- •Глава III.
- •§ 22. Примеры составления уравнений линии.
- •П. Поверхности и линии в пространстве.
- •§ 23. Поверхность и ее уравнение.
- •§ 24. Примеры составления уравнений поверхностей
- •§ 25. Цилиндрические и конические поверхности.
- •1. Цилиндрические поверхности.
- •2. Конические поверхности.
- •§ 26. Поверхности вращения.
- •§ 27. Линия в пространстве и ее уравнения. Линия в пространстве может быть задана двумя уравнениями
- •§ 28. Примеры уравнений линий в пространстве.
- •§ 29. Задачи к главе III для самостоятельного решения
П. Поверхности и линии в пространстве.
§ 23. Поверхность и ее уравнение.
Уравнением поверхности в общей декартовой или в прямоугольной системе координат называется уравнение F(х,у,z)=0, которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности и не удовлетворяется координатами точек, не лежащих на поверхности.
Аналогично определяется уравнение поверхности в сферических координатах (неявное) и в цилиндрических координатах (неявное).
В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например в виде z=f(x,y).
Наконец, поверхность может быть задана параметрическими уравнениями.
Параметрическими уравнениями поверхности П в декартовой системе координат называются уравнения вида
где функции и имеют одну и ту же область определенияD (которая представляет собой множество упорядоченных пар чисел (и,); каждой паре чисел (и,) из этой области D соответствует точка M(x(u,), y(u,), z(и,)) поверхности П, и для любой точки М поверхности П найдется пара чисел и, из области D, такая, что х(и,), у (и,), z (и,) будут координатами точки М. Числа и и называются криволинейными (или внутренними) координатами точки М. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в цилиндрических и сферических координатах.
§ 24. Примеры составления уравнений поверхностей
Пример 1. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Рассмотрим сферу S радиуса а с центром в точке С. Точка М(х,у,z) лежит на сфере S тогда и только тогда, когда длина отрезка СМ равна а (рис. 55) или тогда и только тогда, когда или
.
В частности, уравнение сферы радиуса а с центром в начале координат имеет вид .
Пример 2. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуz, а кроме того - полярную, принимая положительную полуось Ох за полярную ось, за экваториальную плоскость - плоскость хОу, причем ориентируем ее треугольником (E1 и E2—масштабные точки осей Ох и Оу), а за зенитную ось - ось Оz. Рассмотрим сферу S радиуса а с центром в начале координат. Возьмем на этой сфере произвольную точку М(х,у,z), обозначим ее долготу и широту соответственно через u и (рис. 56).
Рис. 55
Рис. 56
Тогда (см. § 19, формулы (1)) ; таковы параметрические уравнения рассматриваемой сферы S. Криволинейные координаты точки М - это ее долгота и и широта . Область D изменения параметров и, такова:
Заметим, что сферу S в сферических координатах можно записать уравнением =а.
Пример 3. Составим уравнение прямой круговой конической поверхности К, вершина которой находится в начале декартовой прямо-угольной системы координат, а острый угол между образующими поверхности и осью Оz равен .
Пусть М(х,у,z) - произвольная точка поверх-ности К; тогда расстояние MQ от этой точки М до оси Оz равно расстоянию М'O от проекции М' (х,у,0) точки М(х,у,z) в плоскость хОу до начала координат (рис. 57), т. е. .
С другой стороны, , а так как , то из последних соотношений находим , откуда .
О
Наряду с декартовой прямоугольной системой координат введем полярную, как это сделано в § 19 (и в предыдущем примере). Обозначим через и расстояние от точки М до начала координат, а через -долготу точки М. Тогда
.
Однако этими параметрическими уравнени-ями не задается вся поверхность К, (так как ). Для задания параметрическими уравнениями всей поверхности К следует считать, что u принимает все действительные значения. Таким образом, область D изменения параметров и и такова: . (D)
При таком выборе области D изменения параметров и и предыдущие уравнения являются параметрическими уравнениями поверхности К.
Заметим, что часть поверхности К, соответствующая неотрицательным значениям и (т. е. одна полость конической поверхности К.) , в сферических координатах может быть записана уравнением вида ,
Рис. 58
(знак + соответствует "верхней" части поверхности К, знак - "нижней").
Пример 4. Докажем, что уравнение где , в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением прямой круговой цилиндрической поверхности П с образующими, параллельными оси Оz, причем плоскость хОу пересекает эту поверхность по окружности С радиуса а с центром в начале координат.
В самом деле, координаты точки М(х,у,z) удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда координаты М'(х,у,0) проекции точки М на плоскость хОу удовлетворяют этому уравнению, а это значит, что точка М лежит на поверхности, заданной уравнением тогда и только тогда, когда ее проекция М' на плоскость хОу лежит на окружности С: (). Значит, есть уравнение цилиндрической поверхности П, описанной выше (рис. 58).