Lysenko_physics_lek_2[1]

порожнини підтримувати при деякій температурі T , то з отвору виходить випромінювання, яке є досить близьким за спектральним складом до випромінювання абсолютно чорного тіла при тій самій температурі. Розкладаючи це випромінювання у спектр за допомогою дифракційної решітки й вимірюючи інтенсивність різних ділянок спектра, можна знайти експериментально вигляд функції f (ω,T ) або ϕ(λ,T ). Результати таких дослідів наведені на

рис. 68.3. Різні криві відносять до різних значень температури T абсолютно чорного тіла. Площа, яку охоплює крива, дає енергетичну світність абсолютно чорного тіла при відповідній температурі.

Рисунок 68.3 – Експериментальні криві залежності випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла від довжини хвилі для трьох значень температури

Зрис. 68.3 випливає, що енергетична світність абсолютно чорного тіла сильно зростає

зтемпературою. Максимум випромінювальної здатності зі збільшенням температури зміщується убік більш коротких хвиль.

§ 69 Закон Стефана-Больцмана, формула Віна, закон зміщення Віна [6]

1 Теоретичне пояснення законів випромінювання абсолютно чорного тіла мало величезне значення в історії фізики – воно привело до поняття квантів енергії.

Довгий час спроби отримати теоретично вигляд функції f (ω,T ) не давали загального

розв’язку проблеми. В 1879 р. Стефан, аналізуючи експериментальні дані, дійшов висновку, що енергетична світність будь-якого тіла пропорціональна четвертому ступеню термодинамічної температури. Однак наступні більш точні виміри показали помилковість його висновків.

У 1884 р. Больцман, виходячи з термодинамічних міркувань, отримав теоретично для енергетичної світності абсолютно чорного тіла значення

∞

R* = ò f (ω,T )dω = σT 4 , (69.1)

0

де σ – стала величина; T – термодинамічна температура. (Щоб підкреслити, що мова йде про енергетичну світність абсолютно чорного тіла, ми позначили R зірочкою.) Таким чином, висновок, до якого Стефан прийшов для нечорних тіл (з абсолютно чорними тілами він не експериментував), виявися справедливим лише для абсолютно чорних тіл.

142

Співвідношення (69.1) між енергетичною світністю абсолютно чорного тіла і його термодинамічною температурою отримало назву закону Стефана-Больцмана. Константу

σ називають сталою Стефана-Больцмана. Її експериментальне значення дорівнює

де y(lT ) – деяка функція добутку λT .

Співвідношення (69.4) дозволяє встановити залежність між довжиною хвилі lm максимуму функції j(l,T ) і температурою. Продиференцiюємо це співвідношення за λ :

невідомого деяке число, яке позначимо буквою b . Таким чином, отримали співвідношення

яке називають законом зміщення Віна. Експериментальне значення константи b дорівнює

§ 70 Формула Релея-Джинса. Ультрафіолетова катастрофа [6]

1 Загальний метод теоретичного визначення функції f (w,T ) в рамках класичної

фізики був запропонований Релеєм і пізніше розвинений Джинсом. З позицій класичної фізики доведення Релеєм та Джинсом універсальної функції Кірхгофа було бездоганним, однак з дослідом отриманий результат не узгоджувався. Ця розбіжність отримала назву ультрафіолетової катастрофи.

Функцію Кірхгофа f (w,T ), яка точно відповідає експериментальним даним, вдалося знайти М.Планку в 1900 р. При цьому йому довелося використати далеке від класичних

143

уявлень припущення, що електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів). Це було народженням квантової фізики.

2 Розглянемо схему доведення функції Кірхгофа, що є справедливою як і у випадку доведення Релея-Джинса, так і у випадку доведення Планка.

1Універсальна функція Кірхгофа f (w,T ), яка є випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла (усереднена за напрямками спектральна густина потоку енергії), пов’язана зі спектральною густиною енергії теплового випромінювання uω співвідношенням подібним до формули вектора Умова

де c – швидкість світла.

2 Теплове випромінювання є сукупністю власних коливань системи. Визначаємо спектральну кількість власних коливань в одиниці об’єму nω .

3Знаходимо середню енергію одного коливання e .

4Спектральну густину енергії теплового випромінювання визначаємо як добуток спектральної кількості коливань в одиниці об’єму на середню енергію одного коливання

Далі, підставляючи вираз (70.2) у співвідношення (70.1), знаходимо шукану універсальну функцію Кірхгофа

f (w,T )= c ×nω e / 4.

Доведення універсальної функції Кірхгофа Релеєм-Джинсом та Планком відрізняються лише способом знаходження середньої енергії одного коливання e .

3 Розглянемо доведення універсальної функції Кірхгофа Релеєм-Джинсом.

