Исправлено14_05_2012_New_file

поэтому для любого i = 1; :::; n

2ti xi = (1 x0)ti = 1 + t2

и, следовательно,

xi eti = 1 + x0

Этим доказано, что композиция ' 1 в координатах записывается формулами et1 = tt12 ; :::; etn = ttn2

и потому является диффеоморфизмом. Следовательно, карты (U; ') и (V; ) C1-согласованы и образуют атлас на сфере Sn.

Пример 2.7. Рассмотрим пространство RPn, которое получается из сферы Sn

отождествлением диаметрально противоположных точек. А именно, из пространства Rn+1 выбросим точку O(0; 0; :::; 0) и пространство Rn+1 rf0g разобъ-

ем на слои, где любой слой состоит из объединения двух лучей. Обозначим P

полученное разбиение.

Фактор пространство (Rn+1 n f0g) n P гомеоморфно RPn, так как каждая прямая проходящая в Rn+1 через точку f0g пересекает сферу Sn â äâóõ äèà-

метрально противоположных точках.

Построим на RPn атлас из (n + 1) карты следующим образом: обозначим че- рез Ui множество точек (x0; :::; xn) â RPn, для которых xi 6= 0. Заметим, что две

точки (x0; :::; xn) è (y0; :::; yn) принадлежат одному слою, то есть представляют одну и ту же точку в пространстве RPn, если существует такое число 6= 0,

÷òî yi = xi. Поэтому для точки x 2 Ui можем поделить все координаты на xi

Выберем за

Ai = Rn(t1; :::; ti 1; ti; ti+1; :::; tn):

Отображение

'i : Ui Ai : (x0; :::; xn) 7!(t1; :::; ti 1; ti; ti+1; :::; tn)

определим формулами

11

Получаем, что Ai = f(Ui; 'i)g - åñòü Cr-атлас на RPn. Действительно, если (Ui; 'i) è (Uj; 'j) две карты, то на Ui \ Uj имеем xi 6= 0 è xj 6= 0. Не нарушая общности, положим для определенности xi = x0 è xj = x1, òî åñòü

Отсюда

(1; t1; :::; ti; :::; tn) = ( 0; 1; :::; i; :::; n)

Получаем, что карты Cr cогласованы. Полученное гладкое многообразие на-

зывается стандартным n-мерным вещественнным проективным пространством и обозначается через RPn.

Теорема 2.1. Пусть M и N - гладкие многообразия, класса Cr. Пусть dim M = m и dim N = n и A = f(Ui; 'i)g è B = f(Vj; j)g; где i 2 I; j 2 J атласы на многообразиях M и N, соответственно. Тогда набор карт

A B = fUi Vj; 'i jg

является Cr-атласом на (n + m) мерном многообразии M N.

Доказательство. Произведение карт Ui Vj - открытое множество в X Y по определению топологии в M N, а произведение атласов A B - открытое множество в Rn+m. Получаем, что множества fUi Vjg; i 2 I; j 2 J - образуют открытое покрытие многообразия M N.

Отображение

Определение 2.12. Пусть M и N - гладкие многообразия класса Cr ñ àòëà- ñàìè A = f(Ui; 'i)g è B = f(Vj; j)g . Тогда многообразие M N с атласом

разием.

12

Пример 2.8. В топологическом пространстве R2

смотрим произведение двух прямых R1 R1. Это произведение будет является Cr гладким многообразием по предыдущей теореме, если каждая прямая R1 Cr гладкое многообразие. А это было показано ранее в примере 1.

Произведение произвольной замкнутой области U из R2

ìóþ R1: U R1 яляется Cr гладким многообразием, так как Cr гладкими многообразиями являются любая открытая область из Rn и прямая R1, à â ñèëó теоремы 1 и их произведение.

