- •Глава III.
- •§ 22. Примеры составления уравнений линии.
- •П. Поверхности и линии в пространстве.
- •§ 23. Поверхность и ее уравнение.
- •§ 24. Примеры составления уравнений поверхностей
- •§ 25. Цилиндрические и конические поверхности.
- •1. Цилиндрические поверхности.
- •2. Конические поверхности.
- •§ 26. Поверхности вращения.
- •§ 27. Линия в пространстве и ее уравнения. Линия в пространстве может быть задана двумя уравнениями
- •§ 28. Примеры уравнений линий в пространстве.
- •§ 29. Задачи к главе III для самостоятельного решения
Глава III.
ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ.
ЛЕКЦИЯ 1
I. ЛИНИЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 21. О понятии линии и ее уравнениях.
Определение I. Уравнением линии в декартовой системе координат называется уравнение F(x,y)=0, (1) (это неявное уравнение линии) которому удовлетворяют координаты х, у всех точек этой линии и только координаты таких точек.
В частности, уравнение линии может иметь вид y=f(x) (явное уравнение) (2).
Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение (3), (это тоже неявное уравнение) которому удовлетворяют полярные координаты ивсех точек этой линии и только координаты таких точек.
В частности, уравнение линии в полярных ко-ординатах может иметь вид (явное) (4).
Определение II. Параметрическими уравнениями линии в декартовой системе координат называются уравнения вида , где функции x(t) и у(t) имеют одну и ту же область определения, каждому значению t из этой области соответствует точка M(x(t),y(t)) рассматриваемой линии и каждая точка М этой линии соответствует некоторому значению t из области определения функций x(t) и y(t), т. е. для любой точки М линии найдется такое значение t, что x(t) и y(t) будут координатами точки М. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в полярных координатах.
§ 22. Примеры составления уравнений линии.
Пример 1. Рассмотрим окружность S радиуса r с центром в точке C(a,b) заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат (рис. 46) Пусть М(x,y) - произвольная точка плоскости. Точка М лежит на окружности
рис. 46
рис. 47
S тогда и только тогда, когда расстояние между точками М и С равно радиусу r окружности S.
Расстояние между точками М и С равно ,поэтому уравнение окружностиS имеет вид , или (1), или(1').
В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид (рис.47) ; (2),(2').
Уравнения (1') и (2') называются нормальными уравнением окружности.
Пример 2. Составить уравнение линии, произведение расстояний любой точки которой до двух данных точек F1 и F2 равно данному числу b2.
Решение. Пусть расстояние между точками F1 и F2 равно 2а. За начало О декартовой прямоугольной системы координат на плоскости примем середину отрезка F1F2 , а прямую F1F2 с положительным направлением от О к F2 примем за ось Ох. Точка F1 в выбранной системе координат имеет координаты: (-а,0), а точка F2 - (а,0). Согласно условию задачи или . Применяя формулу расстояния между двумя точками, находим, и соотношение принимает вид:
,
Линии, определяемые этим уравнением, называются овалами Кассини. Изображения их (для случаев a>b , а=b, а < b) даны на рис. 48. Если а=b,
Рис. 48
т. е. если произведение расстояний от точки М до точек F1 и F2, равно квадрату половины расстояния между точками F1 и F2, то овал Кассини называется лемнискатой Бернулли (рис. 49). Уравнение лемнискаты имеет вид
.
Составим уравнение лемнискаты еще в полярной системе координат, принимая точку О за полюс, а положительную полуось Ох за полярную ось.
Заменяя в уравнении лемнискаты х и у их выражениями через полярные координаты получим или .
При изменении от до 0 функция возрастает от 0 до , а при изменении от 0 до - эта функция убывает от до 0; получается петля, расположенная в первой и четвертой четвертях; при изменении отдополучается другая петля, расположенная во второй и третьей четвертях, симметричная первой относительно полюса.
Рис. 49
Значениям , для которыхсоответствуют мнимые значения функции, следовательно, этим значениямне соответствуют никакие точки лемнискаты.
Что касается построения овалов Кассини, то точки этих линий удобнее всего строить, исходя из геометрического определения линии. Уравнения линий иногда удобно составлять в полярной системе координат. Рассмотрим следующий пример линии . Подумайте, что это за линия.