3.1.2. Стратегия принятия решения

Введем обозначения, которые будут использоваться в задаче измерения чувствительности сенсорной системы, и рассмотрим случай измерения абсолютной чувствительности:

- состояние среды: h₁- стимул есть в пробе - обозначаем это S (от английского термина «Stimulus» - «Стимул»);

h₂- стимула нет в пробе - обозначаем n . (от английского термина «noise» - «шум»);

- гипотезы : H₁ - «стимул в пробе есть»;

H₂ - «стимула в пробе нет»;

- ответы испытуемого:R₁- ответ «стимул есть» - обозначаем Y (от «Yes»);

R₂ - ответ «стимула нет» - обозначаем N. (от «No»).

Все возможное множество сочетаний возможных состояний среды h и ответов испытуемого R в этом случае может быть представлено простой четырехклеточной матрицей:

Таблица 4

Матрица сочетаний возможных состояний среды и ответов испытуемого для ситуации измерения абсолютной чувствительности

Ответ Стимул	Y – «ДА»	N – «нет»
S (стимул есть)	Y/S (правильное обнаружение)	N/S (пропуск стимула)
n (стимула нет)	Y/n (ложная тревога)	N/n (правильное отрицание)

Таким образом, в соответствии с этой матрицей, всего имеется четыре варианта сочетаний:

1) «правильное обнаружение» - стимул в пробе есть и испытуемый дает ответ “Да” (обозначаем как Y/S);

2) «пропуск стимула» - стимул в пробе есть, а испытуемый дает ответ “Нет” (обозначаем как N/S);

3) «ложная тревога» - стимула в пробе нет, а испытуемый дает ответ “Да” (обозначаем как Y/n);

4) «правильное отрицание» - стимула в пробе нет и испытуемый дает ответ “Нет” (обозначаем как N/S).

Из этих вариантов два являются вариантами правильных ответов – правильное обнаружение и правильное отрицание (Y/S и N/n), которые называются принятием правильной гипотезы, а два – ошибочными – пропуск стимула и ложная тревога (N/S и Y/n), которые называем отклонением правильной гипотезы. Ошибочные ответы обозначаются: ошибка первого рода - n/S (пропуск стимула) и ошибка второго рода - Y/n (ложная тревога).

Совершенно очевидно, что значимость для субъекта, принимающего решение, каждого из этих четырех ответов различна и будет определяться целью деятельности, возможными последствиями решений, обстоятельствами и т.д. Для того, чтобы учесть влияние множества таких факторов на процесс принятия решений, вводятся понятия «стоимость решения» ( значимость, важность,…) и «риск» при принятии решения.

Каждый из перечисленных выше четырех вариантов решения имеет свою стоимость (см. табл.5). Знак стоимости (положительный или отрицательный) определяется тем, что это – выигрыш (C₁₁; C₂₂) или проигрыш (C_{2 1}; C₁₂).

Таблица 5

Матрица стоимостей различных вариантов решений в двухальтернативной ситуации

Ответ Стимул	Y – «ДА»	N – «нет»
S (стимул есть)	+C11 (выигрыш)	– C12 (проигрыш)
n (стимула нет)	– C2 1 (проигрыш)	+C22 (выигрыш)

Понятие «риск» отражает величину возможных потерь, которые понесет субъект в результате принятия решения, и является в определенном смысле противоположным стоимости решения.

Условный риск при принятии решения в задаче измерения абсолютной чувствительности будет соответственно равен:

1. При условии наличия сигнала (S):

_(10a)

2. При условии отсутствия сигнала (n):

_(10b)

Наличие знака «–» в этих выражениях отражает уже отмечавшийся выше факт обратных отношений между стоимостью решения (выигрышем) и его риском: чем выше риск, тем меньшим должен быть выигрыш.

Так, если примем равными стоимости выигрышей и проигрышей, то есть C₁₁ = C₁₂ и C_{2 1} = C₂₂, а также равными все апостериорные вероятности: P(Y/S)= P(Y/N)= P(n /S)= P(n /N)=0,5, то величина условного риска станет нулевой: r₁ =r₂ = 0. При возрастании стоимости (значимости) правильных ответов (C₁₁; C₂₂) и их апостериорных вероятностей P(Y/S) и P(n /N) абсолютная величина риска снижается. Если же высоки цена неправильных решений и их апостериорные вероятности, то величина риска возрастает.

