Исправлено14_05_2012_New_file
.pdfМинистерство образования и науки РФ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
"Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского"
Механико-математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА на степень бакалавра математики по направлению ¾Математика¿
Исполнитель: студентка 632 группы Морозова К.И.
Научный руководитель: доцент кафедры ГиВА, к. ф.- м. н., Жукова Н. И.
¾Допущен к защите¿ |
|
|
|
|||
¾ |
|
¿ |
|
|
2013 ã. |
|
Зав. каф. геометрии и высшей алгебры, |
||||||
д.ф.-м.н., профессор |
|
|
М.И. Кузнецов |
Нижний Новгород 2012 г.
Оглавление
Содержание
1 |
Введение |
3 |
|
2 |
Определение многообразия |
4 |
|
|
2.1 |
Гладкие отображения в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
|
2.2 |
Гладкие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
2.3 |
Примеры гладких многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
2.4Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизм. . . . . . . . . . . . . . 13
3 Гладкие слоения на многообразиях |
16 |
3.1Стандартные слоения в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Определение гладких слоений на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3Простые слоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 |
Примеры слоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
4 Группа голономий слоения |
21 |
|
4.1 |
Голономный диффеоморфизм вдоль пути в слое . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
4.2Ростки диффеоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3Произведение путей в топологическом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2
1Введение
Передо мной была поставленна задача изучить: 1. Гладкие многообразия. 2. Слоения на гладких многообразиях. 3. Группы голономии гладких многообразий.
При изучении гладких многообразий мною была рассмотренна связь между определением многообразия классом эквивалентности атласа и максимальным атласом и доказано, что эти определения эквивалентны. Также, было рассмотренно несколько примеров связанных с заданием атласа на гладком многообразии.
Рассматривая гладкие слоения на многообразиях я изучила стандартные сллоения в Rn, простые слоения, а также разобрала несколько примеров.
Также были затронуты росковые группы голономии. В качестве примеров они были вычислены для листа Мебиуса и бутылки Клейна.
3
2Определение многообразия
2.1Гладкие отображения в Rn
пространство с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 R1 |
|
|
|
|
|
. Рассмотрим произ- |
||||
Пусть Rn = |
|
x = (x1; :::; xn) x1; :::; xn |
|
|
n-мерное арифметическое |
||||||||||||||||
Пусть U и V |
любые подмножества |
пространства |
Rn |
|
|
|
|||||||||||||||
|
обычной топологией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вольное отображение ' : U |
|
V : (x1; :::; xn) 7!(y1; :::; yn) = '(x1; :::; xn),ãäå |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = (x1; :::; xn) 2 U, y = (y1; :::; yn) = '(x1; :::; xn) 2 V |
задается n функциями |
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
1 |
; :::; x |
n |
); :::; y |
n |
= ' |
n |
1 |
; :::; x |
n |
) |
(1) |
|||||
|
|
|
= ' (x |
|
|
|
(x |
|
|
от n переменных. В случае, когда множество U открыто, имеет смысл говорить о производных произвольного порядка от функций yk = 'k(x1; :::; xn); k = 1; :::; n, ïî x1; :::; xn в любой точке из U.
Определение 2.1. Пусть U - открытое множество в Rn. Отображение ' :
U V называется гладким класса Cr; 1 r 1, если функции yk = 'k(x1; :::; xn); k = 1; :::; n, имеют непрерывные частные производные до порядка r включительно в каждой точке x 2 U.
