Методичка Maple, Стребуляев

1)m1 – масса передних колёс,

m2 – масса задних колёс и заднего моста,

m5 – масса подрессоренной части автомобиля, m7 – масса человека

2)I5 – момент инерции подрессоренной части автомобиля относительно оси, проходящей через точку (5) и перпендикулярной плоскости (xz)

3)c1.3 – коэффициент жесткости передних рессор, с2.4 – коэффициент жесткости задних рессор, с – коэффициент жесткости шин колёс,

с6.7 – коэффициент жесткости сиденья пассажира

4)h1.3 – коэффициент рассеивания энергии в передних амортизаторах, h2.4 – коэффициент рассеивания энергии в задних амортизаторах, h – коэффициент рассеивания энергии в шинах колёс,

h6.7 – коэффициент рассеивания энергии в сиденье пассажира

5)l = a + b (расстояние между передними и задними колёсами автомобиля)

a – расстояние от передних колёс до центра масс автомобиля b – расстояние от центра масс автомобиля до задних колёс

6)L – длина волны синусоидального профиля дороги

7)z1(t), z2(t) – величина профиля дороги в точках 9 и 8.

Вкачестве обобщённых координат взяты q1, q2, q3, q4, q5, характеризующие вертикальные колебания передних колёс, вертикальные колебания задних колёс и заднего моста, вертикальные, а так же угловые колебания кузова автомобиля и вертикальные колебания пассажира.

При движении автомобиля по синусоидальному профилю

дороги происходит взаимодействие между колёсами автомобиля и дорогой, которое необходимо учитывать при написании математической модели. Прежде всего, следует заметить, что задние колёса автомобиля набегают на профиль дороги величиной

z2(t) = z1(t–τ),

где z1(t) — величина профиля, на который набегают на передние колёса. При этом запаздывание τ = Vl . Отметим также, что

при движении автомобиля на его колёса действуют силы с частотой ω, которая определяется скоростью автомобиля и дли-

ной профиля дороги ω = 2 LV .

121

Теперь перейдём к построению математической модели. В основе построения лежат уравнения Лагранжа, которые имеют

вид

где L = T–П — функция Лагранжа,

Т и П — кинетическая и потенциальная энергии, B — диссипативная функция Релея,

~ — вектор внешних сил.

Fi

Запишем выражение кинетической энергии

Потенциальная энергия представляет собой работу упругих сил на относительном перемещении ∆ij, являющихся функциями обобщённых координат.

Диссипативная функция Релея по своей структуре напоминает выражение потенциальной энергии, записанной относительно скоростей

2.8 q2 z2 t ,

6.7 q5 q3 q4 x6 x5 .

Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода и запишем математическую модель, описывающую колебания автомобиля:

h1.3q1 h2.4q2 h1.3 h2.4 h6.7 q3 h1.3a h2.4b h6.7 x6 x5 q4 h6.7q5 0

122

В матричной форме записи математическая модель имеет вид:

123

(2.2.8)

Структура матрицы Н идентична структуре матрицы С. Также видно, что матрицы М, Н и С являются симметричны-

ми, причем, ~ имеет следующий вид:

F

Силы F1 и F2 , действующие на колёса автомобиля со сторо-

ны дороги, определяются деформациями шины, которые зависят от амплитуды колебания колёс и профиля дороги

F1 cz1 hz1; F2 cz2 hz2 , где z2 (t) z1 (t ), где Vl .

z1 (t) z0ei t , где 2LV .

Окончательное выражение для сил можно записать в следующем виде:

F1 cz0ei t hz0 ei ti

F2 cz0ei t hz0 ei t i (cz0 hz0 i)e i ei t

cz0 cos hz0 sin ei t cz0 sin hz0 cos i ei t

Построенная математическая модель позволяет выполнять различные расчёты, связанные со свободными и выну-

жденными колебаниями автомобиля. Для расчёта собственных частот и собственных форм колебаний необходимо использовать консервативную модель, положив в общих уравнениях матрицу диссипации и вектор внешних сил равными нулю. Для расчета переходных процессов следует в общем уравнении положить вектор внешних сил равным нулю и задать начальное смещение и начальные скорости рассматриваемой системы. Для расчёта вынужденных колебаний необходимо использовать общую математическую модель, считая вектор внешних сил периодической функцией.

Таким образом, построенная математическая модель является достаточно универсальным инструментом в решении

124

поставленной задачи об улучшения показателей динамического качества легкового автомобиля.

Разработанный алгоритм и комплекс программ предназначены для расчёта собственных и вынужденных колебаний легкового автомобиля.

В основу алгоритма и комплекса программ положена математическая модель, полученная в (2.2.1)–(2.2.8) и описывающая свободные и вынужденные колебания элементов расчётной схемы автомобиля и колебаний пассажира. В соответствии с расчётной схемой и математической моделью входными параметрами являются: инерционные параметры легкового автомобиля типа ГАЗ–3111 (массы передних колёс, заднего моста с колёсами, масса и момент инерции подрессоренной части автомобиля и масса пассажира); параметры жесткости и рассеивания энергии в эле-

ментах передней и задней подвесок. К входным параметрам можно так же отнести параметры сил, действующих на передние и задние колёса со стороны дороги (жесткость и рассеивание энергии в шинах, расстояние между осями передних и задних колёс, скорость автомобиля и длина волны профиля доро-

ги).

