1.11. Преобразование комплексных чисел, аналитических выражений и функций комплексного переменного

Операции с комплексными числами:

> restart: with(linalg): with(plots):

> z::complex:# Объявлдение z - комплексным числом;

> z:=3+4*I;

> Im(z);# Мнимая часть комплексного числа;

> Re(z);# Вещественная часть комплексного числа;

> abs(z);#Модуль комплексного числа;

> argument(z); # Аргумент комплексного числа;

> evalf(%);

> conjugate(z);# Сопряженное комплексному числу;

> AA:=polar(z);# Тригонометрическая форма комплексного числа;

> exp(z);# Экспонента комплексного числа;

> A:=evalf(evalc(exp(z)));

> Re(A);

> Im(A);

Функции комплексного переменного:

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> w,p::complex:

> w:=(p)->(1+p^4)/(1+2*p+p^3);

> p:=I*omega;

> complexplot(w(p),omega=0..10,thickness=2);

> # Построение в (Re w, Im w) годографа:

> restart: with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> w:=(1+0.1*p)/(1+0.01*p^2+p^3);p:=I*omega:

> complexplot(w,omega=0..100,color=black,thickness=2);

> restart:

> p:=I*omega;

> w:=(1+0.1*p+p^2)/(1+0.01*p^2+p^3);

• plot([Re(w),Im(w),omega=0..100],thickness=2);

> restart: with(plots):

> u,v,w,p::complex:

> p:=I*omega;

> u:=(4+0.1*p)/(1+0.01*p^2);

> v:=(3+p)/(1+0.01*p^5);

> w:=(1+0.1*p)/(1+0.01*p^4);

> complexplot([u,v,w],omega=0..5,color=[RED,GREEN,GOLD],style=[line,point,line], thickness=3);

Преобразование комплексных выражений:

> restart:

> p:=I*omega;

> w:=(a[1]+a[2]*p+a[3]*exp(p*tau)*p^2+a[4]*p^5)/(b[1]+b[2]*p^2+b[3]*p^3);

> simplify(evalf(evalc(w)));

> simplify(evalf(evalc(conjugate(w))));# Сопряженное от w;

>

> evalf(evalc(Re(w)));

> evalf(evalc(Im(w)));

>

Работа с комплексными функциями

>

> # Найти образ единичной окружности комплексной плоскости z(t)=exp(I*t) c помощью преобразования w(t)=(z(t)-0.5*z(Pi/4))/(1-0.5*z(-Pi/4)*z(t));

> restart;

> z(t),w(t)::complex;

> z:=(t)->exp(I*t);

plot([

>evalc(Re(z(t))),evalc(Im(z(t))),t=0..2*Pi],thickness=2);

> w:=(t)->(z(t)-0.5*z(Pi/4))/(1-0.5*z(-Pi/4)*z(t));

> w(t):=simplify(evalc(w(t)));

> wRe(t):=simplify(evalc(Re(w(t))));

> wIm(t):=simplify(evalc(Im(w(t))));

• plot([wRe(t),wIm(t),t=0..2*Pi],thickness=2);

Таким образом, в настоящем разделе приведены пакеты функций системы аналитических вычислений Maple, способы задания функциональных зависимостей и способы построения их графиков, примеры вычисления пределов, производных и интегралов, операции с рядами, решение уравнений, неравенств и их систем, анализ функций, решения дифференциальных уравнений и их систем, операции с векторами и матрицами, преобразование комплексных чисел, выражений и функций комплексного переменного. В каждом случае приведены простейшие примеры, иллюстрирующие использования функций системыMaple. Приведенный в этом разделе набор функций. Этого набора функций достаточно для моделирования на ЭВМ конкретных динамических систем, рассматривавшихся авторами пособия в разное время. Примеры моделирования таких систем приведены в следующем разделе.

2. Примеры использования САВ Maple для решения прикладных задач

В настоящем разделе приведены примеры использования функций САВ Mapleдля решения конкретных задач: расчета показателей динамического качества электроприводов, расчета собственных и вынужденных колебаний автомобиля и изучение фазового портрета математического маятника.

2.1. Расчет показателей динамического качества

системы электропривода

Методы исследования динамики электропривода (ЭП) базируются на общих методах теории автоматического регулирования.

