Исправлено14_05_2012_New_file

4Группа голономий слоения

Пусть (M; F ) произвольное слоение коразмерности q на n - мерном многообразии.

4.1Голономный диффеоморфизм вдоль пути в слое

Пусть h : [0; 1] L кусочно-гладкий путь. Рассмотрим открытое покрытие

= fU j 2 Jg

множества h([0; 1]), где (U ; ' ) раслоенная карта с центром в точке p = h(t ) 2 U . Не нарушая общности, будем считать, что пересечение любых двух

ai = 'i 1(0p; 0q)

Mножество Diq = 'i 1(f0g Rqd) называется q - мерным трансверсальным диском или просто диском в точке ai. При этом существует диффеоморфизм

слой из карты (U0; '0), пересекающий V0, пересекает и трансверсальный диск

D1q.

Пусть x произвольная точка окрестности V0. Рассмотрим отображение

hj([0;t1]) : V0 V1 : x 7!z

которое ставит в соответствие точке x точку z 2 V1 2 D1q такую, что пере- сечение слоев точек x и z не пусто Lx \ Lz 6= . Это отображение корректно

определено, так как любой локальный слой Lx èç U0 пересекает не более, чем один локальный слой из окрестности U1.

Аналогично определяем hj([t1;t2]) : Ve1 V2 и так далее до hj([tk;tk+1]) : Vek

Vk+1.

21

феоморфизмоф hj([tk;tk+1]) ::: hj([0;t1]). Определенный таким образом диффео- морфизм h : Va Vb называется локальным голономным диффеоморфизмом

вдоль пути h.

Пусть

h : Va Daq Vb Dbqf : Vea Daq Vec Dbc

Тогда существуют окрестности Wa точки a в диске Daq и окрестность W точки в диске Dq такие, что определен голономный диффеоморфизм h f : V W,

причем h f = fjWb hjWa , ãäå Wb = h(Wa)

22

4.2Ростки диффеоморфизмов

Пусть (M; F ) произвольное слоение коразмерности q на n-мерном много-

образии.

Пусть h : [0; 1] ! L кусочно-гладкий путь.

Существует конечная цепочка расслоенных карт (Ui; 'i) с центрами в точках h(ti) 2 Ui, покрывающая путь h([0; 1]), такая что L \ Ui \ Ui+1 6= ?; a = h(0) 2

U0; b = h(1) = h(tk+1), ãäå 0 = t0 < t1::: < tk+1 = b.

Пусть 'i(Ui) = Kpc Kqd параллелепипед, равный произведению p-мерного

Dk+1 точки b в диске Dk+1.

В точке a существует такая окрестность V0 : a 2 V0 D0q, что любой локаль- ный слой из карты (U0; '0), пересекающий V0, пересекает и D1q. Тогда можно

определить отображение:

hj[t0;t1] : V0 ! V1 : x 7!z

,

ãäå Lx \ Lz 6= ?, z 2 Lz \ D1q, являющееся диффеоморфизмом.

Аналогично определяются диффеоморфизмы hj[t1;t2] : Ve1 7!V2, ... , hj[tk;tk+1] :

Vek ! Vk+1.

Уменьшая, в случае необходимости, окрестность V0 до окрестности Va 2 D0q получаем требуемый диффеоморфизм h : Va ! Vb как композицию диффео- морфизмов

h := hj[tk;tk+1] ::: hj[t0;t1]

.

Построенное отображение h называется локальным голономным диффеоморфизмом вдоль пути h.

Пусть f : Ua ! Ub è g : Va ! Vb дифференцируемые отображения указанных окрестностей точки a 2 X на соответствующие открестности точки b 2 Y;

причем f(a) = h(a) = b.

Определение 4.1. Будем говорить, что f эквивалентно g и обозначать это

через f v g, если существует окрестность Wa точки a в X такая, что fjWa = gjWa, ïðè ýòîì Wa Ua \ Va.

23

Нетрудно проверить, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности.

Определение 4.2. Класс эквивалентности называется ростком в точке a и обозначается через ffga = fhga.