Определение 2.2. Отображение ' : U V называется вещественно-анали- тическим или класса C!, если все функции yk = 'k(x1; :::; xn); k = 1; :::; n, â
окрестности каждой точки |
x0 |
2 |
U |
разлагаются в сходящeeся к этим функциям |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
степенные ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зафиксируем некоторый класс гладкости Cr, ãäå 1 |
|
r |
1 |
èëè r = !, è |
|||||||||
отображения этого класса будем называть Cr- |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гладкими отображениями или |
|||||
просто гладкими отображениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Каждое гладкое отображение ' : U |
V определяет на U гладкую функцию |
||||||||||||
|
|||||||||||||
D'(x) = det |
d'i |
; i; j = 1; :::; n |
|
|
|
||||||||
dxj |
|
|
|
называемую его якобианом. Из математического анализа известно, что для лю-
áûõ Cr-гладких отображений ' : U |
V è : |
V |
|
W , ãäå U,V è W îò- |
|
крытые подмножества в Rn, композиция |
' : U |
|
W заданная равенством |
||
выполняется равенство |
|
|
|
|
|
r гладко, причем для любой точки |
x 2 U |
||||
( ')(x) = ('(x)); x 2 U также C - |
|
|
|
|
|
( ')(x) = (D |
)(y) (D')(x); |
|
(2) |
||
ãäå y = '(x) |
|
|
|
|
|
Определение 2.3. Отображение ' : U V открытых множест пространства Rn называется Cr-диффеоморфизмом, если оно Cr-гладко, биективно и обратное оображение ' 1 : V U : (y1; :::; yn) 7!(x1; :::; xn) = ' 1(y1; :::; yn) òîæå Cr- гладко.
4
Из формулы (2) вытекает, что якобиан D'(x) произвольного диффеоморфизма во всех точках множества отличен от нуля, причем (D' 1)(y) = ((D')(x)) 1
для любой точки y = '(x) множества V .
Теорема об обратном отображении утверждает,что, если в точке x0 2 U ÿêî-
áèàí D'(x0) гладкого отображения ' : U V отличен от нуля, то существует такое открытое множество U0 U, содержащее точку x0, что ограничение 'jU0 отображения ' на U0 яляется дифеоморфизмом множества U0 на некоторое
открытое множество V 0 = '(U0) V , содержащее точку y0 = '(x0).
Из этой теоремы следует, что гладкое, биективное отображение ' : U V , якобиан которого всюду отличен от нуля, является диффеоморфизмом.
2.2Гладкие многообразия
Определение 2.4. Пусть (M; ) - топологическое пространство. Kартой в M называется пара (U; '), где U - открытое подмножество M, а ' : U B гомеоморфизм на открытое подмножество B в Rn. Множество U называется областью определения карты (U; '), а отображение ' координатным отображением.
Определение 2.5. Пусть (U; ') и (Ue; 'e) две карты на топологическом пространстве (M; ). Предположим, что U \ Ue 6= . Если возникающие отображе-
íèÿ
'e ' 1 : '(U \ Ue) 'e(U \ Ue)
' 'e 1 : 'e(U \ Ue) '(U \ Ue)
являются диффеоморфизмами класса Cr, то эти карты (U; ') и (Ue; 'e)называются
Cr - согласованными.
Атласом класса Cr на топологическом пространстве (M; ) называется семейство карт A = f(Ui; 'i)ji 2 Jg, обладающее двумя свойствами:
S
i2J Ui = M, òî åñòü fUi; i 2 Jg - открытое покрытие пространства M; (A2) любые две карты (Ui; 'i) è (Uj; 'j) из A являются Cr-согласованными.
Определение 2.7. Два атласа A и B класса Cr, заданные на топологическом пространстве (M; ), называются эквивалентными, если их объединение C = A [ B является атласом класса Cr.
Предложение 2.1. Введенное отношение является отношением эквивалентности на множестве атласов класса Cr, заданных на топологическом про-
странстве (M; ), и обозначается через .
Доказательство. Проверим, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности.
Рефлексивность и симметричность выполняются очевидным образом.
5
Докажем транзитивность этого отношения.