Расчёт на ЭВМ показателей качества систем электроприводов является важным этапом в процессе их проектирования. Система электроприводов является сложной многоконтурной системой с несколькими цепями обратной связи. Поэтому актуальна задача создания программного и математического обеспечения расчёта показателей динамического качества исследуемых систем.

Приведена обобщённая структурная схема электроприводов /7/. Для автоматизации получения главной передаточной функции и проведения расчетов используется система для аналитических вычислений Maple. Рассматривается аналитическое выражение главное передаточной функции, определяется расположение корней на комплексной плоскости, рассчитывается кривая переходного процесса и анализируются границы областей устойчивости в плоскостях различных параметров рассматриваемой динамической системы. Для расчета границ областей устойчивости используется корневой метод /6/.

Анализ структурных схем электроприводов, используемых на металлорежущих станках с числовым программным управлением, показывает, что они имеют достаточно сложную, разветвлённую структуру с многочисленными обратными связями. На основе изучения наиболее типичных структурных схем электроприводов ЭТ6-С и ЭВ-3, применяемых в этих станках, была составлена обобщённая расчётная схема рис. 1.

Рис. 1.

Эта схема состоит из двух частей: собственно электропривода (ЭП) и двигателя (Д). Сигнал от устройства числового программного управления поступает на вход регулятора скорости (коэффициент передачи в изображении по Лапласу ,). При наличии рассогласованияна входе регулятора скорости, на его выходе формируется сигнал пропорциональный этому рассогласованию, который, сравниваясь с текущим значением тока якоря, поступает на вход регулятора тока ().

Регулятор тока усиливает эту разность и подает управляющее напряжение на схему формирования управляющих импульсов. По мере уменьшения рассогласования (под действием отрицательной обратной связи по частоте вращения) происходит стабилизация частоты вращения двигателя на уровне, пропорциональном напряжению задания. На рис. 1 ,ипередаточные функции тиристорного преобразователя, цепи якоря и двигателя,,— коэффициенты усиления в цепи обратной связи контура тока и скорости;,— коэффициенты усиления по моменту и ЭДС.,,,являются усилительными безынарционными звеньями,и— позиционными,и— апериодическими, а— интегрирующим.

Передаточные функции отдельных звеньев системы двигателя хорошо известны из теории автоматического регулирования /6/ и имеют вид:

, (2.1.1)

, (2.1.2)

, (2.1.3)

где

и — коэффициент усиления и малая постоянная времени, соответственно, тиристорного преобразователя;

, Ом^(–1) и , Гн/Ом,

где и— индуктивность и сопротивление в цепи якоря двигателя,

—суммарный момент инерции ротора с приведенной инерционной нагрузкой.

Отличия в структурных схемах рассматриваемых приводов состоят в видах передаточных функций регуляторов скорости () и тока (). В настоящем рассмотрении эти передаточные функции представлены отношением полиномов:

(2.1.4)

. (2.1.5)

Такое задание ипозволило с помощью предлагаемого программного обеспечения проводить расчеты на ЭВМ электроприводов, имеющих различные передаточные функции регуляторов скорости и тока. Методы, применяемые к решению задачи расчёта характеристик динамического качества электроприводов, вытекают из конкретной постановки задачи и общепринятых подходов теории автоматического регулирования.

Анализ структурной схемы (рис. 1) показывает, что главная передаточная функция системы может быть получена из следующих очевидных соотношений:

(2.1.6)

(2.1.7)

, (2.1.8)

где — скорость вращения ротора двигателя.

Поскольку являются отношениями полиномов отp, то главная передаточная функция, согласно (2.1.1)–(2.1.8), также будет представлять собой отношение полиномов вида:

. (2.1.9)

Приведенные выше аналитические зависимости (1)–(9) положены в основу алгоритма и программы для расчета границ областей устойчивости системы электропривода.

Алгоритм программы можно разбить на три основных этапа, которые состоят в следующем:

1. Задание передаточных функций отдельных звеньев ЭП и коэффициентов усиления в цепях обратной связи.

2. Получение главной передаточной функции.

3. Анализ корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (Re, Im).