Åñëè f : Ua ! Va диффеоморфизм некоторой окрестности Ua точки a на некоторой окрестность Va этой же точки, причем f(a) = a, то будем говорить, что f локальный диффеоморфизм в точке a.

Пусть (X; a) пространcтво с отмеченной точкой a. Обозначим через (X; a) множество ростков ffga локальных диффеоморфизмов в точке a.

В (X; a) введем операцию умножения ростков следующим образом. Возьмем любые ffga; fgga 2 (X; a), тогда f : Ua ! Va, g : Uea ! Vea

локальные диффеоморфизмы в точке a. Положим по определению:

ffga fgga = ff gjg 1(Ua\Vea)ga;

Предложение-определение. Множество (X; a) с введенной операцией умножения образует группу, которая называется ростковой группой голономии слоения (M; F ) в точке a 2 X и обозначается через (L; a).

4.3Произведение путей в топологическом пространстве.

Произведение путей в топологическом пространстве определяется по формуле

такие что h(0) = g(0) = a и h(1) = g(1) = b, то fHhga = fHgga, ãäå Hh è Hg соответственно.

Доказательство. Так как h g, то существует гомотопия их соединяющая:: I1 I2 L, которая удовлетворяет 4 условиям:

1: jI f0g = h;

2: jI f1g = g; 3: (0; s) = h(0) = g(0) = a; 4: (1; s) = h(1) = g(1) = b;

для любого s 2 I2

24

Обозначим через K = (I1 I2) компактное подмножество в M, полу- ченное как непрерывный образ компактного квадрата I1 I2. Следовательно существует открытое покрытие

= fU j 2 Jg

из окрестностей U расслоенных карт (U ; ' ) такое, что K [ 2J U . Тогда

= 1(U \ K)

открытое покрытие квадрата I1 I2. В силу леммы Лебега, существует число Лебега " > 0 для квадрата (I1 I2 с обычной метрикой,что существует разбиение

0 = t0 < t1 < ::: < tm = 1

0 = s0 < s1 < ::: < sm = 1

ij = [ti; ti+1] [sj; sj+1], где 0 i; j m 1 для которого ij < "

sj = jI1fsjg, ãäå s0 = h, sm = g ïóòü â L. Обозначим через eij =( ij), тогда (I1 [s0; s1]) покрыто одной цепочкой карт.

Из определения голономного диффеоморфизма Hh вытекает, что росток fHh =

H s0 g = fH s1 g, åñëè ïóòè s0 енных окрестностей.

Аналогично, доказывается, что

fHh = H si ga = fH si+1 ag; i = 0; :::; m:

Тогда fHh = H s0 ga = fHh = H sm ga = Hg.

Лемма 4.1. Пусть (M; F ) - любое гладкое слоение коразмерности q. Тогда для любой точки x 2 M определен гомoморфизм групп

: 1(L; x) (L; x) : [h] 7!Hfhgx

ãäå 1(L; x) фундаментальная группа с операцией умножения [f] [h] := [f h], для любых [f]; [h] 2 1(L; x)

Доказательство. 1. Докажем корректность определения , то есть не зависимость от выбора представителя h 2 [h]. Возьмем любой элемент g 2 [h], тогда h g, то есть h и g гомотопные петли в точке x. Покажем, что fHhgx = fHggx. Это вытекает из предыдущего предложения.

2. Отображение : 1(L; x) (L; x) определено корректно. Следовательно корректно определено отношение

fHhgx := fHhgx

25

Группа (L; x) образована ростками fHhgx, следовательно - сюрьективное отображение. Операция в (L; x) определяющая произведение ростков

fHhgx fHggx = fHh Hggx = fHh g

совпадает с операцией произведения путей. Покажем, что гомеоморфизм

([h] [g]) = ([h g]) = fHh ggx = fHhgx fHggx = ([h]) ([g])

Получаем, что эпиморфизм групп.

Следствие 4.1. Если слой L односвязен, то есть (L; x) = 0, то (L; x) = 0.

