3.1.4. Кривые второго порядка

В п.3.1.3 изучено уравнение вида – уравнение первой степени (прямая на плоскости).

Здесь рассмотрим линии, которым соответствуют уравнения второй степени

. (3.21)

В (3.21) хотя бы один из коэффициентов A, B илиCотличен от нуля.

Определение. Любая линия на плоскости, уравнение которой есть уравнение (3.21) – уравнение второй степени относительно координатx, y, называется кривой второго порядка.

В подробных курсах аналитической геометрии доказывается, что основными кривыми второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Рассмотрим эти кривые, получим канонические уравнения и исследуем их геометрическую форму.

1⁰. Окружность. В п.3.1.2,2⁰была получена формула (3.6) – уравнение окружности радиусаR с центром в точке. Раскрывая здесь скобки, придем к уравнению (3.21) – окружность есть кривая второго порядка (3.21), в котором.

Обратно, можно показать, что если в уравнении (3.21) коэффициенты при иодинаковы (A=B), нет слагаемого с произведением(то есть коэффициентB=0), то уравнение (3.21) есть уравнение окружности (точнее, всякому уравнению (3.21), в которомсоответствует или действительная окружность радиуса, или мнимая окружность).

Пример. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки,и.

Решение. Запишем искомое уравнение в виде. Подставляя в него координаты точекA,B иC, получим три уравнения для определения трех неизвестныхиc:;и.

Решение этой системы: и уравнение окружности запишется в виде. Преобразуя, придем к (каноническому) уравнению окружности:– окружность с центром в точкерадиуса.

2⁰. Эллипс. Получим каноническое уравнение эллипса, исследуем его форму.

1) Определение, каноническое уравнение эллипса.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек (на плоско-

сти), сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых

фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Получим, исходя из определения, уравнение эллипса.

Обозначим ифокусы эллипса, через 2c– (заданное) расстояние между ними:=2c. По определению,

. (3.22’)

Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат, проведя ось через фокусы эллипсаии осьпосредине между фокусами (рис.3.13 хх ). Имеем тогда:– текущая точка эллипса,,, расстояния,и уравнение (3.22’) принимает вид:

. (3.22”)

Приведем уравнение эллипса (3.22”) к каноническому виду.

Перенесем второй корень в (3.22”) направо; полученное равенство возведем в квадрат. После алгебраических преобразований придем к равенству

.

Возводя это соотношение в квадрат, вводя обозначение (так как )

, (3.22”’)

придем к уравнению

.

Деля обе части этого уравнения на , получим каноническое уравнение эллипса:

. (3.22)

В уравнении (3.22) aназывается большой полуосью, аb – малой полуосью.

Эллипс есть кривая второго порядка (можно показать, что в любой другой прямоугольной декартовой системе координат уравнение эллипса остается уравнением второго порядка).

2) Исследование формы эллипса. Исследуем форму эллипса.

Так как в уравнение (3.22) координаты xиyвходят в четной степени, то если точкалежит на эллипсе, то точкии, симметричные с точкойMотносительно осейи, и точка, симметричная с точкойMотносительно начала координат, также лежат на нем (рис.3.14 хх ).

Таким образом, оси координат идля эллипса, заданного уравнением (3.22), являются осями симметрии, начало координат – центром симметрии.

Определение. Кривая, имеющая центр симметрии, называется центральной кривой.

Эллипс – центральная кривая.

Замечание. Можно показать, что всякий эллипс имеет единственный центр симметрии и две оси симметрии (если он не является окружностью).

Из уравнения (3.22) следует оценка для координат точек эллипса: ,– эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами,,,.

Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса; таким образом, эллипс имеет четыре вершины: ,,,.

Из предыдущих результатов исследования формы эллипса следует, что достаточно определить вид кривой в одном из координатных углов, например, в том, где . Из соображений симметрии легко представить характер кривой в остальных трех координатных углах.

Разрешая уравнение эллипса относительно ординаты y, беря дляyлишь неотрицательные значения:, считая, что, получим точки эллипса, лежащие в первом квадранте. Из этого уравнения следует, что а) ординатаyпринимает наибольшее значение (именно,) приx=0; б) с возрастаниемxот 0 доaордината точки эллипса убывает; в) приx=aордината становится наименьшей,y=0 (рис.3.15 хх ).

Из равенства (3.22”’) можно проследить за изменением формы эллипса в зависимости от изменения междуфокусного расстояния =2c: а) при сближении фокусов величинас уменьшается, приближаясь к нулю. При этом малая полуосьb все меньше отличается от большой полуосиa, а эллипс – от окружности радиусаa. Приc=0 эллипс (3.22) совпадает с окружностью– окружность есть частный случай эллипса. б) пусть фокусы удаляются друг от друга, приближаясь к вершинами; тогдаи из (3.22) следует, что: эллипс, сжимаясь по вертикали, все меньше отличается от отрезка.

За меру отклонения эллипса от окружности принимают отношение

(3.23)

– эксцентриситет эллипса. Очевидно, . Приимеем окружность; прималая ось эллипса уменьшается, а сам эллипс, «сплющиваясь» по вертикали, все меньше отличается от отрезка.

Замечание. Приведем (один) признак того, что кривая второго порядка (3.21) есть эллипс: коэффициентыA иCимеют одинаковые знаки, отсутствует член с произведениемxy– коэффициентB=0.

Пример. В эллипсвписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой оси. Найти координаты вершин треугольника.

Решение. Приведем уравнение эллипса к видуи,(рис.3.16 хх ). Поместим одну из вершин треугольника в точку; тогда угол, откуда следует, что угловой коэффициент прямой. Запишем уравнение прямойAB:.

