§ 110. Касательная к эллипсу

Уравнение касательной в неособой точке к линии, заданной неявным уравнениемпишется в виде

, (1)

где и- значения частных производных от функциив точке.

Для эллипса, заданного каноническим уравнением, уравнение касательной в точке лежащей на этом эллипсе имеет вид:

,

или (так как ):.

§ 111. Оптическое свойство эллипса

Теорема: Касательная к эллипсу в произвольной его точке является биссектрисой внешнего углатреугольника, имеющего своими вершинами фокусыиэллипса и данную точку.

Доказательство. Рассмотрим уравнение касательной к эллипсу в данной на нем точке:

Отношение расстояний иот фокусовиэллипса до касательной в точкеравно отношению модулей результатов подстановки координат фокусовив левую часть уравнения касательной.

Отметим, что результаты подстановок – икоординат фокусовив левую часть уравнения касательной – числа одного знака:

;

поэтому оба фокуса ирасположены по одну сторону от касательной к эллипсу в произвольной его точке.

Обозначить черезиоснования перпендикуляров, опущенных из фокусов эллипса на касательную к нему, проведенную в точке(рис.).

Тогда , так как они прямоугольные и по доказанному

,

поэтому , следовательно, уголравен углу, где точкалежит на продолжении отрезказа точку.

Поэтому касательная к эллипсу в произвольной его точке является биссектрисой внешнего углатреугольника, имеющего своими вершинами фокусыиэллипса и данную точку. Теорема доказана.

Из этой теоремы непосредственно вытекает способ построения касательной к эллипсу в произвольной его точке.

Доказанной теореме можно дать следующую физическую интерпретацию: если поместить в один из фокусов эллипса источник света, то лучи после отражения их от эллипса соберутся в другом фокусе, так как световой луч отражается от эллипса, как от касательной, проведенной к эллипсу, в точке падения луча (см. рис.). Слово фокус по латыни означает «очаг».

Дома. Параграф 18 по Клетенику. №444-№454