4. Расчет кривой переходного процесса.

5. Расчет границ областей устойчивости ЭП в плоскостях заданных параметров.

На первом этапе, в процессы реализации этого алгоритма в виде программного обеспечения были заданы передаточные функции и усилительные элементы системы электропривода в общем виде. Далее проводилось задание входных параметров.

Входными данными разработанного программного обеспечения являются следующие:

1. коэффициенты полиномов передаточных функций и(14, 15):

[]=б/р, []=c, []=c, []=c, []=б/р, []=с, []=с, []=с, []=с, []=б/р, []=с, []=с, []=с, []=б/р, []=с, []=с, []=с, []=с;

2. коэффициенты в передаточных функциях (i=3,4,5) (11, 12, 13):

[]=б/р, []=c, []=1/Ом, []=Вс/А, []=кг*м;

3. коэффициенты усиления в цепях обратной связи:

[]=В/с, []=Вс/рад, []=Нм/А, []=Нм/А.

Программное обеспечение, реализующее описанный выше алгоритм, имеет вид:

Расчет показателей динамического качества электропривода ЭТ-6С

> restart: with(linalg):with(plots):with(PolynomialTools):

> # Задание входных параметров;

> # Передаточная функция регулятора скорости;

> w[1]:=p->(a[1]+a[2]*p+a[3]*p^2+a[4]*p^3)/(b[1]+b[2]*p+b[3]*p^2+b[4]*p^3+b[5]*p^4);

> # Передаточная функция регулятора тока;

> w[2]:=p->(c[1]+c[2]*p+c[3]*p^2+c[4]*p^3)/(s[1]+s[2]*p+s[3]*p^2+s[4]*p^3+s[5]*p^4);

> # Передаточная функция тиристорного преобразователя;

> w[3]:=p->T[1]/(1+T[2]*p);

> # Передаточная функция цепи якоря двигателя;

> w[4]:=p->T[3]/(1+T[4]*p);

> # Передаточная функция электродвигателя;

> w[5]:=p->1/(T[5]*p);

> # Задание параметров функции регулятора скорости;

> a[1]:=0.47: a[2]:=0.00564: a[3]:=0: a[4]:=0:

> b[1]:=0: b[2]:=0.012: b[3]:=0: b[4]:=0: b[5]:=0:

>

> # Задание параметров функции регулятора тока;

> c[1]:=7.3: c[2]:=0.121: c[3]:=0: c[4]:=0:

> s[1]:=0.12: s[2]:=0.019228: s[3]:=0.000012342: s[4]:=0: s[5]:=0:

>

> # Задание параметров функции тиристорного преобразователя;

> T[1]:=20.0: T[2]:=0.00167:

>

> # Задание параметров функции цепи якоря двигателя;

> T[3]:=2.857: T[4]:=0.016:

>

> # Задание параметров функции электродвигателя;

> T[5]:=0.057: T[4]:=0.016:

>

> # Задание коэффициентов в цепях обратной связи;

> c[m]:=1.125: c[e]:=1.125: k[1]:=0.005: k[2]:=0.05:

>

> w[1](p);

> w[2](p);

> w[3](p);

> w[4](p);

> w[5](p);

> # Вычисление корней характеристического уравнения;

> # Вычисление главной передаточной функции;

> #w0:=(cm*w1*w2*w3*w4*w5)/(1+ce*cm*w4*w5+k1*w2*w3*w4+k2*cm*w1*w2*w3*w4*w5); #w0:=simplify(w0);

> W := p -> ( c[m]*product(w[i](p), i = 1..5) )/( k[2]*c[m]*product(w[i](p), i = 1..5) + 1 + k[1]*product(w[i](p), i = 2..4) + c[e]*c[m]*w[4](p)*w[5](p)): W(p):=simplify(W(p));

> # Вычисление знаменателя и числителя главной передаточной функции;

> den:=collect(denom(W(p)),p):

> num:=collect(numer(W(p)),p):

> den:=den; num:=num; st:=degree(den,p): r:=solve(den,p):

