- •7. Условие Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисления производной.
- •8. Понятие аналитической функции. Свойства аналитических функций.
- •12. Конформное отображение, осуществляемое показательной функцией. Пример: отображение бесконечной вертикальной полосы на верхнюю полуплоскость.
- •9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.
- •10. Определение конформного отображения. Основная задача теории конформных отображений. Функции, осуществляющие конформные отображения.
- •11. Конформные отображения, осуществляемые линейной и степенной функциями. Поверхность Римана.
- •13. Основные принципы конформного отображения.
- •14. Теорема Римана. Невозможность конформного отображение многосвзязной области на односвязную. Условие единственности отображения.
- •15. Основные свойства конформного отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией.
- •16. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг с помощью дробно-линейной функции.
- •17. Определение интеграла от функции комплексного переменного, его вычисление.
- •18. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- •22. Введение неопределенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19. Теорема Коши для односвязной области.
- •20. Обобщение теоремы Коши на случай многосвязной области.
- •21. Теорема о первообразной аналитической функции в односвязной области.
- •24. Принцип максимума модуля аналитической функции.
- •25) Аналитическая зависимость интеграла от параметра.
- •26)Теорема о существовании производных всех порядков у аналитич. Ф-ии
- •28) Теорема Лиувилля.
- •29)Основная теорема высшей алгебры
- •30) Опред . Равномерной сходимости
- •31)Первая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.
- •37. Нули аналитической функции. Целая функция. Единственность определения аналитической функции.
- •38. Определение аналитического продолжения. Аналитическое продолжение в комплексную плоскость элементарных функций действительного переменного и соотношений между ними.
- •39. Аналитическое продолжение с помощью степенных рядов, через границу, на поверхность Римана. Полная аналитическая функция.
- •42. Теорема о поведении функции в окрестности полюса.
- •43. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса
- •44. Разложение функции в ряд Лорана в окрестностях бесконечно удаленной точки
- •45. Определение вычета в конечной точке комплексной плоскости и в бесконечно удаленной. Вычисление вычетов.
- •46. Основная теорема теории вычетов
- •47 Теорема о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости
- •48 Обобщение формулы Коши на случай неограниченной области
- •49. Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции, с помощью вычетов.
- •51. Лемма Жордана. Вычисление главных значений несобственных интегралов вида с помощью вычетов.
- •53. Логарифмический вычет. Вычисление вычетов логарифмической производной функции.
- •52. Вычисление главных значений несобственных интегралов смешанного типа.
- •54. Теорема о числе нулей и полюсов. Её геометрический смысл.
26)Теорема о существовании производных всех порядков у аналитич. Ф-ии
Теор:Пусть ф-ия f(z) явл. Аналит. В обл-ти G и непрерывной в обл-ти Ḡ=G. Тогда во всех точках обл-ти G существуют производные любого порядка ф-ии f(z).dз-обобщенная ф-ла Коши. Рассмотрим точки не очень близкие к границе (D. Для .
dз-ф-а Коши.
А) fi(z,з)=-аналитическая в обл-тиD.
B)- непрерывность.
Из доказанной теоремы dз=dз
Аналогично рассуждая приходим к выводу, что
f’’(z)=dз
dз
Теорема доказана для любой внутренней точки z.
_______________________________________________________________________
28) Теорема Лиувилля.
Теор Пусть в расширенной комплексной области Ĉ задана аналит-я ф-я f(z) c ограниченным модулем:
Тогда f(z) может быть только константой.
Док-во:
Воспользуемся ф-лой f’(z)=dз=dз
Для ::
0=
0для любой окрестности .
R=>=0 =>=0 =>= const
______________________________________________________________________
29)Основная теорема высшей алгебры
Всякий многочлен P(z)=++…+(где
Док-во(от противного):
Пусть P(z) не имеет ни одного нуля , т.е. нигде не обращается в нуль на всей комплексной области
Ĉ : P(z)0
f(z)=1/P(z)- ф-ия , аналитическая во всей Ĉ 0
дляR
По теор. О принципе нах. Модуля:<R : Отсюда следует, что на все пл-ти для :Ĉ :
=> f(z)=C! //(c=const)
Получено противоречие f(z)=1/R(z) и f(z)=C!
______________________________________________________________________
30) Опред . Равномерной сходимости
Функц . ряд наз. Равномерно сходящимся в областиG,если
одновременно для всех z из
Достаточный признак Вейерштрасса : если для всех zчлены функционального ряда мажорируются членами сходящегося числ-го ряда, то функциональный ряд сходится равномерно в G.
