Методичка Maple, Стребуляев

(t),t)=G1, m2*diff(diff(q[2](t),t),t)+ (c24+c)*q[2](t)-c24*q[3](t)-c24*b*q[4](t)+ (h24+h)*diff(q[2](t),t)-h24*diff(q[3](t),t)- h24*b*diff(q[4](t),t)=G2, m3*diff(diff(q[3] (t),t),t)-c13*q[1](t)-c24*q[2](t)+ (c13+c24+c67)*q[3](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6- x5))*q[4](t)-c67*q[5](t)-h13*diff(q[1](t),t)- h24*diff(q[2](t),t)+(h13+h24+h67)*diff(q[3] (t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[4] (t),t)-h67*diff(q[5](t),t)=0, m4*diff(diff(q[4] (t),t),t)+c13*a*q[1](t)-c24*b*q[2](t)+(- c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[3](t)+ (c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2)*q[4](t)- c67*(x6-x5)*q[5](t)+h13*a*diff(q[1](t),t)- h24*b*diff(q[2](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6- x5))*diff(q[3](t),t)+(h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6- x5)^2)*diff(q[4](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[5] (t),t)=0, m5*diff(diff(q[5](t),t),t)-c67*q[3]

(t)-c67*(x6-x5)*q[4](t)+c67*q[5](t)- h67*diff(q[3](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[4](t),t) +h67*diff(q[5](t),t)=0;

131

0

Начальные условия:

> c:=q[1](0)=0,q[2](0)=0,q[3](0)=0,q[4](0)=0,q[5]

(0)=0,D(q[1])(0)=1,D(q[2])(0)=1,D(q[3])

(0)=1,D(q[4])(0)=1,D(q[5])(0)=1;

c := q1(0) 0, q2(0) 0, q3(0) 0, q4(0 ) 0, q5(0) 0, D(q1 )(0) 1, D(q2 )(0) 1,

D(q3 )(0) 1, D(q4 )(0) 1, D(q5 )(0) 1

Список функций – обобщенных координат:

> fcns:={q[1](t),q[2](t),q[3](t),q[4](t),q[5](t)};

fcns := {q1(t ), q3(t ), q4(t ), q2(t ), q5(t )}

Решение системы уравнений:

F:=dsolve({sys,c},fcns,numeric);

F := proc(x_rkf45) ... end proc

> F(2);

t 2., q1(t ) 0.0510232807740421471, ddt q1(t ) 0.00186059974887280828,

> q2(t ) -0.0457994144568860952, ddt q2(t ) 0.134555406325586380, q3(t ) 0.0254129380571757706, ddt q3(t ) 0.0327215531738360016,

q4(t ) -0.0378777727615920088, ddt q4(t ) 0.0386427830675043146,

q (t ) -0.0376513883611335684, d q (t ) 0.0208672365575982358

5 dt 5

Построение графиков решений:

> plots[odeplot](F,[t,q[1](t)],0..25,color=blue);

132

> plots[odeplot](F,[t,q[2](t)],0..25,color=orange);

> plots[odeplot](F,[t,q[3](t)],0..25,color=gold);

> plots[odeplot](F,[t,q[4](t)],0..25,color=green);

133

> plots[odeplot](F,[t,q[5](t)],0..10,color=violet);

2.3.Изучение фазового портрета математического маятника. Исследование явления резонанса.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения:

x(t0 ) x0 (2.3.2)

x(t0 ) x1

Здесь р, q — постоянные, f(t) — специальная правая часть вида

f(t) = е α t (Pn(t) cos bt + Qm(t) sin bt), Pn(t), Qm(t) — полиномы степени n и m, соответственно.