> delta:=Re(r[1]): for i from 2 to st do if (Re(r[i]) > delta) then delta:=Re(r[i]) end if end do: delta:=delta: n:=0: ni:=0: for i from 1 to st do if Im(r[i]) = 0 then n:=n+1: z[n]:=r[i] else ni:=ni+1: zi[ni]:=r[i] end if: end do:

> # Графическое отображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (Re p,Im p);

PLOT(POINTS([Re(r[1]),Im(r[1])],[Re(r[2]),Im(r[2])],[Re(r[3]),Im(r[3])],[Re(r[4]),Im(r[4])],[Re(r[5]),Im(r[5])],[Re(r[6]),Im(r[6])],SYMBOL(CIRCLE,30), COLOR(RGB,0,0.6,0)),POINTS([0,0],SYMBOL(CROSS,5)),COLOR(RGB,1,1,1));

> # РАСЧЕТ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА # Выделение коэффиентов главной передаточной функции и формирование системы шести диференциальных уравнений;

> pa0:=coeff(den,p,6): pa1:=coeff(den,p,5): pa2:=coeff(den,p,4): pa3:=coeff(den,p,3): pa4:=coeff(den,p,2): pa5:=coeff(den,p,1): pa6:=coeff(den,p,0): pb0:=coeff(num,p,2): pb1:=coeff(num,p,1): pb2:=coeff(num,p,0):

> sys:=diff(x1(t),t) = x2(t), diff(x2(t),t) = x3(t), diff(x3(t),t) = x4(t), diff(x4(t),t) = x5(t), diff(x5(t),t) = x6(t), diff(x6(t),t)=-pa1/pa0*x6(t)-pa2/pa0*x5(t)-pa3/pa0*x4(t)-pa4/pa0*x3(t)-pa5/pa0*x2(t)-pa6/ pa0*x1(t)+pb2/pa0;

> # Задание параметров для интегрирования системы дифференциальных уравнений по схеме Рунге-Кутта;

> d:=0:

hint:=0.001:

tint:=0.3:

time0:=0:

hk:=round((tint-time0)/hint):

functions:={x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),x5(t),x6(t)}: reshfr:=Array(0..hk,1..7):

d:=time0: reshfr[0,1]:=time0: reshfr[0,2]:=0: reshfr[0,3]:=0: reshfr[0,4]:=0: reshfr[0,5]:=0: reshfr[0,6]:=pb0/pa0: reshfr[0,7]:=pb1/pa0-(pa1*pb0)/(pa0*pa0):

> # Формирование цикла для вычисления кривой переходного процесса;

> for shag from 1 to hk by 1 do

nu:= x1(d)=reshfr[shag-1,2], x2(d)=reshfr[shag-1,3], x3(d)=reshfr[shag-1,4], x4(d)=reshfr[shag-1,5], x5(d)=reshfr[shag-1,6], x6(d)=reshfr[shag-1,7]; d:=d+hint:

F:=dsolve({sys,nu},{x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),x5(t),x6(t)},type=numeric); v:=subs(t=d,F(d)):

reshfr[shag,1]:=d: reshfr[shag,2]:=(evalf(rhs(v[2]))): reshfr[shag,3]:=(evalf(rhs(v[3]))): reshfr[shag,4]:=(evalf(rhs(v[4]))): reshfr[shag,5]:=(evalf(rhs(v[5]))): reshfr[shag,6]:=(evalf(rhs(v[6]))): reshfr[shag,7]:=(evalf(rhs(v[7]))): end do: tim:=Array(1..hk):

Ix:=Array(1..hk):

for i from 1 to hk by 1 do tim[i]:=reshfr[i,1]: Ix[i]:=reshfr[i,2]:end do:

> # Графическое отображение кривой переходного процесса;

> coordXT:=zip((x,y)->[x,y],tim,Ix,2):

pointplot(coordXT,labels=[t,x1],color=red,connect=true,thickness=3)

С помощью разработанного программного обеспечения был проведен многофакторный вычислительный эксперимент по расчету собственных колебаний с целью анализа кривой переходного процесса и определения границ областей устойчивости в плоскости конструктивных параметров электропривода ЭТ6-С.

На первом этапе проводился вычислительный эксперимент по определению чувствительных параметров системы электропривода. Рассматривалось влияние отдельных параметров на изменение степени устойчивости . При этом удалось выявить чувствительные параметры конструкции: коэффициенты усиления в цепях обратной связи и некоторые конструктивные параметры.