Пример 4.1. Пусть (Rn; Fst) топологическое пространство с заданной на нем стандартным слоением коразмерности q. Для того, чтобы вычислить группу

голономии этого множества, разобъем его на компоненты линейной связности L Rp, то есть на p-мерные стандартные слои коразмерности q. Такое слоение

=

является локально-тривиальным и его группа голономии (L ) = 0

Вычислим группу голономии открытого листа Мебиуса.

Пусть лист Мебиуса определен так же как и в примере (3.1). Зададим на нем разбиение на горизонтальные слои прямые. Зафиксируем произвольную точку x, принадлежащую листу Мебиуса, такую что x не принадлежит слою [ 1; 1]. Проведем через точку x трансверсальный диск Dx0 и обозначим через U = ( "; ") некоторую окрестность точки x принадлежащию этому диску. Путь

h для точки x и е¼ окрестности будет определен следующим образом: точке x с координатами ( ; ) поставим в соответствие точку x0 с координатами ( ; ),

òî åñòü

h : ( ; ) 7!( ; )

Классом эквивалентности отображения h, будем считать элемент разбиения

листа Мебиуса на максимальные линейно связные подмножества. Таким образом из точки x0 продолжим движение по пути h и попадем в точку x( ; ).

Следовательно, ростком диффеоморфизма в точке x является Hh2 = id. Значит росток диффеоморфизма для некоторой окрестности U точки x диффеоморфен стандартному слоению в Rn коразмерности q. В силу произвольного выбора точки x это выполняется на всем открытом листе Mебиуса, за исключением слоя [ 1; 1]. Рассмотрим подробнее слой [ 1; 1]. Для любой точки y 2 [ 1; 1] отображение h осталяет е¼ на месте. Этот слой, единственный слой на листе

Мебиуса, на котором слоение не является локально-тривиальным. Таким образом группа голономии открытого листа Мебиуса равна множеству целых чисел

(L; y) Z

= 1.

Пример 4.3. Вычислим группу голономии бутылки Клейна.

26

Пусть бутылка Клейна определена аналогично примеру (3.2). Рассмотрим разбиение этого многообразия на горизонтальные слои. Зафиксируем произвольную точку x, принадлежащию бутылке Клейна такую, что x не принадлежит слям [ 1; 1] и [ b; b]. Проведем через точку x трансверсальный диск Dx0 è обозначим через U = ( "; ") некоторую окрестность точки x принадлежащию

этому диску. Путь h для точки x и е¼ окрестности будут являться горизонталь-

ные слои, определенные следующим образом: точке x с координатами ( ; ) ставится в соответствие точка x0 с координатами ( ; ), òî åñòü

h : ( ; ) 7!( ; )

Классом эквивалентности отображения h, будем считать элемент разбиения

бутылки Клейна на максимальные линейно связные подмножества. Таким образом, из точки x0 продолжим движение по пути h и попадем в точку x( ; ).

Следовательно, ростком диффеоморфизма в точке x является Hh2 = id, то есть росток диффеоморфизма для некоторой окрестности U точки x диффеоморфен стандартному слоению в Rn коразмерности q. В силу произвольного выбора точки x, это выполняется на всей бутылке Клейна, за исключением слоя [ 1; 1].

Рассмотрим отдельно слои [ 1; 1] и [ b; b]. Для любой точки y 2 [ 1; 1] и любой точки z 2 [ b; b] отображение h осталяет эти точки на месте. Эти слои

не диффеоморфны локально-тривиальному слоению. Таким образом группа голономии бутылки Клейна (L; y) Z

= 2.

27

Список литературы

[1]Sharpe R.W. De erential geometry: Cartan's generalization of Klein's Erlangen program. New York: Springer, 1997. (Grad. Texts Math.; V. 166).

[2]Александров П.С, Введение в теорию множеств и общую топологию. : Наука. 1977, 215 c.

[3]Ш.Кобаяси, К.Номидзу, Основы дифференциальной геометрии, Т.I: Наука, 1970 345 c.

[4]В.А.Васильев, Введенеие в топологию. : Фазис, Москва, 1997, 256 c.

[5]Винберг Э.Б., Онищик А.Л., Основы теории групп Ли, М.: 1988, 245c.

[6]В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс, Начальный курс топологии. Геометрические главы. : Наука. 1977 541 c.

28