Аналитическое решение уравнения (2.3.1) имеет структуру

хn = хо + хч,

где х0 = с1х1 + с2х2 — общее решение однородного уравнения ( f(t) = 0);

134

с1; с2 — произвольные постоянные, х1, х2 — фундаментальная система решений однородного урав-

нения,

хч = е α t (RN(t) cos bt + SN(t) sin bt) tr — частное решение уравнения (2.3.1). 3десь N = max(m, n), RN(t). SN(t) — полиномы с

неопределенными коэффициентами; если а+ib не является корнем характеристического уравнения ( 2 + р + q= 0); то r = 0;

если а + ib является корнем уравнения, то r равно кратности этого корня. В последнем случае получаем резонанс: частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой. Постоянные с1, с2 находятся из условий (3.3.2)

Задание:

1. Для уравнения описывающего малые колебания математического маятника решить аналитически начальную задачу для резонансного и нерезонансного случаев

Конкретные значения параметров системы указаны в вариантах контрольных заданий.

1.Свести задачу (2.3.3)–(2.3.4) к задаче Коши для системы ДУ.

2.C помощью компьютера решить численно задачy Коши методом Рунге-Кутты 4-го порядка для резонансного и нерезо-

нансного случаев (для нескольких значений b), построить интегральные кривые на одном графике (на плоскости (t, х) ). Выделить случай резонанса. Сравнить численные решения c аналитическими.

3. Построить фазовыe траектории (на плоскости ( x, x ) ) для резо-

нансного и нерезонансного случаев.

4.Повторить численные расчеты методом Эйлера. Сравнить

иобъяснить полученные результаты.

>with(linalg):with(DEtools):with(plots):

>k:=1.8;b1:=0.4;b2:=0.7;t0:=0;tk:=50;w:=0.5;

Резонансный случай (b=w)

> b:=w;

> f(t):=k*cos(b*t);

> DE:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));

135

Решение дифференциального уравнения в случае резонансных

колебаний (b=w=2)

> resonance_solution:=dsolve({DE,x(t0)=0,D(x)

(t0)=1},[linear])

График колебаний

>DEplot(DE, x(t), t=t0..tk, [[x(t0)=0, D(x)(t0)=1]], linecolor=black, stepsize=0.05, title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\n b=w=0.5");

>DEplot(DE, x(t), t=t0..tk, [[x(t0)=0, D(x)(t0)=1]], linecolor=black, stepsize=0.05, title="Метод Эйлера\n b=w=0.5", method=classical[foreuler]);

Фазовый портрет

>phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t) +w^2*x(t)=f(t)], [x(t),y(t)],t=t0..tk, [[x(t0)=0,y(t0)=1]], stepsize=0.05, linecolor=black, scene=[x,y], title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\n b=w=0.5");

>phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0, diff(y(t),t) +w^2*x(t)=f(t)], [x(t),y(t)],t=t0..tk, [[x(t0)=0,y(t0)=1]], stepsize=0.05, linecolor=black, scene=[x,y], title="Метод Эйлера\n b=w=0.5", method=classical[foreuler]);

136

Фазовые портреты для значения b=0.4

> phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)

+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk, [[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene =[x,y],title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.4"); phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t) +w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk, [[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene =[x,y],title="Метод Эйлера\nb=0.4",method=classical[foreuler]);

>b:=b2-0.1;

>f(t):=k*cos(b*t);

138

> DE_25:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));

139

Аналитическое решение дифференциального уравнения колебаний для b=0.6

> sol_25:=dsolve({DE_25,x(t0)=0,D(x)(t0)=1},[linear]);

Графики колебаний для значения b=0.6

>DEplot(DE_25,x(t),t=t0..tk,[[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.6"); DEplot(DE_25,x(t),t=t0..tk, [[x(t0)=0,D(x)(t0)=1]],method=classical[foreuler],linecolor=black,stepsize=0.05,title="Метод Эйлера\nb=0.6");

Фазовые портреты для значения b=0.6

> phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)

+w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk, [[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene =[x,y],title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\nb=0.6"); phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t) +w^2*x(t)=f(t)],[x(t),y(t)],t=t0..tk, [[x(t0)=0,y(t0)=1]],stepsize=0.05,linecolor=black,scene =[x,y],title="Метод Эйлера\nb=0.6",method=classical[foreuler]);

140