Общий средний риск (R) тогда будет равен:

R = q₁·r_{1 +} q₂·r₂; (11)

где q₁ = P(S) - априорная вероятность появления стимула в пробе;

q₂ = P(n) - априорная вероятность отсутствия стимула в пробе.

Самой оптимальной стратегией принятия решений в этих условиях будет та, которая направлена на минимизацию общего среднего риска и, соответственно, получение максимального выигрыша – так называемая «байесовская» стратегия.

Правило принятия решения, соответствующее этой стратегии, будет состоять в учете стоимостей различных четырех исходов в принятии решения (или соответствующих значений рисков) при определении значений порогов принятия решения λ₀:

, (12)

или, используя новые обозначения,

V₁ = C₁₁ – C₁₂,

V₂ = C₂₂ – C₂₁,

запишем новое определение для порога принятия решения:

. (13)

Соответственно, правило принятия решения будет выглядеть следующим образом:

(14а)

(14b)

То есть принимается решение, которое обеспечит максимальный выигрыш (минимальный риск) при имеющихся стоимостях различных исходов, априорных и апостериорных вероятностях. Тем самым обеспечивается учет при принятии решения трех важнейших факторов:

• прогноза возможного состояния среды (априорные вероятности);

• поступившей информации о реально существующем состоянии среды (апостериорные вероятности);

• важности (стоимости) для субъекта различных исходов при принятии решения (величина риска или выигрыша).

Таким образом, при использовании байесовской стратегии принятия решения человек использует всю доступную ему информацию о ситуации для достижения оптимальности решения.

Рассмотрим, как работает такой механизм принятия решения на примере «Охотник» при изменении стоимостей различных исходов, но неизменности априорных и апостериорных вероятностей.

Исходные данные:

Априорные вероятности: q₁=0,5; q₂=05,. То есть прогноз, который делает охотник, опираясь на информацию, полученную до начала охоты (слухи, мнение товарищей-охотников и местных жителей, и т.п.), таков : «Вероятность встретить на охоте зайца равна 0,5».

Апостериорные вероятности: p(e_j /h₁)=0,2; p(e_j/h₂)=0,8. Т.е., отправившись на охоту и проходя по опушке леса, охотник слышит в кустах шорох (e_j), весьма похожий на тот, который может вызвать заяц.

Отношение правдоподобия: λ(e_j)= ==4,0.

Исходя из этих начальных условий, рассмотрим три варианта развития ситуации, различающиеся величиной доходов и расходов охотника (стоимостями исходов).

Вариант 1:

Стоимости: цена добытого охотником зайца – 100 рублей;

цена одного патрона – 15 рублей.

C₁₁ = 100 руб.- 15 руб.= 85 руб. (охотник получил прибыль 100 руб. за зайца, но израсходовал 15 руб. на 1 патрон. Таким образом, общий выигрыш охотника составил +85 руб.);

C₁₂ = 0 руб. ( охотник зайца не добыл, но и патронов не потратил);

C_{2 1} = 15 руб. (охотник зайца не добыл, а патрон потратил – таким образом его проигрыш составил 15 руб.);

C₂₂ = 0 руб. ( охотник зайца не добыл, но и патронов не потратил).

Порог принятия решения: V₁ = C₁₁ – C₁₂ = 85 руб.- 0 руб.= 85 руб.;

V₂ = C₂₂ – C₂₁ = 0 руб.- (15 руб.) = 15 руб.;

Принятие решения: Применяя сформулированный последним вариант правила принятия решения, получаем:

λ(e_j) < λ₀ , так как 4,00 < 5,66,

что означает принятие гипотезы H₁ – «Заяц есть!» и выполнение соответствующего действия: «Стрелять!».

Вариант 2:

Стоимости: цена добытого охотником зайца – 100 рублей;

цена одного патрона возросла до 30 рублей.

C₁₁ = 100 руб.- 30 руб.= 70 руб. (охотник получил прибыль 100 руб. за зайца, но израсходовал 30 руб. на 1 патрон. Таким образом, общий выигрыш охотника составил +70 руб.);

C₁₂ = 0 руб. ( охотник зайца не добыл, но и патронов не потратил);

C_{2 1} = 30 руб. (охотник зайца не добыл, а патрон потратил – таким образом его проигрыш составил 30 руб.);

C₂₂ = 0 руб. ( охотник зайца не добыл, но и патронов не потратил).

