- •Глава III. Дифференцирование
- •§ 1. Производная функции
- •1. Понятие производной функции
- •2. Правила дифференцирования
- •3. Формулы дифференцирования Простые функции Сложные функции
- •4. Производная неявной функции
- •5. Производные высших порядков
- •6. Правило Лопиталя Устранение неопределенностей вида ,
- •7. Неопределенности вида 0 , 00, 1, 0 и их устранение
- •§2. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям Приближенное значение приращения функции
- •Приближенное значение функции в точке
- •§ 3. Исследование функций и построение графиков
- •1. Признаки монотонности функции
- •2. Экстремумы функции
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Глава III. Дифференцирование
§ 1. Производная функции
1. Понятие производной функции
Определение 1. Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когдастремится к нулю при условии, что этот предел существует, т.е.
.
Для производной функции у = f(x) употребляются следующие обозначения: или
Определение 2. Геометрический смысл производной функции f(x) в точке х0 заключается в том, что она численно равна тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к положительному направлению оси Ох, проведенной к графику функции в этой точке.
Определение 3. Физический смысл производной функции f(x) в точке х0 заключается в том, что она численно равна скорости изменения функции в данной точке.
2. Правила дифференцирования
1.= 0, С постоянная.
2. (CU)′׳= СU′, C − постоянная.
3. (UV.
4. UV.
5. , V0.
6. Производная сложной функции у = f[u(x)] равна произведению ее производной по промежуточному аргументу u(x) на производную этого аргумента по независимой переменной x:
или .
3. Формулы дифференцирования Простые функции Сложные функции
=x1
ex
= cos x = cos u
= sin x
=
=
Пример 1. Вычислить производные функций:
f(x) = 5 + x3 + 3x2 + ;
f(x) = x∙sin x;
f(x)=.
Решение. Для вычисления производных воспользуемся правилами и формулами дифференцирования.
+
+= 3x2 + 6x + .
.
==
=.
Пример 2. Вычислить производные функций:
1. f(x) = ln(1+x2); 2. f(x) = .
Решение. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
;
= .
Вычислить производные функций
1. у = x4 + 3x2 2x + 1 2. y = 7x7 + 3x2 4x + 1
3. y = 3x2 4. y =
5. y = 2 6. y =
7. y = 8. y =
9. y = 10. y = 5 ln x 7 cos x + tg x
11. y = 12. y =
13. y = 14. у =
15. y = x cos x 16. y = x2 tg x
17. y = 18. y =
19. y = 20. y =
21. y = 22. y =
23. y = 24. y = ex 3x
25. y = 26. y =
27. y = 28. y =
29. y = 30. y =
31. y = cos2x 32. y = sin22x
33. y = sin(x2 + 5x + 2) 34. y = cos
35. y = tg (x2 + 3) 36. y =
37. y = ln sin x 38. y = ln tg 5x
39. y = ln cos x 40. y = ln (1 + cos x)
41. y = ln (x2 + 2x) 42. y = ln (x2 3x + 7)
43. y = cos(ln x) 44. y = sin(ln x)
45. y = cos(cos x) 46. y = sin(cos x)
47. y = sin(ex) 48. y = cos(e2x)
49. y = 50. y = ln
51. y = ln ln 52. y = ln
53. y = sin2 x3 54. y = cos3
55. y = 56. y = sin(2x)
57. y = 58. y = ln
59. y = ecos x 60. y = esin x
61. y = e1/x 62. y =
63. y = asin x 64. y =
65. y = 66. y =
67. y = 68. y =
69. y = 2 sin 2x 70. y = xx
71. y = xsin x 72. y = x1/x
73. y = xcos x 74. y = (tg x)sin x