Пусть даны три атласа A = f(U ; ' )j 2 Ig, B = f(V ; )j 2 Jg, C = f(W ; )j 2 g на топологическом пространстве M и известно, что A B и B C. Возьмем любую карту (U ; ' ) из A и произвольную карту (W ; ) из
C и предположим, что U = U \ W 6= |
. Тогда определен гомеоморфизм |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
' |
1 |
: ' (U \ |
|
) |
|
|
|
( \ W ): |
|
|
|
||||||||||||||||||
По определению, ' |
|
|
является |
C - |
|
W |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r гладким, если это отображение r-гладкое |
|||||||||||||||||||
к каждой точке Q |
2 |
' |
|
(U |
|
\ |
W |
). Пусть P = ' 1 |
(Q) |
2 |
(U |
\ |
W |
). Òàê êàê B |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- атлас, то существует карта (V ; |
|
), такая что P 2 V . Тогда имеем последо- |
|||||||||||||||||||||||||||||
вательность отображений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
' (V \ U) |
|
(V \ U) |
|
(V \ U) |
|
|
(V \ U) |
|
(V \ U) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
' |
|
1 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
||||||||
Поэтому композиция |
|
|
|
|
= ( |
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
1) принадлежит классу |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cr, òàê êàê 1 2 Cr ïî Cr-согласованности второго и третьего атласов, а
' 1 2 Cr ïî Cr-согласованности первого и второго атласов. Следовательно,
âсилу произвольного выбора точки, отображение ' 1
принадлежит классу
Cr в каждой точке множества.
Из предложения (2.1) слудует, что множество всех Cr атласов на топологи-
ческом пространстве M распадается на непересекающиеся классы эквивалентности Cr-согласованных атласов. Класс эквивалентности, содержащий атлас A,
обозначается через [A].
Определение 2.8. Пара (M; [A]) называется гладким многообразием, а класс элемента [A] называется гладкой структурой.
Определение 2.9. Атлас A класса Cr на M называется максимальным атласом, если он совпадает с любым его содержащим Cr-атласом. Другими словами, если B атлас класса Cr è B A, òî B = A
Определение 2.10. Пара (M; A), где A максимальный атлас класса Cr, называется гладким многообразием, а A называется гладкой структурой класса Cr.
Предложение 2.2. Определение (2.8) и определение (2.10) гладкого многообразия эквивалентны.
Доказательство. Пусть пара (M; [A]) - гладкое многообразие, где
[A] = fAij i 2 Jg
класс эквивалентности, содержащий атлас A. Покажем, что [A] = A. Для этого
S
достаточно показать, что A = i2J Ai.
6
Следовательно |
|
|
|
Sj 2 J, такое что A = Aj, значит |
|||||||
1. |
Покажем, что A |
i2J |
Ai. Так как A атлас, содержащий A, то A A. |
||||||||
|
|
существует |
|
[ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A = Aj |
Ai: (1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i2J |
|
|
|
|
2. |
Обратное. Рассмотрим любой атлас |
Ai эквивалентный атласу A. Тогда |
A \ Ai - Cr-атлас, следовательно, любая карта из Ai Cr-согласована с любой картой из A. Из определения A следует, что Ai A и значит,
[
Ai A:
i2J
(2)
Из включений (1) и (2) следует равенство [A] = fAiji 2 Jg.
Следствие 2.1. Для задания гладкой класса Cr структуры на топологическом пространстве (M; ) достаточно задать любой атлас класса Cr.
По определению два многообразия ( X ; A) и (Y ; A)› тогда и только тогда одинаковы, когда X = Y и A = A›.
Размерность гладкого многообразия определяется размерностью пространства Rn, на котором задано множество M.
Определение 2.11. Число n называется размерностью гладкого многообразия и обозначается dim M.
2.3Примеры гладких многообразий
Пример 2.1. На топологическом пространстве Rn с обычной топологией пара (Rn; id), ãäå id : Rn Rn тождественное отображение, является картой.
Одноэлементное множество карт, состоящее из этой карты, представляет собой атлас класса Cr, для любого фиксированного r 1. Соответствующая гладкая
структура на Rn называется стандартной класса Cr.
Пример 2.2. Для любого открытого множества G из пространства Rn ïàðà (G; id) является картой и одноэлементное множество карт, состоящие из этой карты, представляет собой атлас класса Cr, для любого фиксированного r 1. Определяемую этим атласом гладкую структуру на G называют индуцированной стандартной гладкой структурой на Rn. Для нее картами являются те карты (U; '), стандартной гладкой структуры, для которых G U.
