54. Теорема о числе нулей и полюсов. Её геометрический смысл.

Теорема: Пусть функция f(z)—аналитична в замкнутой области Ḡ=G U Г, за исключением конечного числа полюсов внутри области G. Тогда разность между полным количеством нулей и полюсов равна: N-P=(1/2πi), где N=—полное число нулей.P=—полное число полюсов.

Доказательство: Для доказательства заметим, что интеграл по Г от функции может быть вычислен с помощью основной теоремы теории вычетов, причем так как все особые точки функции— это нули и полюсы функцииf(z), а вычеты в этих точках определяются формулами (1) и (2), то , что и доказывает теорему.

Отметим простой геометрический

смысл доказанной теоремы, для чего преобразуем интеграл

Действительная функция является однозначной функцией, поэтому её вариация при обходе точкойзамкнутого контура Г равна нулю. Следовательно, первое слагаемое в правой части равно нулю. Второе слагаемое представляет собой полную вариацию аргумента функциипри обходе точкойзамкнутого контура Г, деленную на 2π. Итак,N-P=(1/2π)Var[arg f(z)]_Г+.

Будем изображать значения функции точками на комплексной плоскости. Так как функцияf(z) непрерывна на контуре Г, то при полном обходе точкой z контура Г на плоскости z соответствующая ей точка на плоскости описывает некоторый замкнутый контурC. При этом точка может оказаться как вне, так и внутри области, ограниченной контуромC. В первом случае вариация аргумента при полном обходеC, очевидно, равна нулю. Во втором случае вариация аргумента определяется числом полных обходов вокруг точки, которые совершает точкапри своем движении по контуруC. При этом точка может обходить точкукак против часовой стрелки, так и по часовой стрелке. Итак, разность между полным числом нулей и полюсов функцииf(z) в области G определяется числом оборотов, которые совершает точка вокруг точкипри положительном обходе точкойz контура Г. Эти соображения часто оказываются существенными при подсчете полного числа нулей аналитической функции в заданной области. При этом во многих случаях соответствующие вычисления можно значительно облегчить благодаря теореме Руше.