Методичка Maple, Стребуляев

где

Т1 и Т 2 — коэффициент усиления и малая постоянная времени, соответственно, тиристорного преобразователя;

T3 1 Rя , Ом^(–1) и T4 Lя Rя , Гн/Ом,

где Lя и Rя — индуктивность и сопротивление в цепи якоря двигателя,

Т 5 — суммарный момент инерции ротора с приведенной инерционной нагрузкой.

Отличия в структурных схемах рассматриваемых приводов состоят в видах передаточных функций регуляторов скорости ( W1 ( p) ) и тока (W2 ( p) ). В настоящем рассмотрении эти передаточные функции представлены отношением полиномов:

Такое задание W1 ( p) и W2 ( p) позволило с помощью предлагае-

мого программного обеспечения проводить расчеты на ЭВМ электроприводов, имеющих различные передаточные функции регуляторов скорости и тока. Методы, применяемые к решению задачи расчёта характеристик динамического качества электроприводов, вытекают из конкретной постановки задачи и общепринятых подходов теории автоматического регулирования. Анализ структурной схемы (рис. 1) показывает, что главная

U я Се W4 ( p)Cm W5 ( p) ,(2.1.8)

где — скорость вращения ротора двигателя.

111

Поскольку Wi ( p) являются отношениями полиномов от p, то главная передаточная функция F ( p) , согласно (2.1.1)–(2.1.8),

также будет представлять собой отношение полиномов вида:

Приведенные выше аналитические зависимости (1)–(9) положены в основу алгоритма и программы для расчета границ областей устойчивости системы электропривода.

Алгоритм программы можно разбить на три основных этапа, которые состоят в следующем:

1.Задание передаточных функций отдельных звеньев ЭП и коэффициентов усиления в цепях обратной связи.

2.Получение главной передаточной функции.

3.Анализ корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (Re, Im).

4.Расчет кривой переходного процесса.

5.Расчет границ областей устойчивости ЭП в плоскостях заданных параметров.

На первом этапе, в процессы реализации этого алгоритма в виде программного обеспечения были заданы передаточные функции Wi ( p) и усилительные элементы системы электропри-

вода в общем виде. Далее проводилось задание входных параметров.

Входными данными разработанного программного обеспечения являются следующие:

1)коэффициенты полиномов передаточных функций W1 ( p) и W2 ( p) (14, 15):

[ a1 ]=б/р, [ a2 ]=c, [ a3 ]=c 2 , [ a4 ]=c 3 , [ b1 ]=б/р, [ b2 ]=с, [ b3 ]=с 2 , [ b4 ]=с 3 , [ b5 ]=с 4 , [ с1 ]=б/р, [ с2 ]=с, [ с3 ]=с 2 , [ с4 ]=с

3, [ d1 ]=б/р, [ d2 ]=с, [ d3 ]=с 2 , [ d 4 ]=с 3 , [ d5 ]=с 4 ;

2)коэффициенты в передаточных функциях Wi ( p) (i=3,4,5) (11, 12, 13):

[T1 ]=б/р, [T2 ]=c, [T3 ]=1/Ом, [T4 ]=Вс/А, [T5 ]=кг*м 2 ;

3)коэффициенты усиления в цепях обратной связи:

[ K1 ]=В/с, [ K 2 ]=Вс/рад, [Сm ]=Нм/А, [ Сe ]=Нм/А.

Программное обеспечение, реализующее описанный выше алгоритм, имеет вид:

Расчет показателей динамического качества электропривода ЭТ-6С

112

>restart: with(linalg):with(plots):with(PolynomialTools):

># Задание входных параметров;

># Передаточная функция регулятора скорости;

>w[1]:=p->(a[1]+a[2]*p+a[3]*p^2+a[4]*p^3)/ (b[1]+b[2]*p+b[3]*p^2+b[4]*p^3+b[5]*p^4);

w:= p a1 a2 p a3 p2 a4 p3

1 b1 b2 p b3 p2 b4 p3 b5 p4

># Передаточная функция регулятора тока;

>w[2]:=p->(c[1]+c[2]*p+c[3]*p^2+c[4]*p^3)/ (s[1]+s[2]*p+s[3]*p^2+s[4]*p^3+s[5]*p^4);

> # Передаточная функция тиристорного преобразова-

теля;

> w[3]:=p->T[1]/(1+T[2]*p);

> # Передаточная функция цепи якоря двигателя; > w[4]:=p->T[3]/(1+T[4]*p);

> # Передаточная функция электродвигателя; > w[5]:=p->1/(T[5]*p);

w5 := p T1p

5

># Задание параметров функции регулятора скорости;

>a[1]:=0.47: a[2]:=0.00564: a[3]:=0: a[4]:=0:

>b[1]:=0: b[2]:=0.012: b[3]:=0: b[4]:=0: b[5]:=0:

>

> # Задание параметров функции регулятора тока; > c[1]:=7.3: c[2]:=0.121: c[3]:=0: c[4]:=0:

> s[1]:=0.12: s[2]:=0.019228: s[3]:=0.000012342: s[4]:=0: s[5]:=0:

>

113

># Задание параметров функции тиристорного преобразователя;

>T[1]:=20.0: T[2]:=0.00167:

>

> # Задание параметров функции цепи якоря двигате-

ля;

> T[3]:=2.857: T[4]:=0.016:

>

> # Задание параметров функции электродвигателя; > T[5]:=0.057: T[4]:=0.016:

>

> # Задание коэффициентов в цепях обратной связи; > c[m]:=1.125: c[e]:=1.125: k[1]:=0.005:

k[2]:=0.05:

>

> w[1](p);

83.33333333 (0.47 0.00564 p ) p

> w[2](p);

7.3 0.121 p

0.12 0.019228 p 0.000012342 p2

> w[3](p);

20.0

1 0.00167 p

> w[4](p);

2.857

1 0.016 p

> w[5](p);

17.54385965 p

> # Вычисление корней характеристического уравне-

ния; > # Вычисление главной передаточной функции;

> #w0:=(cm*w1*w2*w3*w4*w5)/

(1+ce*cm*w4*w5+k1*w2*w3*w4+k2*cm*w1*w2*w3*w4*w5 ); #w0:=simplify(w0);

> W := p -> ( c[m]*product(w[i](p), i = 1..5) )/

( k[2]*c[m]*product(w[i](p), i = 1..5) + 1 + k[1]*product(w[i](p), i = 2..4) + c[e]*c[m]*w[4](p)*w[5](p)): W(p):=simplify(W(p));

114

W(p) := 0.88341447391021 (250. 3. p) (7300. 121. p) (0.80611570741026

0.23415652471025 p 0.33224388441023 p2 0.29369017701021 p30.17830733111019 p4 0.36592765001016 p5 0.16488912001013 p6 )

># Вычисление знаменателя и числителя главной передаточной функции;

>den:=collect(denom(W(p)),p):

>num:=collect(numer(W(p)),p):

>den:=den; num:=num; st:=degree(den,p): r:=solve(den,p):

den := 0.80611570741026 0.23415652471025 p 0.33224388441023 p2

0.29369017701021 p3 0.17830733111019 p4 0.36592765001016 p50.16488912001013 p6

num := 0.1612231415 1028 0.3206794540 1024 p2 0.4607006481 1026 p

> delta:=Re(r[1]): for i from 2 to st do if

(Re(r[i]) > delta) then delta:=Re(r[i]) end if end do: delta:=delta: n:=0: ni:=0: for i from 1 to st do if Im(r[i]) = 0 then n:=n+1: z[n]:=r[i] else ni:=ni+1: zi[ni]:=r[i] end if: end do:

> # Графическое отображение корней характеристиче-

ского уравнения на комплексной плоскости (Re p,Im p);

PLOT(POINTS([Re(r[1]),Im(r[1])],

[Re(r[2]),Im(r[2])],[Re(r[3]),Im(r[3])],

[Re(r[4]),Im(r[4])],[Re(r[5]),Im(r[5])],

[Re(r[6]),Im(r[6])],SYMBOL(CIRCLE,30),

COLOR(RGB,0,0.6,0)),POINTS([0,0],SYMBOL(CROSS,5

)),COLOR(RGB,1,1,1));

115

># РАСЧЕТ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА # Выделение коэффиентов главной передаточной функции и формирование системы шести диференциальных уравнений;

>pa0:=coeff(den,p,6): pa1:=coeff(den,p,5): pa2:=coeff(den,p,4): pa3:=coeff(den,p,3): pa4:=coeff(den,p,2): pa5:=coeff(den,p,1): pa6:=coeff(den,p,0): pb0:=coeff(num,p,2): pb1:=coeff(num,p,1): pb2:=coeff(num,p,0):

>sys:=diff(x1(t),t) = x2(t), diff(x2(t),t) = x3(t), diff(x3(t),t) = x4(t), diff(x4(t),t) = x5(t), diff(x5(t),t) = x6(t), diff(x6(t),t)=- pa1/pa0*x6(t)-pa2/pa0*x5(t)-pa3/pa0*x4(t)- pa4/pa0*x3(t)-pa5/pa0*x2(t)-pa6/ pa0*x1(t) +pb2/pa0;

sys := ddt x1(t ) x2(t ), ddt x2(t ) x3(t ), ddt x3(t ) x4(t ), ddt x4(t ) x5(t ),

ddt x5(t ) x6(t ), ddt x6(t ) 2219.234659 x6(t ) 0.1081377177 107 x5(t )