Комплекс программ для расчета показателей динамического качества легкового автомобиля

Расчет собственных частот и форм колебаний:

>restart;

>with(linalg):with(DEtools):

Задание входных параметров:

Массы элементов расчетной схемы автомобиля: [кг]

> m1:=86;m2:=178;m3:=1000;m4:=1863;m5:=60;

m1 := 86

m2 := 178

m3 := 1000

m4 := 1863

m5 := 60

Коэффициенты трения:[Hc/м]

> h13:=6000;h24:=8000;h:=1000;h67:=1000;

h13 := 6000

h24 := 8000

125

h := 1000 h67 := 1000

>

Коэффициенты жесткости в соединениях :[H/м]

> c13:=100000;c24:=44000;c:=360000;c67:=2200;

c13 := 100000

c24 := 44000 c := 360000 c67 := 2200

Координаты точек расчетной схемы автомобиля:[м]

> x6:=0.8;

x6 := 0.8

> x5:=-0.7;

x5 := -0.7

> a:=0.7; #расстояние от передних колес до центра

масс автомобиля;

a := 0.7

> b:=2.1; #расстояние от задних колес до центра

масс автомобиля;

b := 2.1

Матрица масс:

> M:=matrix([[m1,0,0,0,0],[0,m2,0,0,0],

[0,0,m3,0,0],[0,0,0,m4,0],[0,0,0,0,m5]]);

Матрица диссипации:

> H:=matrix([[h13+1000,0,-h13,h13*a,0],

[0,h24+1000,-h24,-h24*b,0],[-h13,- h24,h13+h24+h67,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),-h67], [h13*a,-h24*b,-h13*a+h24*b+h67*(x6- x5),h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2,-h67*(x6- x5)],[0,0,-h67,-h67*(x6-x5),h67]]);

Матрица жесткостей:

126

> C:=matrix([[c13+360000,0,-c13,c13*a,0],

[0,c24+360000,-c24,-c24*b,0],[-c13,- c24,c13+c24+c67,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),-c67], [c13*a,-c24*b,-c13*a+c24*b+c67*(x6- x5),c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2,-c67*(x6- x5)],[0,0,-c67,-c67*(x6-x5),c67]]);

Проверка матриц на положительную определенность:

> definite(M,'positive_def');

true

> definite(H,'positive_def');

true

> definite(C,'positive_def'); true

Расчет обратной матрицы:

> L:=evalm(1/M);

Перемножение матриц:

> G:=evalm(L&*C);

Нахождение собственных чисел:

> eigenvalues(G);

127

5376.819254, 2286.832268, 141.1366951, 94.72586691, 34.96597005

Нахождение собственных векторов:

> eigenvectors(G);

[94.72586679, 1,

{[0.3474593785, -0.0747053775, 1.013179884, -0.7954682319, 0.1136912617 ]}], [ 5376.819227, 1, {[ -9.822638784, -0.003243408105, 0.1874753992, -0.06986010208, -0.0005677351548

]}], [2286.832267, 1, {[0.001661345400, -0.9680544983, 0.02009088300,

0.02245146020, -0.0008761560019]}], [141.1366948, 1,

{[0.0815608910, 0.1966651746, 0.6973242312, 0.4743482341, -0.4944739520]}], [ 34.96597006, 1,

{[0.01503791937, 0.06231979225, 0.1923900934, 0.1766683680, 9.861290612]}]

Нахождение собственных частот:

>

sqrt(5365.628126);sqrt(2284.150981);sqrt(120.96

07681);sqrt(56.05716945);sqrt(34.58300993);

73.25044796

47.79279214

10.99821659

7.487133594

5.880732091

Перевод частоты в Герцах:

> f[5]:=evalf(73.25044796/

(2*Pi));f[4]:=evalf(47.79279214/

(2*Pi));f[3]:=evalf(10.99821659/

(2*Pi));f[2]:=evalf(7.487133594/

(2*Pi));f[1]:=evalf(5.880732091/(2*Pi));

f5 := 11.65817087 f4 := 7.606459111 f3 := 1.750420535 f2 := 1.191614321 f1 := 0.9359475812

Расчет вынужденных колебаний: Параметры, характеризующие дорогу:

> L:=20; #длина волны синусоидального профиля доро-

ги[м];

L := 20

> l:=2.8; #расстояние между передними и задними ко-

лесами автомобиля[м];

128

l := 2.8

> V:=17; #скорость движения автомобиля[м/с] ;

V := 17

> z0:=0.05; #высота неровности дороги[м];

z0 := 0.05

129

Коэффициент запаздывания:

> tau:=l/L;

:= 0.1400000000

Частота с которой силы действуют на колеса при движении автомобиля:

> omega:=(2*Pi*V)/L;

:= 17 10

Профиль на который набегают передние колеса:

>z[1](t):=z0*exp(I*omega*t);

17 I t

10

z (t ) := 0.05 e

1

Профиль, на который набегают задние колеса:

> z[2](t):=z[1](t-tau);

z2(t ) := z1(t 0.1400000000)

Сила действующая на переднее колесо со стороны дороги:[H]

> F1,F2::complex:

> F1:=c*z0+h*z0*omega*I*exp(I*omega*t);

> G1:=evalc(Re(F1));

G1 := 18000.00 0. I 85.00000000 sin 17 t

10

Сила действующая на заднее колесо со стороны дороги:[H]

> F2:=c*z0*exp(I*omega*(t-tau))

+h*z0*omega*I*exp(I*omega*(t-tau));

> G2:=evalc(Re(F2));

Математическая модель — система обыкновенных дифферен-

циальных уравнений десятого порядка :

> sys:=m1*diff(diff(q[1](t),t),t)+(c13+c)*q[1](t)- c13*q[3](t)+c13*a*q[4](t)+(h13+h)*diff(q[1] (t),t)-h13*diff(q[3](t),t)+h13*a*diff(q[4]

130