- •7. Условие Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисления производной.
- •8. Понятие аналитической функции. Свойства аналитических функций.
- •12. Конформное отображение, осуществляемое показательной функцией. Пример: отображение бесконечной вертикальной полосы на верхнюю полуплоскость.
- •9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.
- •10. Определение конформного отображения. Основная задача теории конформных отображений. Функции, осуществляющие конформные отображения.
- •11. Конформные отображения, осуществляемые линейной и степенной функциями. Поверхность Римана.
- •13. Основные принципы конформного отображения.
- •14. Теорема Римана. Невозможность конформного отображение многосвзязной области на односвязную. Условие единственности отображения.
- •15. Основные свойства конформного отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией.
- •16. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг с помощью дробно-линейной функции.
- •17. Определение интеграла от функции комплексного переменного, его вычисление.
- •18. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •22. Введение неопределенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19. Теорема Коши для односвязной области.
- •20. Обобщение теоремы Коши на случай многосвязной области.
- •21. Теорема о первообразной аналитической функции в односвязной области.
- •24. Принцип максимума модуля аналитической функции.
- •25) Аналитическая зависимость интеграла от параметра.
- •26)Теорема о существовании производных всех порядков у аналитич. Ф-ии
- •28) Теорема Лиувилля.
- •29)Основная теорема высшей алгебры
- •30) Опред . Равномерной сходимости
- •31)Первая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.
- •37. Нули аналитической функции. Целая функция. Единственность определения аналитической функции.
- •38. Определение аналитического продолжения. Аналитическое продолжение в комплексную плоскость элементарных функций действительного переменного и соотношений между ними.
- •39. Аналитическое продолжение с помощью степенных рядов, через границу, на поверхность Римана. Полная аналитическая функция.
- •42. Теорема о поведении функции в окрестности полюса.
- •43. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса
- •44. Разложение функции в ряд Лорана в окрестностях бесконечно удаленной точки
- •45. Определение вычета в конечной точке комплексной плоскости и в бесконечно удаленной. Вычисление вычетов.
- •46. Основная теорема теории вычетов
- •47 Теорема о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости
- •48 Обобщение формулы Коши на случай неограниченной области
- •49. Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции, с помощью вычетов.
- •51. Лемма Жордана. Вычисление главных значений несобственных интегралов вида с помощью вычетов.
- •53. Логарифмический вычет. Вычисление вычетов логарифмической производной функции.
- •52. Вычисление главных значений несобственных интегралов смешанного типа.
- •54. Теорема о числе нулей и полюсов. Её геометрический смысл.
42. Теорема о поведении функции в окрестности полюса.
Теорема: Для того чтобы точка была полюсом ф-и f(z), необходимо и достаточно, чтобы разложение ф-и в ряд Лорана в окрестности этой точки содержало лишь конечное число членов с отрицательными степенями ():
, ,.
В этом случае точка называетсяполюсом k ф-и f(z). В случае k=1 полюс называется простым.
Теорема о полюсе: Если ф-я f(z), аналитическая в окрестности изолированной особой т. , неограниченно возрастает по модулю при, то эта т. полюс.
Д-во: .
Тогда в окр-ти.
=>
Для ф-и т.–УОТ.
-т.к. предел =0, ,.
.
Если т.явл-ся нулем кратностиm для ф-и , то для ф-ит.- полюсm-го порядка.
43. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса
Какого бы ни было , в любой окрестности существенно осбой точки функцииf(z) найдется хотя бы одна точка , в которой значение функции отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на .
Доказательство:
Предположим, что теорема неверна, т.е. при заданном комплексном числе B и заданном
найдется такое , что во всех точкахz из -окрестности точкизначение функции отличается от заданного В больше чем на:
|<,(1)
Рассмотрим вспомогательную функцию . В силу условия (1) функцияопределена и ограничена в-окрестности точки. Следовательно, по теореме о том что если точкаявляется устранимой особой точкой функцииf(z), то существует предельное значение =, точкаявляется устранимой особой точкой функции. Это означает, что разложение функции в окрестности точки будет иметь вид:
Тогда в силу определений функции , в данной окрестности точкиимеет место следующее разложение функцииf(z):
Где аналитическай функция ограничена в -окрестности точки . Но такое разложение означает, что точка является полюсом или правильной точкой функции , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.
_____________________________________________________________
44. Разложение функции в ряд Лорана в окрестностях бесконечно удаленной точки
Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f(z) , если можно указать такое значение R, что вне круга |z|>R функция f(z) не имеет особых точке, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0. Так как f(z) является аналитической функцией в круговом кольце R<|z|<, то ее можно разложить в ряд Лорана: ,R<|z|< (1) сходящийся k f(z) в данном кольце. Так же как и для конечной изолированной особой точки здесь возможны 3 случая:
1)Точка z=∞ называется устранимой особой точкой функции f(z), если разложение (1) не содержит членов с положительными степенями z, т.е. ,если присуществует конечное предельное значение функцииf(z), не зависящее от способа предельного перехода. Если =…=, то бесконечно удаленная точка является нулемm-ого порядка функции f(z).
2) Точка z=∞ называется полюсом порядка m функции f(z), если разложение (1) содержит конечное m число членов с положительными степенями z, т.е. ,и если эта функция неограниченно возрастает по модулю принезависимо от способа предельного перехода
3) Точка z=∞ называется существенно особой точкой функции f(z) , если разлодение содержит бесконечное число членов с положительными степенями z, т.е. , или если в зависимтости от выбора последовательностиможно получить последовательность значений, сходящуюся к любому заданному пределу.
Очевидно доказательство эквивалентности всех приведенных выще определений характера изолированной особой точки z=∞ может быть приведено как и для случая конечной изолированной особой точки.
______________________________________________________________