Док-во: Имеем функц. ряди числ. ряд- сходящийся.
:
Расмотрим
Критерий Коши:
Функ. Ряд сход. Равномерно согда,
:
Одновременно для всех z из G.
Док-во как в обл-ти действит ф-ий.
_____________________________________________________________________
31)Первая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.
Пусть члены функционального ряда –аналитические функции в области G , а сам ряд равномерно сходится втогда имеют место следующие предположения :
сумма ряда f(z) является аналитической в области G
функциональный ряд можно по членно дифференцировать в области G
ряд составленный из производных равномерно сходится в области
Док-во: 1)
Выберем произвольную точку (рис1)
Выберем односвязную область содержащая точку.В областивыберем контур Г
внутри контура.
По свойству (1) f(z)- непрерывная в области D.По свойству (2) следовательно по теореме Морераf(z)-аналитическая в D.
Док-во: 2)
рассмотрим исходный функциональный ряд ..На контуре С ряд равномерно сходится, а значит по свойству (2) :
По теореме Коши =>
Док-во: 3)
.Рассмотрим остаток функционального рядя =>.
Обобщенная формула Коши
из равномерной сходимости :
______________________________________________________________
32)Свойства равномерной сходимости рядов. Вторая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.
Свойство 1:
Если функции непрерывны а сам функциональный рядравномерно сходится в областиG к функции f(z) , то сумма эта непрерывна в области G.
Свойство 2:
Если функциональный ряд непрерывных функций сходится равномерно , тогда справедлива след. формула :
Вторая теорема Вейерштрасса :
Пусть - аналитична в областиG, непрерывна в области и рядсходится на границе Г , тогда- равномерно сходится в области.
Док-во:
рассмотрим часть функционального ряда ,
ПО критерию Коши – сходится равномерно.
_____________________________________________________________
33) Теорема Абеля об области абсолютной равномерной сходимости степенного ряда .
Если степенной ряд , сходится в точке, но он сходится абсолютно в области
Док-во:
Выберем z из условия следовательно естьиз сходимости
по необходимому признаку
, тогда справедлива оценка сх-ся =>сходится.
По достаточному признаку Вейерштрасса
- сходится т.к геометрическая прогрессия .
______________________________________________________________
34)Следствия из теоремы Абеля .Круг и радиус сходимости степенного ряда.
Следствие1:
Если степенной ряд расходится в точке, то он расходится в области
Док-во: “от противного”: Допустим в области в котором ряд сходится , тогда в кругеряд сходится абсолютно.
Следствие 2:
Для всякого степенного ряда , что внутри круга сходимости
ряд сходится абсолютно , а – расходится . на границетребуется проверка ,может сходится или расходиться.
Следствие 3:
Внутри круга сходимости ряд сходится к аналитической функции .(Вытекает из первой теоремы Вейерштрасса )
Следствие 4:
Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать ,n кол раз , причем радиус сходимости ряда не изменится.
Следствие 5:
Коэффициенты степенного ряда вычисляются по формуле: ,
______________________________________________________________
35)Формула Коши–Адамара для радиуса сходимости степенного ряда .
Радиус сходимости R степенного ряда находится по формуле :R=
Док-во:
0<r<сначала возьмем точку внутри круга и докажем что в ней сходится , затем возьмем точку вне круга и докажем , что расходится.
1)
=> выполнимы след условия
Выберем в качестве ,
означает , что числовой ряд мажорируется сходящимся рядом=> Вывод : ряд сходится абсолютно .(доказано что ряд сходится внутри круга)
2)Доказательство расходимости:
Для
Выберем ,вытекает нарушение признака сходимости числового ряда.
Вывод : ряд расходится
3)частный случай r=0 =>R==>Ряд сходится везде.
единственная предельная точка =>=0,
Выберем
=>ряд абсолютно сходится на все й комплексной плоскости ю
r=
Для существуетчисло элементов.Выберем
не выполняется необходимый признак сходимости =Ю ряд сходится в R=0.
______________________________________________________________
36) Теорема Тейлора.
Функция f(z) – аналитична внутри круга может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, который определяется однозначно.
Док-во:
–внутри круга затем берем так чтоz внутри круга
;
тогда
по обобщенной формуле Коши
-Ряд Тейлора.
______________________________________________________________