Порог принятия решения:

Принятие решения: имеем λ(e_j) > λ₀ (т.к. 4,00>2,33), следовательно, принимается гипотеза H₂ - «Зайца нет!» - и охотник воздерживается от выстрела.

Вариант 3:

Стоимости: возросла цена добытого зайца – 180 рублей;

цена одного патрона - 30 рублей.

C₁₁ = 180 руб.- 30 руб.= 150 руб. (охотник получил прибыль 180 руб. за зайца, но израсходовал 30 руб. на 1 патрон. Таким образом, общий выигрыш охотника составил +150 руб.);

C₁₂ = 0 руб. ( охотник зайца не добыл, но и патронов не потратил);

C_{2 1} = 30 руб. (охотник зайца не добыл, а патрон потратил – таким образом его проигрыш составил 30 руб.);

C₂₂ = 0 руб. ( охотник зайца не добыл, но и патронов не потратил).

Порог принятия решения:

Принятие решения: Имеем λ(e_j) < λ₀ , так как 4,00 < 5,00, что означает принятие гипотезы H₁ – «Заяц есть!» и выполнение соответствующего действия: «Стрелять!».

Таким образом, изменения от варианта к варианту величины расходов и доходов охотника может приводить к разным решениям и, соответственно, разным поступкам.

Интересным является одно из свойств байесова правила принятия решения, появляющееся благодаря связи этого правила с теорией информации – оно требует выбирать ту гипотезу, неопределенность которой на величину logλ₀меньше неопределенности другой гипотезы. Другими словами, человек стремится построить концептуальную модель своих действий с наименьшей потерей информации, добиваясь этим максимальной адекватности своего поведения.

Байесова стратегия принятия решения является оптимальной с точки зрения снижения общего среднего риска при принятии решения. Однако существуют и иные критерии оптимальности для оценки качества принимаемых решений, имеющие не столь общий и универсальный характер. Эти «частные» критерии оптимальности решения и соответствующие им стратегии различаются в зависимости от того, каковы условия, в которых приходится принимать решение, и целями, которые преследуются человеком, принимающим решение.

Так, если не имеется возможности оценить априорные вероятности q₁ и q₂, использовать байесово правило принятия решения в полной мере невозможно. Однако можно выбрать другие значения этих вероятностей и , отличные от реальныхq₁ и q₂ - такие, при которых величина среднего риска R (см. (11)) была бы максимальной при использовании байесовой стратегии. При выбранных таким образом значениях априорных вероятностей, как бы они не отличались от реальных значений q₁ и q₂, суммарный средний риск R (суммарные потери) будет минимален. Иначе говоря, при этих значениях и средний риск (потери) будут одними и теми же для любых значенийq₁ и q₂. Действуя таким образом, испытуемый стремится тем самым минимизировать ошибки обоего рода. Стратегия (и критерий), соответственно которой испытуемый выбирает такой вариант действий, называется минимаксной стратегией.

Минимаксный критерий относится к классу байесовых, поскольку в нем также используется отношение правдоподобия. Но по сравнению с байесовым правилом он является более осторожным, и, следовательно, менее оптимальным. Несмотря на явное превосходство байесова критерия над минимаксным при полноте исходных данных, последний при определенных условиях, когда байесов критерий приводит к грубым ошибкам, является «лучшим среди худших». Он предохраняет от слишком больших потерь, которые понес бы тот, кто пользовался бы любым другим правилом принятия решения.

В некоторых задачах, связанных с принятием решения, испытуемый может столкнуться с ситуацией, когда неизвестны ни априорные вероятности, ни стоимости, соответствующие различным типам ответов. В этом случае оптимальной может быть стратегия (критерий) Неймана-Пирсона – фиксируется вероятность ошибок одного рода (в нашем случае – это пропуск стимула или ложная тревога) и используется такое правило принятия решения, чтобы одновременно минимизировать вероятность ошибок другого рода.

Существуют и другие варианты критериев оптимальности – STD (цель – максимизация выигрыша), Зигерта (цель – максимизация процента правильных ответов), критерий 1 рода (цель – минимизировать неопределенность входной информации) и 2 рода (цель – достижение максимально устойчивой деятельности), и т.д., однако их рассмотрение выходит за рамки настоящего пособия.