2. Вычисление объемов тел вращения

Если криволинейная фигура, ограниченная линиями у = f(x), y = 0, x = a и x = b, вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения вычисляется по формуле

V_x = . (4.6)

Если криволинейная фигура, ограниченная линиями x = g(y), x = 0, y = c, у = d, вращается вокруг оси Оy, то объем тела вращения вычисляется по формуле

V_y = . (4.7)

Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг а) осиOх; б) оси Oу.

Решение. а) Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема и удвоить его. По формуле (3.6) имеем

V_x = 2

= 2 ;

б) По формуле (3.7) имеем

V_y = 2

= 2 .

Если a = b = R, то эллипс является окружностью. Тогда тело вращения вокруг оси Ox (Oy) есть шар, объем которого V =

Найти объемы тел, образованных вращением фигуры,

ограниченной линиями:

140. y = 4  x², y = 0, x = 0, x  0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу

141. y = e^x, x = 0, x = 1, y = 0 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy

142. y = x² + 1, y = 0, x = 1, x = 2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy

143. y = 2px, x = h вокруг оси Ох

144. y = x², y = вокруг оси Ox

145. y² = x, x² = y вокруг оси Ох

146. y = x³, y = 1, x = 0 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy

147. y = x, y = x² вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy

148. y = ln x, y = 0, x = 1, x = e вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy

149. y = sin x, y = 0, 0  x   вокруг оси Ox

150. y = cos x, y = 0, 0  x  вокруг оси Ox

151. y = , x = 1, x = 4, y = 0 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Длина дуги гладкой кривой y = f(x) на отрезке [a; b] вычисляется по формуле

.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y² = x³ от x = 0 до x = 1 (y

Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем .

Тогда

L=.

Вычислить длины дуг кривых

152. y = x^3/2 от x = 0 до x = 4

153. y² = от x = 1 до x = 2

154. y = от x = 1 до х = е

155. 9y² = 4x³ от x = 0 до x = 3

156. y = от x = 0 до x = a

157. y = ln cos x от x = 0 до x =

158. y = от x = 0 до x =

159. Найти длину окружности x² + y² = R².

§ 7. Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы первого рода

(Интегралы с бесконечными пределами интегрирования)

По определению

где с  любое число.

Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися. В противном случае  расходящимися.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл

где  некоторое число.

Решение

1. Если , то для любогоb > 0

2. Если , то

Таким образом, данный интеграл сходится при  > 1 и расходится при   1.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл

Решение. Полагая с = 0, по определению имеем

.

Таким образом, данный интеграл расходится.

2. Несобственные интегралы второго рода

(Интегралы от неограниченных функций)

Если функция y = f(x), непрерывная на промежутке [a; b), при xb неограниченно возрастает по модулю, то

Если функция y = f(x), непрерывная на промежутке (a; b], при xa неограниченно возрастает по модулю, то

Если функция y = f(x) определена на отрезке [a; b] кроме точки с[a; b]  точки разрыва второго рода данной функции, то

.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция f(x) = не ограничена в окрестности точки x = 0, поэтому имеем

.

Следовательно, интеграл сходится.

Вычислить несобственные интегралы

160. 161.

162. 163.

164. 165.

166. 167.

168. 169.

170. 171.

172. 173.

174. 175.

176. 177.

178. 179.

180. 181.

182. 183.

82