В пространстве R3 pассмотрим цилиндр. Он является произведением окружности S1 и прямой R1. Покажем, что цилиндр также будет Cr

гладким многообразием. По теореме о произведении гладких многообразий достатачно доказать, что прямая и окружность являются Cr гладкими многооб-

разиями. Это было доказано ранее, так как прямая является частным случаем пространства Rn, а окружность сферы Sn, на которых была введена стан-

дартная гладкость класса Cr.

Рассмотрим двумерный тор T являющийся произведением двух окружностей T 2 = S1 S1. В силу теоремы о произведении многообразий тор T , будет являться Cr гладким многообразием, так как окружность S1 - Cr ãëàä-

кое многообразие, обладающее гладкостью одномерной сферы, что показано в примере 4.

Обобщим случай рассмотренный в примере 11. Пусть T n = S1

::: S1 - n - мерный тор. Он является гладким многообразием как произведение конечного числа S1 окружностей, каждая из которых представляет собой Cr гладкое многобразие.

2.4Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизм.

Пусть M1 è M2 Cr-гладкие многообразия размерности n1 è n2 соответ- ственно, f : M1 M2 непрерывное отображение, а A - максимальный атлас класса Cr многообразий M1 è M2. Рассмотрим любую точку x 2 M1. Â ñèëó непрерывности функции f : M1 M2 в точках x 2 M1 è y = f(x) 2 M2 ñó- ществуют такие карты (U; ') 2 A(M1) è (V; ) 2 A(M2), что f(U) V . Тогда определено отображение

f ' 1 : '(U) (f(U)) (V )

которое называется координатным выражением f в картах (U; ') и (V; )

13

В окрестности любой точки P0 2 M1 отображение f можно представить в виде вектор-функции h, такой что yk = hk(x1; :::; xn), ãäå (x1; :::; xn) локальная система координат в окрестности точки P0 2 M1, a (y1; :::; ym) локальная система координат в окрестности точки Q0 = f(P0) 2 M2.

Пусть f : M1 M2 гомеоморфизм многообразий. Если f является гладким отображением класса Cr, то обратное отображение f 1 не обязано быть

гладким отображением. Поэтому, если обратное отображение f 1 : M2 M1 тоже является гладким отображением класса Cr, то гомеоморфизм f назы-

вается гладким гомеоморфизмом класса Cr или диффеоморфизмом класса Cr.

Диффеоморфизмы гладких многообразий играют ту же роль, что и диффоеморфизмы топологических пространств. Если f : M1 M2 диффеоморфизм,

то многообразия M1 è M2 называются диффеоморфными многообразиями. Совокупность всех многообразий разбивается на непересекающиеся классы попарно диффеоморфных многообразий. Любое свойство гладких многообразий, гладких функций или отображений на многообразии переносится на любое другое диффеоморфное ему многообразие, поэтому диффеоморфные многообразия обычно не различают.

Однако есть такие свойства многообразий, "одинаковость "которых для пары диффеоморфных многообразий не совсем очевидна. Например, это касается размерности многообразия. Выясним, будет ли одинаковой размерность диффеоморфного многообразия.

Теорема 2.2. Пусть f : M1 M2 гладкий гомеоморфизм класса Cr; 1 r 1 гладких многообразий. Тогда dim M1 = dim M2

Докажем некоторые полезные утверждения о структуре атласа карт. По определению, атлас карт на многообразии M состоит из открытых множеств

Ui, гомеоморфных областям Vi Rn. Иногда удобно упростить вид областей Vi в евклидовом пространстве Rn, за счет увеличения числа карт на атласе.

В гладком многообразии Mсуществует такой атлас карт f(Ui; 'i)g, что каждая карта (Ui; 'i) диффеоморфна Rn

Доказательство. Сначала покажем, что можно построить такой атлас карт,

чтобы каждая карта была диффеоморфна открытому шару некоторого радиуса " в Rn.

