Начальные условия:
> c:=q[1](0)=0,q[2](0)=0,q[3](0)=0,q[4](0)=0,q[5](0)=0,D(q[1])(0)=1,D(q[2])(0)=1,D(q[3])(0)=1,D(q[4])(0)=1,D(q[5])(0)=1;
Список функций – обобщенных координат:
> fcns:={q[1](t),q[2](t),q[3](t),q[4](t),q[5](t)};
Решение системы уравнений:
F:=dsolve({sys,c},fcns,numeric);
> F(2);
>
Построение графиков решений:
> plots[odeplot](F,[t,q[1](t)],0..25,color=blue);
> plots[odeplot](F,[t,q[2](t)],0..25,color=orange);
> plots[odeplot](F,[t,q[3](t)],0..25,color=gold);
> plots[odeplot](F,[t,q[4](t)],0..25,color=green);
> plots[odeplot](F,[t,q[5](t)],0..10,color=violet);
2.3. Изучение фазового портрета математического маятника.
Исследование явления резонанса.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения:
(2.3.1)
(2.3.2)
Здесь р,q—постоянные, f(t) —специальная правая часть вида f(t) =е α t (Pn(t)cosbt+ Qm(t)sin bt), Pn(t), Qm(t) — полиномы степени nиm,соответственно.
Аналитическое решение уравнения (2.3.1) имеет структуру
хn = хо + хч,
где х0 =с1х1+с2х2—общее решение однородного уравнения ( f(t) =0);
с1; с2 — произвольные постоянные,
х1, х2—фундаментальная система решений однородного уравнения,
хч= е α t (RN(t) cos bt +SN(t) sin bt) tr —частное решение уравнения (2.3.1). 3десь N = max(m, n), RN(t). SN(t) — полиномы с неопределенными коэффициентами; если а+ib не является корнем характеристического уравнения (l2 + рl+ q=0); то r= 0;если а+ibявляется корнем уравнения, то r равно кратности этого корня. В последнем случае получаем резонанс: частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой. Постоянные с1, с2 находятся из условий (3.3.2)
Задание:
1. Для уравнения описывающего малые колебания математического маятника решить аналитически начальную задачу для резонансного и нерезонансного случаев
(2.3.3)
(2.3.4)
Конкретные значения параметров системы указаны в вариантах контрольных заданий.
1. Свести задачу (2.3.3)–(2.3.4) к задаче Коши для системы ДУ.
2. C помощью компьютера решить численно задачy Коши методом Рунге-Кутты 4-го порядка для резонансного и нерезонансного случаев (для нескольких значений b),построить интегральные кривые на одном графике (на плоскости (t,х) ). Выделить случай резонанса. Сравнить численныерешения c аналитическими.
3.
Построить фазовыe траектории (на плоскости
(
)
)для резонансного
и нерезонансного случаев.
4. Повторить численные расчеты методом Эйлера. Сравнить и объяснить полученные результаты.
> with(linalg):with(DEtools):with(plots):
> k:=1.8;b1:=0.4;b2:=0.7;t0:=0;tk:=50;w:=0.5;
Резонансный случай (b=w)
> b:=w;
> f(t):=k*cos(b*t);
> DE:=(diff(x(t),t$2)+w^2*x(t)=f(t));
Решение дифференциального уравнения в случае резонансных
колебаний (b=w=2)
> resonance_solution:=dsolve({DE,x(t0)=0,D(x)(t0)=1},[linear])
График колебаний
>DEplot(DE, x(t), t=t0..tk, [[x(t0)=0, D(x)(t0)=1]], linecolor=black, stepsize=0.05, title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\n b=w=0.5");
>DEplot(DE, x(t), t=t0..tk, [[x(t0)=0, D(x)(t0)=1]], linecolor=black, stepsize=0.05, title="Метод Эйлера\n b=w=0.5", method=classical[foreuler]);
Фазовый портрет
>phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0,diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)], [x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]], stepsize=0.05, linecolor=black, scene=[x,y], title="Метод Рунге-Кутта 4 порядка\n b=w=0.5");
>phaseportrait([y(t)-diff(x(t),t)=0, diff(y(t),t)+w^2*x(t)=f(t)], [x(t),y(t)],t=t0..tk,[[x(t0)=0,y(t0)=1]], stepsize=0.05, linecolor=black, scene=[x,y], title="Метод Эйлера\n b=w=0.5", method=classical[foreuler]);
