![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 3. Элементы аналитической геометрии
- •§3.1. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1.1. Метод координат
- •3.1.2. Понятие об уравнении линии на плоскости
- •3.1.3. Прямая линия на плоскости
- •3.1.4. Кривые второго порядка
- •§3.2. Аналитическая геометрия в пространстве
- •3.2.1. Плоскость
- •30. Частные случаи уравнений плоскости.
- •3.2.2. Прямая в пространстве
- •3.2.3. Взаимное расположение прямых и прямой и плоскости в пространстве
30. Частные случаи уравнений плоскости.
1) пусть в уравнении (3.32)
коэффициент A=0. Тогда
уравнение плоскости имеет видBy+Cz+D=0.
Нормальный к плоскости вектор,
то есть вектор
│
,
откуда следует, что плоскость параллельна
оси
(рис.3.23, а хх ).
Аналогично, уравнению
соответствует плоскость, параллельная
оси
(рис.3.23, б хх ). Уравнение
определяет плоскость, параллельную оси
(рис.3.23, в хх ).
2) при D=0
уравнение (3.32) имеет вид.
Очевидно, точка
удовлетворяет этому уравнению – такая
плоскость проходит через начало
координат.
3) пусть в уравнении (3.32)
коэффициенты A=D=0
и оно, следовательно, имеет вид:.
По результатам пп.1 и 2 заключаем, что
ось
лежит в данной плоскости (рис.3.24 хх ).
Аналогично разбираются и другие случаи; опустим их.
4) если в уравнении (3.32) два
коэффициента при неизвестных обращаются
в нуль (например, A=B=0),
уравнение принимает вид– имеем плоскость, параллельную
координатной плоскости
.
В случае равенстваD=0,
имеем саму эту координатную плоскость:z=0 – уравнение
координатной плоскости
.
Пример. Найти уравнение
плоскости, проходящей через осьи через точку
.Решение.
Из п.3) следует, что уравнение плоскости
можно взять в виде
.
Полагая здесьB=1,
подставляя координаты точки
в это уравнение, придем к уравнению
–2+C=0; отсюдаC=2
и искомое уравнение есть
.
40. Некоторые задачи на плоскость.
1) Уравнение плоскости,
проходящей через заданную точку
компланарно двум неколлинеарным
векторам. Пусть плоскостьпроходит через точку
компланарно двум неколлинеарным векторам
и
.
Возьмем
– некоторую текущую точку плоскости
.
Очевидно, в этом случае векторы
,
и
компланарны (рис.3.25 хх ).
Запишем условие их компланарности (см.2.3.3,п.20,1)):
.
(3.33)
2) Уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки.
Пусть даны три точки,
не лежащие на одной прямой. Через такие
точки обязательно проходит (и лишь одна)
плоскость
.
Получим ее уравнение.
Вводим на плоскости
текущую точку
(рис.3.26 хх ). Считая точку
начальной точкой, построим на
три вектора
и
.
В случае, если точка
,
эти три вектора компланарны.
По формуле (3.33) запишем уравнение искомой плоскости:
.
(3.34)
3) Уравнение плоскости в
отрезках. Пусть плоскостьпересекает оси координат в точках
и
,
отличных от начала координат (рис.3.27 хх
).
По (3.34) запишем
уравнение
в виде:
.
Раскрывая определитель, придем к уравнению: bcx+acy+abz=abc. Разделив обе части этого уравнения наabc, получим окончательно
(3.35)
– уравнение плоскости в отрезках.
Замечание. Уравнение (3.35)
удобно использовать при построении
плоскости. Пусть, например, уравнение
плоскости есть.
Запишем это уравнение как уравнение
плоскости в отрезках:
,
откуда имеем отрезки
.
Откладывая эти величины на (соответствующих)
осях координат, соединяя прямыми
полученные точки, построим искомую
плоскость.
50. Угловые соотношения между плоскостями. Рассмотрим две плоскости
и
.
Введем определение.
Определение. Под углом
между плоскостямии
понимается один из двугранных углов
между этими плоскостями (рис.3.28 хх ).
Угол
между нормальными векторами
и
к плоскостям
и
,
очевидно, равен одному из указанных
смежных двугранных углов. Таким образом
(см.п.2.3.1,30, формула (2.40))
.
(3.36)
Из формулы (3.36) следует, в частности, условие
(3.37)
– условие перпендикулярности
двух плоскостей и из условия коллинеарности
нормальных к плоскостям
и
векторов
и
пропорциональность компонент
(3.38)
– условие параллельности плоскостей. Приведем примеры.
Пример 1.Через осьпровести плоскость, составляющую с
плоскостью
угол
.
Решение. Уравнение плоскости,
проходящей через ось,
должно иметь вид:
и нормальный вектор искомой плоскости
.
Для заданной в условии плоскости
нормальный вектор
;
по формуле (3.36) имеем:
,
откуда
,
и дляB находим
два значения:
и
.
Условию задачи удовлетворяют две
плоскости:
и
.
Пример 2. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкии перпендикулярной плоскости
.
Решение. Обозначим нормальный
искомой плоскости вектор.
Уравнение плоскости, проходящей через
точку
,
должно иметь вид (формула (3.32”)):
или
.
Подставим сюда
координаты точки
,
записывая условие (3.37) перпендикулярности
двух плоскостей, получим для определения
неизвестных коэффициентов два уравнения
;
с тремя неизвестными. Вычитая из второго
уравнения первое, получим:
.
Положим здесьA=4;
найдем тогда, что
.
Искомое уравнение
имеет вид:
.
Пример 3. Через точкупровести плоскость, перпендикулярную
плоскостям
и
.
Решение. Плоскостии
имеют, соответственно, нормальные
векторы
=
и
=
.
Нормальный искомой плоскости вектор
перпендикулярен и
и
и
в качестве вектора
можно взять векторное произведение
векторов
и
(п.2.3.2, формула (2.44)):
=
=
.
Отсюда
.
Подставляя в уравнение (3.32”) эти значения
и координаты точки
,
получим
или после преобразований
– уравнение искомой плоскости.