Пример 2.3. На пространстве R существуют и нестандартные гладкие структуры. Рассмотрим на R1 = R карту (R; '0), где отображение '0 : R R,
задается формулой
'0(t) = t3; t 2 R
7
. Эта карта также составляет одноэлементный атлас. Соответствующая ей гладкая структура отлична от стандартной, так как карты (R; id) и (R; '0) не согласованы. Отображение перехода '0 (id) 1 = '0 гладко и биективно, но обратное
отображение ' 1 : t 7!t1 не дифференцируемо при t = 0.
0
3
Пример 2.4. Простейшим многообразием, не покрываемым одной картой, является окружность
p0 |
q0 |
S1 = (x; y) 2 R2j x2 + y2 = 1 : |
|
|
|
r q0 |
|
|||||
( 1; 0) |
(1; 0) |
|
U = S |
1 |
r p0 |
|
V = S |
1 |
|
|||
Пусть |
и е¼ точки |
|
è |
и пусть |
|
|
f g |
è |
|
|
f g |
. Äëÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
любых точек p 2 U и q 2 V обозначим через '(p) и |
|
(q) принадлежащий интер- |
валу от ( ; ) угол, образованный радиус-вектором этой точки соответственно
с положительным и отрицательным направлением оси абсцисс соответственно, получим отображения
являются гомеоморфизмами. |
( ; ); : V |
|
|
(U; ') |
|
(V; |
) |
|
' : U |
|
( ; ) |
|
|
|
|
||
Следовательно, пары |
|
è |
|
|
карты на |
|||
S1. Ïðè ýòîì U \ V = S1 r fp0; q0g, множества |
|
|
|
|
|
|
'(U \ V ) = ( ; 0) [ (0; )
è
(U \ V ) = ( ; 0) [ (0; )
открыты в R. Отображение
' 1 : '(U \ V ) (U \ V )
задается формулами
(
( ' 1) : ft + ; t 2 ( ; 0);
t; t 2 (0; )
èпотому является диффеоморфизмом.
Следовательно карты (U; ') и (V; ) Cr-согласованы, а так как U [ V = S1, то A = f(U; '); (V; )g атлас класса C1. Этот атлас определяет на S1 íåêî- торую гладкую структуру класса C1. Таким образом окружность S1 является примером гладкого многообразия C1.
Пример 2.5. Пусть
U(+) := (x; y) 2 S1j y > 0 ; U( ) := (x; y) 2 S1j y < 0 ;
V (+) := (x; y) 2 S1j x > 0 ;
V ( ) := (x; y) 2 S1j x < 0 ;
8
подмножества окружности S1 (открытые полуокружности), состоящие из точек
p = (x; y). Пусть
'(+) : U(+) ( 1; 1) : (x; y) 7!x '( ) : U( ) ( 1; 1) : (x; y) 7!x
(+) : V (+) ( 1; 1) : (x; y) 7!y ( ) : V ( ) ( 1; 1) : (x; y) 7!y
Каждое из этих отображений является гомеоморфизмом, поэтому пары
(U(+); '(+)); (U( ); '( )); (V (+); (+)); (V ( ); ( ))
являются картами в S1. При этом в картах (U+; '(+)) è (U ; '( ) локальной координатой служит x, а на картах (V +; (+)) è (V ; ( )) локальной кооpдинатой
является y.
Покажем, что эти карты являются C1-согласованными. Пары непересекаю- щихся карт (U(+); '(+)); (U( ); '( )) è (V (+); (+)), (V ( ); ( )) C1-согласованы в силу определения. Рассмотрим ситуацию, в которой пересечение карт не пусто.
Так пересечение карт (U(+); '(+)) è (V (+); (+)) |
представляет собой четверть |
|||||||
окружности проектирующееся на открытый интервал |
(0; 1), причем соответ- |
|||||||
ствующие отображения переходa |
|
|
|
|
|
|
|
|
'(+) ( (+)) 1 : (U(+) \ V (+)) |
|
'(U(+) |
\ |
|
p |
|
|
|
|
|
|
V (+)) : y 7! 1 x2: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Оно определено при 0 < y < 1 и являются C1-диффеоморфизмом. Аналогич- ным образом проверяем, C1-согласованность оставшихся карт.