На втором этапе проводился вычислительный эксперимент по определению границ устойчивости в плоскости чувствительных параметров. Анализ устойчивости проводился по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Результаты расчета границ области устойчивости в плоскости параметров (,) приведены на рис. 2.

Рис. 2.

Таким образом, в настоящем разделе дано решение задачи определения динамических характеристик собственных колебаний систем ЭП, приведены области устойчивости в плоскостях различных параметров на примере электропривода ЭТ6-С. В процессе исследования устойчивости был использован корневой метод, который в сочетании с программным обеспечением Mapleпозволил достичь необходимого результата. Разработанное программное обеспечение и результаты исследований могут быть использованы для определения областей устойчивости разного класса электроприводов, а также других динамических систем, имеющих структуру аналогичную исследуемой. Результаты исследований и программное обеспечение могут быть использованы при проектировании перспективных систем ЭП и для обучения студентов, специализирующихся в области прикладной математики.

2.2. Расчет собственных и вынужденных колебаний

легкового автомобиля

В настоящем разделе рассматривается математическая модель легкового автомобиля, полученная профессором кафедры прикладной математики Городецким Ю.И. и приведенная в его учебном пособии [8].

Рассмотрим, согласно [8], некоторые методические соображения по поводу математической модели, описывающей колебания легкового автомобиля. При построении математической модели предположим:

1) автомобиль совершает плоские колебания в плоскости xz.

2) профиль дороги имеет синусоидальный характер.

3) автомобиль движется равномерно со скоростью V(км/ч).

4) в автомобиле выделяется четыре колебательных элемента:

а) кузов с силовым агрегатом

б) передние колёса

в) задние колёса и задний мост, которые считаются абсолютно жёсткими телами

г) пассажир

На рис. 3 приведена эквивалентная механическая модель, описывающая колебания легкового автомобиля в принятой идеализации.

Рис. 3. Блок-схема легкового автомобиля

На рисунке обозначено:

1. m₁ – масса передних колёс,

m₂ – масса задних колёс и заднего моста,

m₅ – масса подрессоренной части автомобиля,

m₇ – масса человека

2. I₅ – момент инерции подрессоренной части автомобиля относительно оси, проходящей через точку (5) и перпендикулярной плоскости (xz)

3. c_1.3 – коэффициент жесткости передних рессор,

с_2.4 – коэффициент жесткости задних рессор,

с – коэффициент жесткости шин колёс,

с_6.7 – коэффициент жесткости сиденья пассажира

4. h_1.3 – коэффициент рассеивания энергии в передних амортизаторах,

h_2.4 – коэффициент рассеивания энергии в задних амортизаторах,

h – коэффициент рассеивания энергии в шинах колёс,

h_6.7 – коэффициент рассеивания энергии в сиденье пассажира

5. l = a + b (расстояние между передними и задними колёсами автомобиля)

a – расстояние от передних колёс до центра масс автомобиля

b – расстояние от центра масс автомобиля до задних колёс

6. L – длина волны синусоидального профиля дороги

7. z₁(t), z₂(t) – величина профиля дороги в точках 9 и 8.

В качестве обобщённых координат взяты q₁,q₂,q₃,q₄,q₅, характеризующие вертикальные колебания передних колёс, вертикальные колебания задних колёс и заднего моста, вертикальные, а так же угловые колебания кузова автомобиля и вертикальные колебания пассажира.

При движении автомобиля по синусоидальному профилю дороги происходит взаимодействие между колёсами автомобиля и дорогой, которое необходимо учитывать при написании математической модели. Прежде всего, следует заметить, что задние колёса автомобиля набегают на профиль дороги величиной

z₂(t) = z₁(t–τ),

где z₁(t) — величина профиля, на который набегают на передние колёса. При этом запаздывание τ =. Отметим также, что при движении автомобиля на его колёса действуют силы с частотой ω, которая определяется скоростью автомобиля и длиной профиля дороги ω =.