0.1781137391 109 x4(t ) 0.2014953348 1011 x3(t ) 0.1420084750 1013 x2(t )

0.48888350391014 x1(t ) 0.97776700791015

> # Задание параметров для интегрирования системы

дифференциальных уравнений по схеме Рунге-Кут- та;

> d:=0: hint:=0.001: tint:=0.3: time0:=0:

hk:=round((tint-time0)/hint):

116

functions:={x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),x5(t),x6(t)}: reshfr:=Array(0..hk,1..7):

d:=time0: reshfr[0,1]:=time0: reshfr[0,2]:=0: reshfr[0,3]:=0: reshfr[0,4]:=0: reshfr[0,5]:=0: reshfr[0,6]:=pb0/pa0: reshfr[0,7]:=pb1/pa0- (pa1*pb0)/(pa0*pa0):

> # Формирование цикла для вычисления кривой пере-

ходного процесса;

> for shag from 1 to hk by 1 do

nu:= x1(d)=reshfr[shag-1,2], x2(d)=reshfr[shag- 1,3], x3(d)=reshfr[shag-1,4], x4(d)=reshfr[shag-1,5], x5(d)=reshfr[shag-1,6], x6(d)=reshfr[shag-1,7]; d:=d+hint:

F:=dsolve({sys,nu}, {x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),x5(t),x6(t)},type=numeric); v:=subs(t=d,F(d)):

reshfr[shag,1]:=d:

reshfr[shag,2]:=(evalf(rhs(v[2]))):

reshfr[shag,3]:=(evalf(rhs(v[3]))):

reshfr[shag,4]:=(evalf(rhs(v[4]))):

reshfr[shag,5]:=(evalf(rhs(v[5]))):

reshfr[shag,6]:=(evalf(rhs(v[6]))): reshfr[shag,7]:=(evalf(rhs(v[7]))): end do: tim:=Array(1..hk):

Ix:=Array(1..hk):

for i from 1 to hk by 1 do tim[i]:=reshfr[i,1]: Ix[i]:=reshfr[i,2]:end do:

># Графическое отображение кривой переходного процесса;

>coordXT:=zip((x,y)->[x,y],tim,Ix,2): pointplot(coordXT,labels=[t,x1],color=red,connect=

true,thickness=3)

117

С помощью разработанного программного обеспечения был проведен многофакторный вычислительный эксперимент по расчету собственных колебаний с целью анализа кривой переходного процесса и определения границ областей устойчивости в плоскости конструктивных параметров электропривода ЭТ6-

С.

На первом этапе проводился вычислительный эксперимент по определению чувствительных параметров системы электропривода. Рассматривалось влияние отдельных параметров на изменение степени устойчивости . При этом удалось выявить

чувствительные параметры конструкции: коэффициенты усиления в цепях обратной связи и некоторые конструктивные параметры.

На втором этапе проводился вычислительный эксперимент по определению границ устойчивости в плоскости чувствительных параметров. Анализ устойчивости проводился по расположению корней характеристического уравнения Q6 ( p) 0 на

комплексной плоскости. Результаты расчета границ области устойчивости в плоскости параметров ( K1 , K 2 ) приведены на

рис. 2.

118

деления динамических характеристик собственных колебаний систем ЭП, приведены области устойчивости в плоскостях различных параметров на примере электропривода ЭТ6-С. В процессе исследования устойчивости был использован корневой метод, который в сочетании с программным обеспечением Maple позволил достичь необходимого результата. Разработанное программное обеспечение и результаты исследований могут быть использованы для определения областей устойчивости разного класса электроприводов, а также других динамических систем, имеющих структуру аналогичную исследуемой. Результаты исследований и программное обеспечение могут быть использованы при проектировании перспективных систем ЭП и для обучения студентов, специализирующихся в области прикладной математики.

2.2.Расчет собственных и вынужденных колебаний легкового автомобиля

В настоящем разделе рассматривается математическая модель легкового автомобиля, полученная профессором кафедры при-

119

кладной математики Городецким Ю.И. и приведенная в его учебном пособии [8].

Рассмотрим, согласно [8], некоторые методические соображения по поводу математической модели, описывающей колебания легкового автомобиля. При построении математической модели предположим:

1)автомобиль совершает плоские колебания в плоскости xz.

2)профиль дороги имеет синусоидальный характер.

3)автомобиль движется равномерно со скоростью V(км/ч).

4)в автомобиле выделяется четыре колебательных элемента:

На рисунке обозначено:

120