Пусть P0 2 M произвольная точка, Ui 2 P0, 'i : Ui Vi Rn

динатный гомеоморфизм, Q0 = 'i(P0). Поскольку Vi открытое множество в Rn, то найдется такое число ", что открытый шар радиуса " c центром в точ- ке Q0 лежит в Vi. Обозначим этот шар через B"(Q0), a его праобраз 'i 1(BQ0)через Wp. Семейство открытых множеств fWpg является атласом карт на многообразии M, и каждая карта Wp диффеоморфна открытому шару в Rn.

Чтобы завершить доказательство, покажем, что открытый шар радиуса " диффеоморфен Rn. Достаточно рассмотреть случай " = 1. Пусть (x1; :::; xn)

14

точка в шаре радиуса 1, x21 + x22 + ::: + x2n < 1. Положим

ние шара радиуса 1 на Rn.

15

3Гладкие слоения на многообразиях

3.1Стандартные слоения в Rn

Будем рассматиривать Rn как гладкое многообразие класса C1, заданное атласом A1 = f(Rn; idRn)g из одной карты (Rn; idRn).

При n = 2, многообразие R2 плоскость. Семейство прямых

Fst = R1 fx2g x2 2 R1 ;

образующее разбиение плоскости R2, называется 1-мерным стандартным сло-

ением плоскости.

При n = 3, многообразие R3 трехмерное арифметическое пространство. Pазбиение

Fst = R2 fx3g x3 2 R1

пространства R3 плоскостями R2 fx3g называется 2-мерным стандартным слоением многообразия R3.

Существует и другое разбиение пространства R3. Cемейство прямых

Fst = R1 z z 2 R2

также является слоением на многообразии R3.

При n любое, 0 < p < n; q = n p. Заметим, что Rn = Rp Rq. Разбиение многообразия Rn:

Fst = Rp fzg z = (xp+1; xp+2; :::; xn) 2 Rq

p-мерными плоскости Rn fzg называется стандартным p-мерным слоением в Rn

3.2Определение гладких слоений на многообразиях

Пусть M гладкое, n-мерное многообразие класса Cr; r 1

Напомним некоторые важные определения из курса топологии.

Путем в топологическом пространстве (X; ) называется любое непрерывное отображение h : [0; 1] X.

Говорят, что h соединяет точки x0 = h(0) è x1 = h(1)

Топологическое пространство (X; ) называется линейно связным, если для любых точек x0; x1 2 X существует путь в M, соединяющий эти точки.

Компонентой линейной связности точки x 2 X называется максимальное линейно связное подмножество Kx в (X; ) содержащее точку x.

S

2J L = M; 2:L \ L 0 =

16

Определение 3.2. Гладким класса Cr слоением коразмерности q на многооб-

дартного слоения коразмерности q в Rn

'(Kj(L \ U)) = Rp fcjg;

ãäå cj 2 Rq.

Определение 3.3. Карта удовлетворяющая условию (F ) называется расслоенной.

Замечание 3.1. Геометрический смысл условия (F ) состоит в том, что слоение

(U; FU ) индуцированное на U, с точностью до диффеоморфизма ' устроено как стандартное слоение коразмерности q в Rn.

Таким образом, гладкие слоения на многообразии это разбиения на под-

множества линейно связные, устроенные как стандартное слоение коразмерности q в Rn.

3.3Простые слоения

Пусть f : M B cубмерсия, то есть дифференцируемое отображение f : M B, дифференциал которого

f x : TxM Tf(x)B

является сюрьективным отображением в любой точке x 2 M.

Известно, что для всякой субмерсии f : M B и любого b 2 B прообраз f 1(b) гладкое подмногообразие в M размерности dim M dim B, вообще говоря, несвязное. Компоненты связности слоев f 1(b), где b 2 B образуют на

M слоение

F= Kj(f 1(b)) b 2 B

,ãäå Kj компонента связности.

Определение 3.4. Слоение (M; F) называется простым, если существует

субмерсия f : M B такая, что F = f 1(b) b 2 B .

В рассматриваемом случае не все слои диффеоморфны между собой и слоение не является простым.