Из системы ,находим точку пересечения прямойABи эллипса – точкуB:. Из соображений симметрии эллипса и треугольникаABCотносительно осинаходим координаты вершиныC:.

3⁰. Гипербола. Получим каноническое уравнение гиперболы, исследуем ее форму.

1) Определение, каноническое уравнение гиперболы.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек (на плоскости), разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Получим, исходя из определения, уравнение гиперболы. Обозначим ифокусы гиперболы, через 2c– (заданное) расстояние между ними:=2c. По определению,

. (3.24’)

Выбирая на плоскости прямоугольную декартову систему координат, как это было проделано для эллипса (см. рис.3.13), сведем уравнение (3.24’) к виду:

. (3.24”)

Проведя вычисления, аналогичные приведенным в п.2⁰, вводя обозначение (так как)

, (3.24”’)

придем к уравнению

.

Деля обе части этого уравнения на , получим каноническое уравнение гиперболы:

. (3.24)

2) Исследование формы гиперболы. Исследуем форму гиперболы.

Гипербола пересекается с осью в точкахии не пересекается с осью. Так же, как и для эллипса, можно показать, что оси координат являются осями симметрии гиперболы (3.24), а начало координат – центром симметрии.

Таким образом, гипербола – центральная кривая.

Замечание. Можно показать, что всякая гипербола имеет единственный центр симметрии и две оси симметрии.

Очевидно, что достаточно исследовать вид гиперболы в одном из координатных углов, например, в том, где . Из соображений симметрии легко представить характер кривой в остальных трех координатных углах.

Разрешая уравнение гиперболы относительно ординаты y, беря дляyлишь неотрицательные значения, найдем:

. (3.25)

Из (3.25) следует, что абсциссы точек гиперболы, расположенных в первой четверти, удовлетворяют условию: или.

Преобразуя уравнение (3.25) к виду

, (3.25’)

замечаем, что для больших значений xвеличина корняблизка к единице:; поэтому для такихxзначение

. (3.25”)

Можно показать (опустим это), что с возрастанием xразность между ординатами гиперболы (3.25’) и прямой (3.25”) стремится к нулю, принимая отрицательные значения – точки гиперболы располагаются ниже точек прямой.

Объединяя результаты исследования, строим гиперболу (рис.3.17 хх ).

Замечание 1. Прямые, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при, называются асимптотами гиперболы.

Замечание 2. Напомним, что отрезокназывается действительной или фокальной осью гиперболы,– мнимой осью, расстояниеназывается междуфокусным расстоянием.

Замечание 3. Если в уравнении (3.24)полуосиa=b, уравнение принимает вид

; (3.26)

подобная гипербола называется равнобочной гиперболой.

Замечание 4. Уравнение

(3.27)

также определяет гиперболу (так называемую сопряженную (3.24) гиперболу), для которой отрезок является действительной осью гиперболы, а отрезок– мнимой осью. Фокусы гиперболы (3.27) находятся в точкахи, где. Асимптоты гипербол (3.24) и (3.27) совпадают (рис.3.18 хх ).

Замечание 5. Здесь также вводят понятие «эксцентриситет гиперболы»

. (3.28)

Для гиперболы , так как. Ограничимся здесь этим замечанием.

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

Решение. По условию,(рис.3.19 хх ). Так как фокусимеет координаты,, вершина, то,.

Имеем систему уравнений: ,, откуда,. Мнимая полуось=3 и уравнение гиперболы есть.

4⁰. Парабола. Получим каноническое уравнение параболы, исследуем ее форму.

1) Определение, каноническое уравнение параболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек (на плоскости), равноудаленных от фиксированной точки (называемую фокусом) и от данной прямой (называемую директрисой).

Предполагается, что данная прямая не проходит через фокус. Расстояние pот фокуса параболы до ее директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице:.

Выберем систему координат. Опустим перпендикуляр из фокуса F на директрису параболы:FA=p. Направим осьпо прямойAF, а ось– через середину отрезкаAF(рис.3.20). Тогда уравнение

(3.29)

определяет уравнение директрисы; координаты фокуса .

Пусть – текущая точка параболы. Из определения параболы имеем равенство, или

. (3.30’)

Возводя (3.30’) в квадрат и выполнив приведение подобных, придем к уравнению

(3.30)

каноническое уравнение параболы.

2) Исследование формы параболы. Исследуем форму параболы.

Парабола пересекает оси координат в точке (0,0). Из представления (3.30) заключаем, что все точки параболы лежат справа от оси .

Парабола симметрична относительно оси , ибо если уравнению (3.30) удовлетворяют координаты точки, то ему удовлетворяют и координаты точки. Точка (0, 0)называется вершиной параболы.

Для точек параболы, расположенных в первом квадранте ,, – с возрастаниемxординататакже возрастает. С учетом симметрии, достраиваем параболу в четвертом квадранте (рис.3.21 хх ).

Заметим, что у параболы нет центра – парабола нецентральная кривая.

Пример. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точку пересечения прямойи окружностии симметрична относительно оси.

Решение. Решая совместно уравнения прямой и окружности:,, найдем их точки пересечения –и. Из условия симметрии параболы относительно оси, заключаем, что парабола проходит также и через точку(рис.3.22 хх ).

Точка Oлежит на оси симметрии параболы, она – вершина параболы. Тогда уравнение параболы должно иметь вид:. Точкалежит на параболе, то есть выполняется равенствоиp=1.

Таким образом, уравнение есть уравнение искомой параболы. Так как расстояние от вершины параболы до ее директрисы равно, то точкаA– точка пересечения директрисы с осью симметрии имеет координаты. Уравнениеи есть уравнение директрисы искомой параболы.