3. Метод интегрирования по частям
Интегрированием по частям называется вычисление интеграла по формуле
,
где u и v – дифференцируемые функции от х.
Данная формула
позволяет свести вычисление интеграла
к вычислению
.
Ее применение целесообразно в тех
случаях, когда последний интеграл либо
проще исходного, либо ему подобен. При
этом заu
берется такая часть подынтегральной
функции, которая при дифференцировании
упрощается, а за dv
– та часть подынтегрального выражения,
интеграл от которой известен или может
быть найден.
Так, например
1. Для интегралов вида
,
,
,
где P(x) – многочлен, а число, полагают u = P(x), а все остальные сомножители – dv.
2. В интегралах вида
,
,
,
,
полагают Р(x)dx = dv, а остальные сомножители – u.
3. В интегралах вида
,
за u можно принять любую из функций eax или sin bx (или cos bx).
Пример 13.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Положим u
= x,
dv
=
,
тогда
du = dx, v
=
=
,т.
е.
v = cos
x.
По формуле интегрирования по частям, имеем
.
Пример 14.
Вычислить интеграл
Решение. Положим dv = x2dx, ln x = u, тогда
v
=
,
du
=
и
.
Пример 15.
Вычислить интеграл I=
.
Решение. Пусть u = ex, dv = sin x dx, тогда
du
= exdx,
v
=
.
Следовательно,
I
= ex
cos
x
+
.
Полученный интеграл
проинтегрируем также по частям, положив
u
= ex,
dv
= cos
x
dx,
тогда du
= exdx
и v
=
и следовательно I
= ex
cos
x
+ (еx
sin
x
)
= ex
cos
x
+ ex
sin
x
I.
Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I.
2I = ex cos x + ex sin x,
I =
.
Вычислить интегралы
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
§3. Определенный интеграл
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x0 < x1 < x2 < … < < xi1 < xi < … < xn = b. В каждом элементарном отрезке [xi1; xi] выберем произвольную точку (xi1 xi) и обозначим через xi = xi xi1 длину каждого такого отрезка. Тогда сумма вида
называется интегральной суммой для функции f(x) на [a; b].
Обозначим через длину наибольшего элементарного отрезка разбиения: = mаx{xi}.
Определение 1. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при 0, т.е.
=
.
Здесь числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Для существования определенного интеграла от функции f(x) на отрезке [a; b], достаточно ее непрерывности на этом отрезке.
Определенный
интеграл
численно равен площадиS
криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции f(x),
осью абсцисс и прямыми x
= a
и x
= b,
т. е. S
=
.В этом
заключается геометрический смысл
определенного интеграла.
2. Основные свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
.
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
.
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме их интегралов:
.
5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
с[a;
b].
Замечание. Определенный интеграл от нечетной функции по симметричным пределам равен нулю.