Примером простого слоения является локально-тривиальное расслоение . Для точки b 2 B существует окрестность U = U(b) такая, что p 1(U) ýòî

тривиальное слоение, диффеоморфное U L0, посредствам отображения .

17

3.4Примеры слоений

Пример 3.1. Пусть N = [ 1; 1] R1.

Введем в N отношение эквивалентности S : ( 1; y) (1; y); для любого y 2 R1. Фактор-пространство M = N=S является гладким двумерным многообразием без края и называется листом Мебиуса.

слоение на открытом листе Мебиуса.

Все слои этого слоения диффеоморфны окружности S1. Таким образом, от-

крытый лист Мебиуса представляет собой простейший пример не тривиального расслоения над базой окружностью S1 со стандартным слоем Y = R1. Струк-

тура расслоения определяется атласом, состоящим из двух карт U1 Y è U2 Y , над покрытием = fU1; U2g, ãäå

U1 = f " < < + "g ; U2 = f " < < 2 + "g;

окружности S1.

U1 \ U2 = W1 [ W2; W1 = [ "; "]; W2 = [ "; + "]

Это не локально-тривиальное расслоение (см пример...)

Пример 3.2. Пусть N = [0; 1] [0; 1].

Введем в N отношение эквивалентности S : (0; y) (1; y); для любого y 2 [0; 1] и (x; 0) (1 x; 1), при x 2 [0; 1]. Фактор-пространство K = N=S является гладким двумерным дифференцируемым многообразием и называется

слоение на N. Тогда

F = f(ftg [0; 1]) t 2 (0; 1)

слоение на бутылке Клейна. В этом случае имеем, что все слои диффеоморфны окружности S1. Это не локально-тривиальное расслоение (см пример ...).

18

Пример 3.3. Линейные (простейшие) слоения на торе.

Рассмотрим плоскость R2 и введем на ней отношение эквивалентности

: (x; y) (x0; y0) () 9 m; n 2 Z :

x0 = x + m; y0 = y + n;

Фактор-пространство R2= = T 2 тор, а множество всех классов эквивалентности можно отождествить с квадратом [0; 1] [0; 1]

Рассмотрим фактор отображение

f : R2 T 2 = R2= 1:

Оно ставит в соответствие точке (x; y) 2 R2 класс эквивалентности [(x; y)], содержащий эту точку.

Определение 3.5. Непрерывное отображение топологических пространств p : X B называется накрывающим, если для любой точки b 2 B существует окрестность U = Ub такая, что:

a p 1(U) = V ;

è pjV : V U гомеоморфизм.

Пространство X называется накрывающим пространством. Пространство B

базой.

Накрывающее пространство называется универсальным, если X односвязно. При этом p : X B называется универсальным накрывающим отображением .

Пусть k константа. Рассмотрим множество

Lb = f(x; kx + b)jx 2 R1g:

Оно представляет собой прямую на плоскости R2 проходящую через точку x и

начало координат. Тогда Fk = fLbj b 2 R1g это стандартное слоение на R2. Будем рассматривать тор T 2 как фактор-пространство R2= , тогда введенное

(x; y) = (q; p) (0; 0) 2 l

Тогда f(l) замкнутая кривая на торе. Она называется рациональной обмоткой тора. От сюда следует, что

Fk = ff(Lk)g = Lkg

19

слоение на торе T 2, образованное рациональными обмотками.

Пусть теперь l : y = kx, где k - ирpациональное число. Предположим, что

f(l) замкнутая кривая. Тогда существует точка (x1; y1) на прямой l , для

которой (x1; y1) (0; 0). В этом случае существуют такие числа m; n 2 Z, что (x1; y1) = (m; n) и m = nk, значит k = mn 2 Q. Получили противоречие с предположением.

Заметим, что незамкнутый слой L = f(l) - всюду плотный слой в T 2. Любая точка с рациональными координатами не лежит на кривой L. Получаем, что слоение F линейное слоение на торе T 2

20