Теперь перейдём к построению математической модели. В основе построения лежат уравнения Лагранжа, которые имеют вид

(2.2.1)

где L=T–П— функция Лагранжа,

ТиП— кинетическая и потенциальная энергии,

B— диссипативная функция Релея,

—вектор внешних сил.

Запишем выражение кинетической энергии

. (2.2.2)

Потенциальная энергия представляет собой работу упругих сил на относительном перемещении ∆_ij, являющихся функциями обобщённых координат.

(2.2.3)

Диссипативная функция Релея по своей структуре напоминает выражение потенциальной энергии, записанной относительно скоростей

, (2.2.4)

где

(2.2.5)

Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода и запишем математическую модель, описывающую колебания автомобиля:

В матричной форме записи математическая модель имеет вид:

(2.2.6)

(2.2.7)

(2.2.8)

Структура матрицы Н идентична структуре матрицы С. Также видно, что матрицы М, Н и С являются симметричными, причем, имеет следующий вид:

Силы , действующие на колёса автомобиля со стороны дороги, определяются деформациями шины, которые зависят от амплитуды колебания колёс и профиля дороги

Окончательное выражение для сил можно записать в следующем виде:

Построенная математическая модель позволяет выполнять различные расчёты, связанные со свободными и вынужденными колебаниями автомобиля. Для расчёта собственных частот и собственных форм колебаний необходимо использовать консервативную модель, положив в общих уравнениях матрицу диссипации и вектор внешних сил равными нулю. Для расчета переходных процессов следует в общем уравнении положить вектор внешних сил равным нулю и задать начальное смещение и начальные скорости рассматриваемой системы. Для расчёта вынужденных колебаний необходимо использовать общую математическую модель, считая вектор внешних сил периодической функцией.

Таким образом, построенная математическая модель является достаточно универсальным инструментом в решении поставленной задачи об улучшения показателей динамического качества легкового автомобиля.

Разработанный алгоритм и комплекс программ предназначены для расчёта собственных и вынужденных колебаний легкового автомобиля.

В основу алгоритма и комплекса программ положена математическая модель, полученная в (2.2.1)–(2.2.8) и описывающая свободные и вынужденные колебания элементов расчётной схемы автомобиля и колебаний пассажира. В соответствии с расчётной схемой и математической моделью входными параметрами являются: инерционные параметры легкового автомобиля типа ГАЗ–3111 (массы передних колёс, заднего моста с колёсами, масса и момент инерции подрессоренной части автомобиля и масса пассажира); параметры жесткости и рассеивания энергии в элементах передней и задней подвесок. К входным параметрам можно так же отнести параметры сил, действующих на передние и задние колёса со стороны дороги (жесткость и рассеивание энергии в шинах, расстояние между осями передних и задних колёс, скорость автомобиля и длина волны профиля дороги).

Комплекс программ для расчета показателей динамического качества легкового автомобиля

Расчет собственных частот и форм колебаний:

> restart;

> with(linalg):with(DEtools):

Задание входных параметров:

Массы элементов расчетной схемы автомобиля: [кг]

> m1:=86;m2:=178;m3:=1000;m4:=1863;m5:=60;

Коэффициенты трения:[Hc/м]

> h13:=6000;h24:=8000;h:=1000;h67:=1000;

>

Коэффициенты жесткости в соединениях :[H/м]

> c13:=100000;c24:=44000;c:=360000;c67:=2200;

Координаты точек расчетной схемы автомобиля:[м]

> x6:=0.8;

> x5:=-0.7;

> a:=0.7; #расстояние от передних колес до центра масс автомобиля;

> b:=2.1; #расстояние от задних колес до центра масс автомобиля;

Матрица масс:

> M:=matrix([[m1,0,0,0,0],[0,m2,0,0,0],[0,0,m3,0,0],[0,0,0,m4,0],[0,0,0,0,m5]]);

Матрица диссипации:

> H:=matrix([[h13+1000,0,-h13,h13*a,0],[0,h24+1000,-h24,-h24*b,0],[-h13,-h24,h13+h24+h67,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),-h67],[h13*a,-h24*b,-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5),h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2,-h67*(x6-x5)],[0,0,-h67,-h67*(x6-x5),h67]]);

Матрица жесткостей:

> C:=matrix([[c13+360000,0,-c13,c13*a,0],[0,c24+360000,-c24,-c24*b,0],[-c13,-c24,c13+c24+c67,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),-c67],[c13*a,-c24*b,-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5),c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2,-c67*(x6-x5)],[0,0,-c67,-c67*(x6-x5),c67]]);

Проверка матриц на положительную определенность:

> definite(M,'positive_def');

> definite(H,'positive_def');

> definite(C,'positive_def');

Расчет обратной матрицы:

> L:=evalm(1/M);

Перемножение матриц:

> G:=evalm(L&*C);

Нахождение собственных чисел:

> eigenvalues(G);

Нахождение собственных векторов:

> eigenvectors(G);

Нахождение собственных частот:

> sqrt(5365.628126);sqrt(2284.150981);sqrt(120.9607681);sqrt(56.05716945);sqrt(34.58300993);

Перевод частоты в Герцах:

> f[5]:=evalf(73.25044796/(2*Pi));f[4]:=evalf(47.79279214/(2*Pi));f[3]:=evalf(10.99821659/(2*Pi));f[2]:=evalf(7.487133594/(2*Pi));f[1]:=evalf(5.880732091/(2*Pi));

Расчет вынужденных колебаний:

Параметры, характеризующие дорогу:

> L:=20; #длина волны синусоидального профиля дороги[м];

> l:=2.8; #расстояние между передними и задними колесами автомобиля[м];

> V:=17; #скорость движения автомобиля[м/с] ;

> z0:=0.05; #высота неровности дороги[м];

Коэффициент запаздывания:

> tau:=l/L;

Частота с которой силы действуют на колеса при движении автомобиля:

> omega:=(2*Pi*V)/L;

Профиль на который набегают передние колеса:

> z[1](t):=z0*exp(I*omega*t);

Профиль, на который набегают задние колеса:

> z[2](t):=z[1](t-tau);

Сила действующая на переднее колесо со стороны дороги:[H]

> F1,F2::complex:

> F1:=c*z0+h*z0*omega*I*exp(I*omega*t);

> G1:=evalc(Re(F1));

Сила действующая на заднее колесо со стороны дороги:[H]

> F2:=c*z0*exp(I*omega*(t-tau))+h*z0*omega*I*exp(I*omega*(t-tau));

> G2:=evalc(Re(F2));

Математическая модель — система обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка :

> sys:=m1*diff(diff(q[1](t),t),t)+(c13+c)*q[1](t)-c13*q[3](t)+c13*a*q[4](t)+(h13+h)*diff(q[1](t),t)-h13*diff(q[3](t),t)+h13*a*diff(q[4](t),t)=G1, m2*diff(diff(q[2](t),t),t)+(c24+c)*q[2](t)-c24*q[3](t)-c24*b*q[4](t)+(h24+h)*diff(q[2](t),t)-h24*diff(q[3](t),t)-h24*b*diff(q[4](t),t)=G2, m3*diff(diff(q[3](t),t),t)-c13*q[1](t)-c24*q[2](t)+(c13+c24+c67)*q[3](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[4](t)-c67*q[5](t)-h13*diff(q[1](t),t)-h24*diff(q[2](t),t)+(h13+h24+h67)*diff(q[3](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[4](t),t)-h67*diff(q[5](t),t)=0, m4*diff(diff(q[4](t),t),t)+c13*a*q[1](t)-c24*b*q[2](t)+(-c13*a+c24*b+c67*(x6-x5))*q[3](t)+(c13*a^2+c24*b^2+c67*(x6-x5)^2)*q[4](t)-c67*(x6-x5)*q[5](t)+h13*a*diff(q[1](t),t)-h24*b*diff(q[2](t),t)+(-h13*a+h24*b+h67*(x6-x5))*diff(q[3](t),t)+(h13*a^2+h24*b^2+h67*(x6-x5)^2)*diff(q[4](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[5](t),t)=0, m5*diff(diff(q[5](t),t),t)-c67*q[3](t)-c67*(x6-x5)*q[4](t)+c67*q[5](t)-h67*diff(q[3](t),t)-h67*(x6-x5)*diff(q[4](t),t)+h67*diff(q[5](t),t)=0;