плоскости; таким
образом, здесь выполняется условие 2)
из п.10–
:
.
Запишем полученную систему из двух (линейных однородных алгебраических) уравнений с тремя неизвестными m, n, p:
общее решение которой можно
представить в виде (см.п.1.1.7, 20):m=9t,n= –8t,p= –11t.
Взявt=1, найдем,
что=
.
Пишем теперь уравнение перпендикуляра
– канонические уравнения прямой
:
.
Пример 3. Найти уравнение
плоскости,
проходящей через заданную точку
,
перпендикулярно плоскости
:
и параллельной
прямой
:
.
Решение. Запишем уравнение
искомой плоскостив виде (см.п.3.2.1., 20, формула (3.32”)):
,
где
– ее нормальный вектор.
Вектор
перпендикулярен нормальному вектору
плоскости
и направляющему вектору
прямой
и можно положить, поэтому, что
=
и
=
.
Пишем уравнение искомой
плоскости:
;
окончательно получим уравнение
:
.
Этим закончим изложение параграфов аналитической геометрии.