- •Введение Понятие модели. Имитационная модель. Основные характеристики сложной системы.
- •1. Классификация моделей
- •2. Структура моделей
- •3. Схема взаимодействия компонентов системы между собой
- •4. Последовательные этапы процесса имитации
- •5. Представление исходных данных для имитации
- •6. Моделирующий алгоритм
- •7. Принципы построения моделирующих алгоритмов для сложных систем
- •8. Организация статистического моделирования систем на эвм
- •8.1. Общая характеристика метода статистического моделирования (метод Монте-Карло)
- •8.2. Алгоритм метода статистических испытаний
- •8.3. Псевдослучайные числа и процедура их генерации
- •8.4. Моделирование испытаний в схеме случайных событий
- •8.5. Формирование возможных значений св
- •8.6. Формирование реализаций случайных векторов
- •8.7 Определение необходимого числа реализаций
- •8.8. Особенности фиксации и статистической
- •8.9. Случайный процесс
- •8.10. Особенности использования критериев согласия в методах регрессионного и корреляционного анализа при обработке результатов моделирования и их интерпретации
- •8.10.1. Критерий Пирсона ( критерий 2 )
- •8.10.2. Критерий Колмогорова
- •8.10.3. Критерий Смирнова
- •8.10.4. Критерий Стьюдента
- •9. Динамическое моделирование
- •9.1 Основные теоретические положения
- •9.1.1. Основные этапы построения динамической модели
- •9.1.2. Структура динамической модели
- •9.1.3. Математическое описание динамической модели
- •9.1.4. Запаздывания
- •9.1.5. Процесс принятия решения
- •9.2. Пример анализа системы методом динамического моделирования
- •10. Регрессионный и корреляционный анализ
- •10.1. Моделирование систем массового обслуживания (смо)
- •10.2. Описание q -схем с использованием марковских случайных процессов (сп)
- •10.3. Уравнение Эрланга и формула Эрланга
- •10.4. Правила составления ду
- •10.5. Моделирование смо с помощью метода статистических испытаний
- •10.6. Формирование входного потока ( 3 -ий блок )
- •10.7. Подалгоритм выбора канала
- •10.8. Подалгоритм выбора заявки из очереди на обслуживание
- •10.9. Подалгоритм моделирования сбоев
- •10.10. Агрегаты, основные понятия
- •10.11. Процесс функционирования агрегата
- •10.12. Представление смо в виде агрегата
- •11. Регрессионный и корреляционный анализ
- •11.1. Регрессионный анализ
- •11.2. Корреляционный анализ
11. Регрессионный и корреляционный анализ
11.1. Регрессионный анализ
Одномерная линейная регрессия:
В этом случае функциональная зависимость ищется в виде прямой зависимости, имеющей одну переменную.
Одномерная нелинейная регрессия:
В этом случае зависимость может быть любая, кроме линейной, но зависимая переменная одна.
Многомерная регрессия:
Здесь рассматриваются несколько переменных.
Математический метод, который обеспечивает такую подгонку кривой, при которой экспериментальные точки ложатся на нее наилучшим образом в смысле критерия наименьших квадратов, называется регрессионным анализом.
В схеме регрессионного анализа предполагается, что независимая переменная x является неслучайной функцией, значения которой задаются заранее перед началом наблюдений за системой. Зависимая переменная y -это СВ.
Обычно к этому приводят 2 предположения:
1) x измеряется без ошибок ( или ими можно пренебречь ), а при измерении y имеются случайные ошибки;
2) y зависит не только от x, но и от ряда неконтролируемых факторов. В этом случае нас интересует лишь среднее значение y при заданном x, т.е. функциональная зависимость y от x:
M [ y / x ] = f [ x, a0, a1, ...] (11.1)
Алгоритм реализации регрессионного анализа:
Сбор данных и представление этих данных в виде прямоугольной таблицы значений;
x x1 x2 ... xN
y y1 y2 ... yN табл. 11.1
2. Данные из табл. 25.1 представляются в виде поля разброса в системе координат ( x, y )
y
yN y = a0 + a1x
.
y2 .
y1 .
x1 x2 xN x
3. По виду поля разброса ( этап 2 ) подбирается вид функциональной зависимости ( кривая ) .
Этот этап субъективен.
а) линейная зависимость:
y
y = a0 + a1x
a1 > 0 a1 < 0
x
б) квадратичная зависимость:
y = a0 + a1x + a2x2
a2 > 0 a2 < 0
в) кубическая зависимость:
y = a0 + a1x + a2x2 + а3x3
а3 > 0 a3 < 0
г) парабола n-ой степени:
y = a0 + a1x + a2x2 + а3x3 + ... + anxn
д) логарифмическая кривая:
y = a0 + a1 lg x
a1 > 0
a1 < 0
е) показательная зависимость:
y = a0ea1x
a1 > 0
a1 < 0
ж) кубическая логарифмическая кривая:
lg y = a0 + a1 lg x
з) зависимость между затратами ресурсов и результатами производственной деятельности может быть представлена в следующем виде:
y = a0x1a1x2a2, где
x1, x2 -затраты по определенным компонентам;
y - результат производственной деятельности;
а0, а1, а2 - const
и) линейная производственная функция:
y = a0 + a1x1 + a2x2 + ... , где
x1и x2 соответствующие затраты ресурсов;
ai - норма расхода соответствующих ресурсов, либо среднее значение величины расхода того или иного ресурса.
При подборе кривых помогает анализ вычисления разностей различных порядков y и x.
1) если отношение (y / x) const , то y = a0 + a1x;
2) если отношение ( lg y / x) const, то в качестве функциональной зависимости выберем y = a0xa1;
3) если отношение ( lg y / lg x) const, то y = a0a1x;
4) если отношение ( (x/y) / y) const, то y = x / (a0 + a1x);
5) если отношение (2 y / 2 x) const, то y = a0 + a1x2
Мы можем осуществить выбор кривой по скорости изменения первой производной и по ускорению. Могут быть еще сезонные или периодические составляющие ряда, они аппроксимируются гармоническими функциями.
4. На этом этапе определяются коэффициенты функциональной зависимости ( параметры ). Этот этап реализуется с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Суть МНК:
МНК - это соотношение (11.2):
S = d12 + d22 + ... + dn2 (11.2)
di = [ yi’ - ( a0 + a1xi )]2
n
S = [ yi’ - ( a0 + a1xi )]2 min
i=1
n
dS/da0 = 2 [ yi’ - ( a0 + a1xi )] [-1] = 0
i=1
n (11.3)
dS/da1 = 2 [ yi’ - ( a0 + a1xi )] [-xi] = 0
i=1
Решая (11.3) относительно а0и а1, получим:
yi’ xi2 - xi yi’ xi
a0 = (11.4)
n xi2 - ( xi)2
xi yi’ - xi yi’
a1 = (11.5)
n xi2 - ( xi)2
5. Оценка прогноза ( функциональной зависимости ). Здесь может быть использован критерий Фишера или остаточная дисперсия.