§ 3. Исследование функций и построение графиков

1. Признаки монотонности функции

Теорема 1 (необходимое условие возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая функция y = f(x), x(a; b) возрастает (убывает) на интервале (a; b), то для любого x₀(a; b).

Теорема 2 (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если функция y = f(x), x(a; b) имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.

2. Экстремумы функции

Определение 1. Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех x из некоторой -окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)) при x  x₀.

Теорема 3 (Ферма) (необходимое условие существования экстремума). Если точка x₀ является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная , то

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой -окрестности точки x₀. Тогда:

1. если производная при переходе через точку x₀ меняет знак с (+) на (), то x₀ является точкой максимума;

2. если производная при переходе через точку x₀ меняет знак с () на (+), то x₀ является точкой минимума;

3. если производная при переходе через точку x₀ не меняет знак, то в точке x₀ функция не имеет экстремума.

Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода.

Алгоритм нахождения экстремума функции

с помощью первой производной

1. Найти область определения D(f) функции у = f(x).

2. Вычислить первую производную

3. Найти критические точки первого рода.

4. Расставить критические точки в области определения D(f) функции y = f(x) и определить знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции.

5. Выделить точки максимума и минимума функции и вычислить в этих точках значения функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию у = x³  3x².

Решение. В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью первой производной имеем:

1. D(f): x(; ).

2. .

3. 3x²  6x = 0  x = 0, x = 2  критические точки первого рода.

max min

+  +

0 2 х

Производная при переходе чрез точку x = 0

меняет знак с (+) на (), следовательно это точка

максимума. При переходе через точку х = 2 меняет знак с () на (+), следовательно это точка минимума.

5. y_max = f(0) = 0³  3  0² = 0.

Координаты максимума (0; 0).

y_min = f(2) = 2³  3  2² = 4.

Координаты минимума (2; 4).

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума). Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, причем , то в точке x₀ функция f(x) имеет максимум, если и минимум, если.

Алгоритм нахождения экстремума функции

с помощью второй производной

1. Найти область определения D(f) функции y = f(x).

2. Вычислить первую производную

3. Найти критические точки первого рода.

4. Вычислить вторую производную .

5. Определить знак второй производной в каждой из критических точек.

6. Вычислить максимальное и минимальное значение функций.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

f(x) = x³  9x² + 24x  12.

Решение. В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью второй производной, имеем:

1. D(f): x(; ).

2. .

3. 3x²  18x + 24 = 0  x = 2, x = 4  критические точки первого рода.

4. 6x  18.

5. 6  2  18 = 6 < 0  x = 2 – точка максимума.

6  4  18 = 6 > 0  x = 4  точка минимума.

6. y_max = f(x = 2) = 2³  9  2² + 24  2  12 = 8

max(2; 8).

y_min = f(x = 4) = 4³  9  4² + 24  4  12 = 4

min(4; 4).

С помощью первой производной исследовать

на экстремум функции:

184. f(x) = x² – x 185. f(x) = x²  x

186. f(x) = x² – 8x + 12 187. f(x) = x² – 4x + 3

188. f(x) = 2x⁴  x 189. f(x) =

190. f(x) = 5  2191. f(x) = 3

192. f(x) = e^x + e^x 193. f(x) = x² e^x

194. f(x) = x  2 ln x 195. f(x) = x ln x

196. f(x) = 197. f(x) =

С помощью второй производной исследовать

на экстремум функции:

198. f(x) = 2x²  3 199. f(x) = x²  2x

200. f(x) = x² + 4x 201. f(x) = x² + x + 6

202. f(x) = 203. f(x) =

204. f(x) = x⁴ + 3x²  4 205. f(x) = x³ 

206. f(x) = 207. f(x) = x +

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (ln x  2) 211. f(x) = x ln²x + x + 4