Эти карты покрывают всю окружность S1, то есть составляют атлас класса C1 íà S1. Покажем, что этот атлас эквивалентен атласу из предыдущего примера. Действительно, для карт (U; ') из предыдущего примера и (U(+); '(+)) пересечение (U \ U(+)) совпадает с U(+), причем '(U(+)) = (0; ), '(+)(U(+)) = ( 1; 1), а отображение
'(+) ' 1 : (0; ) ( 1; 1)
задается формулой y = cos x; 0 < x < 1 и поэтому является C1-диффеоморфизмом.
Для остальных пар карт ситуация аналогична. Таким образом, мы задали на окружности атлас двумя различными способами и доказали их эквивалентность.
Пример 2.6. Рассмотрим единичную n-мерную (n 1) сферу в пространстве Rn+1, заданную уравнением:
Sn = (x0; x1; :::; xn)j x20 + x21 + ::: + x2n = 1
Покажем, что на сфере Sn можно построить атлас состоящий всего из двух карт. Для этого рассмотрим любую точку p = (x0; x1; :::; xn) сферы Sn, отличную от
9
точки p0 = (1; 0; :::; 0) - северного полюся сферы Sn. Соединим эти две точки и рассмотрим получившиюся прямую p0p в пространстве Rn+1. Каноническое уравнение этой прямой имеет вид:
|
x0 |
1 |
= |
x1 |
= ::: = |
xn |
|
|
|
|||
|
x0 |
1 |
x1 |
xn |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
и значит, эта прямая пересекает гиперплоскость X0 (экваториальную гипер- |
||||||||||||
плоскость сферы Sn) в точке t с координатами |
|
|||||||||||
t1 = |
|
x1 |
|
; :::; tn = |
xn |
(3) |
||||||
|
1 x0 |
1 x0 |
|
|||||||||
Эта точка t = (t1; :::; tn) называется стереографической проекцией |
точки p 2 |
Snrfp0g. Обозначив эту точку через '(p), мы получим биективное отображение
' множества. U = Sn rfp0g на пространство Rn, то есть некоторую карту (U; ') |
|||||||||||||
c '(U) = Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом, исходя из |
южного полюса |
q0 |
|
|
|
ñôå- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 1; 0; :::; 0) , ãäå |
||||
ðû Sn, мы можем построить стереографическую проекцию |
: V |
|
Rn |
||||||||||
|
q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t ñ |
|
|
|
V = Sn r fq0g, переводящую произвольную точку p = (x0 |
; x1 |
; :::; xn) сферы Sn |
|||||||||||
отличную от точки |
|
, в точку экваториальной плоскости |
e |
координатами |
|||||||||
|
|
t1 = |
x1 |
|
; :::; tn = |
xn |
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
). |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
и, значит, получить карту e(V; |
e |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для построенных карт пересечение W = U \V имеет вид Snrfp0; q0g, и каждое из отображений ' и отображает это пересечение на открытое множество Rn r f0g пространства Rn. При этом соответствующее отображение перехода
' 1 : Rn Rn
Будет задаваться формулами, получающимися исключением x0; x1; :::; xn èç ôîð- мул (4) и (5). Но согласно формулам (4) xi = (1 xi)ti, и потому
1 = x20 + x21 + ::: + x2n = x20 + (1 x0)2(t20 + t21 + ::: + t2n) = x20 + (1 x0)2t2;
òî åñòü
(1 + t2)x20 2t20x0 + t2 1 = 0:
Это уравнение имеет корень x0 = 1, который нам не подходит, так как соответ- ствует точке p0, а для второго его корня
t2 1 x0 = 1 + t2
Имеют место формулы
1 x0 = |
2 |
; 1 + x0 |
= |
2t2 |
1 + t2 |
1 + t2 |
10