9.1.3. Математическое описание динамической модели

Для описания структуры динамической модели используется система уравнений, включающая в основном уравнения для расчета темпов и уровней потоков в различных сетях. Система уравнений определяет состояние исследуемой системы в данный момент времени исходя из состояния исследуемой системы в предыдущий момент времени (разница между предыдущим и данным моментом времени равна Δt). Пусть в момент времени t1 уровень потока материалов равен y1, а темп этого же потока в пределах промежутка времени Δt остается постоянным. Численные значения величин темпа и уровня потока известны.

Рисунок 9.2 - динамика изменения уровней потока на заданном временном интервале.

Порядок вычисления темпов и уровней в различные моменты следующий.

1. По известному значению уровня рассматриваемого материального потока в момент t1 и функции принятия решения на интервале [t1,t2] определяется значение уровня для момента времениt2.

2. По значению уровня потока y2 в момент времениt2 определяется значение темпа материального потока в момент времениt2.

3. По вычисленным ранее значениям темпа и уровня потока в момент времени t2 определяется значение функции решения на интервале [t2,t3].

4. Вся последовательность вычислений повторяется для определения темпа, уровня и функции решения на следующем интервале.

Рассмотрим пример составления уравнения для расчета уровня материального потока на примере. Пусть необходимо определить уровень (количество) заготовок на складе материалов в момент времени t2, если известны уровень заготовок y1 в момент времени t1, темп (скорость) х1 поступления заготовок на склад на интервале [t1, t2], темп выдачи заготовок в цех х2 на интервале [t1, t2] и величина интервала Δt. Тогда

y2 (t2) = y1 (t1) + Δt (x1 (t1, t2) – x2 (t1, t2)). (9.1)

Если Δt → 0, тогда уравнение (2.1) принимает следующий вид:

y(t2) = y(t1) + (x1(t) – x2(t))dt. (9.2)

Для имитационного моделирования используется разностная форма уравнения, определяющего уровень материального потока (9.1).

Уравнения уровней в различных сетях для одного и того же момента времени не зависят друг от друга и определяются информацией о состоянии системы исследования в предшествующий момент времени.

Уравнение темпа в момент задает правило, по которому будет изменяться темп в пределах следующего интервала Δt.

Уравнения темпов потоков в различных сетях не зависят друг от друга и могут быть решены в любой последовательности.

Зачастую удобно разделить уравнение темпа потока на отдельные части, представляющие собой вспомогательные уравнения. Вспомогательные уравнения дают возможность привести динамическую модель в соответствие с исследуемой системой, так как с их помощью можно задавать многие факторы, учитываемые в функциях решений.

Вспомогательные уравнения являются промежуточными. Путем алгебраических подстановок они могут быть исключены из основных уравнений темпов и уровней потоков, при этом и теряется ясность, возрастает сложность основных уравнений, что затрудняет интерпретацию их смыслового содержания.

Вспомогательные уравнения решаются после уравнений уровней потоков, поскольку для решения вспомогательных уравнений и уравнений темпов потоков используются значения уровней потоков, определенные для одного и того же момента времени, но они решаютсяпрежде уравнений темпов потоков, и полученные значения уровней подставляются в уравнения темпов. Вспомогательные уравнения решаются вопределенном порядке. Система вспомогательных уравнений не должна быть замкнутой, в противном случае она составлена неверно.

В динамическую модель можно ввести дополнительные уравнения для определения переменных, не являющихся частью структуры динамической модели, но представляющих интерес для понимания процессов функционирования исследуемой системы. В динамическую модель включаются также уравнения начальных условий, определяющие исходные значения всех уровней потоков и некоторых темпов. Эти уравнения решаются только один раз перед началом процесса динамического моделирования.

Интервал моделирования Δt должен быть достаточно коротким, чтобы его величина не влияла существенно на результаты вычислений. Практически Δt должно быть меньше продолжительности любого запаздывания первого порядка. Вместе с тем за время Δt суммарный входной или выходной поток не должны вызывать значительных изменений уровней потоков, в противном случае за время Δt величина уровня может стать отрицательной (если из потока изъято больше материалов, чем их имелось в начале интервала Δt).

Отметим еще раз, что каждое уравнение позволяет определить одну переменную динамической модели с помощью констант и других переменных. Уравнений в системе уравнений должно быть не меньше, чем переменных в динамической модели.