Перший пункт схеми

Спектральною густиною енергії теплового випромінювання називають функцію uω , яка пов’язана з густиною енергії таким співвідношенням:

де ω – циклічна частота електромагнітної хвилі. Як відомо, енергетична світність абсолютно чорного тіла (потік енергії, що випускається одиницею поверхні випромінюючого тіла в усіх

∞

напрямках) пов’язана з універсальною функцією Кірхгофа таким чином R* = ò f (w,T )dw. З

0

іншого боку спрямований потік енергії через одиницю поверхні (густина потоку j ) пов’язаний з густиною енергії вектором Умова j = w×c . Це означає, що має місце зв’язок

Останній вираз у (70.4) пояснює співвідношення (70.1). Коефіцієнт 1/4 у формулі (70.1)

пов’язаний з тим, що теплове випромінювання поширюється у всіх напрямках у межах тілесного кута 2π, а вектор Умова визначає співвідношення між величинами хвилі, яка поширюється в одному визначеному напрямку.

Другий пункт схеми

Розглянемо одновимірний випадок. Із вчення про коливання й хвилі відомо, що в закріпленій на кінцях струні найбільш інтенсивними є коливання лише таких частот, коли на довжині струни вкладається ціле число напівхвиль. Ці коливання мають характер стоячих хвиль, причому на кінцях струни знаходяться вузли хвилі. Кількість стоячих хвиль і визначає

144

кількість власних коливань системи. Якщо довжина одновимірної області (об’єм одновимірної області) дорівнює a , то тоді можемо записати a = N ×l / 2 , де N – кількість стоячих хвиль (кількість власних коливань), що виникають у досліджуваній системі. Використаємо зв’язок між довжиною хвилі та частотою l = 2pc / w , і знайдемо кількість власних коливань в одиниці об’єму:

Далі знаходимо спектральну густину коливань (кількість коливань на одиницю частоти)

Тут враховано, що електромагнітні хвилі теплового випромінювання мають дві взаємно перпендикулярні лінійні поляризації.

Четвертий пункт схеми

Енергію в одиниці об’єму uωdω, що припадає на спектральний інтервал dω , можемо знайти, перемножуючи кількість коливань nωdω в цьому самому спектральному інтервалі на середню енергію такого коливання ε = kT . Таким чином, використовуючи (70.7) та (70.8) знаходимо

Далі використовуючи (70.1), знаходимо шукану універсальну функцію Кірхгофа за Релеєм-Джинсом:

145

Співвідношення (70.9) та (70.10) називаються формулами Релея-Джинса для теплового випромінювання.

4 Формули Релея-Джинса (70.9), (70.10) для теплового випромінювання задовільно узгоджуються з експериментальними даними лише при великих довжинах хвиль і різко розходяться з дослідом для малих довжин хвиль (див. рис. 70.1, на якому суцільною лінією зображена експериментальна крива, штриховою – крива, побудована за формулою РелеяДжинса).

Інтегрування виразу (70.10) за ω у межах від 0 до ∞ дає для енергетичної світності абсолютно чорного тіла R нескінченно велике значення. Цей результат, який отримав назву ультрафіолетової катастрофи, також суперечить досліду.

Із класичної точки зору доведення формули Релея-Джинса є бездоганним. Тому розбіжність цієї формули з дослідом указувало на існування якихось закономірностей,

2 Розглянемо, як М.Планк визначив середню енергію власного коливання теплового випромінювання, і потім знайдемо формулу Планка для універсальної функції Кірхгофа.

Щоб отримати функцію Кірхгофа f (w,T ), яка узгоджується з експериментальними

даними, М.Планку довелося використати далеке від класичних уявлень припущення

(гіпотеза Планка): електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих

порцій енергії (квантів), які пропорційні частоті випромінювання:

отримали з часом назву сталої Планка. Визначене з досліду значення цієї сталої дорівнює

Гіпотеза Планка дала початок новому напрямку розвитку фізики, який отримав назву квантової фізики. Гіпотеза Планка дала початок зміні уявлень людства про мікроскопічний світ.

Якщо випромінювання випускається порціями hω, то енергія такої хвилі en повинна бути кратною цій величині:

У стані теплової рівноваги розподіл коливань за значеннями енергії повинен підкорятися розподілу Больцмана

146

exp(hw/(kT )) можна вважати такою, що приблизно дорівнює 1+ hw/(kT ). У результаті цього формула Планка переходить у формулу Релея-Джинса. Це випливає також з того, що при зазначеній вище умові вираз (71.12) наближено дорівнює kT .

З формули Планка випливають закони Стефана-Больцмана й Віна. Отже, формула Планка дає вичерпний опис рівноважного теплового випромінювання.

Таким чином, ідея про те, що випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів), а не неперервно привела до результату, який повністю узгоджується з експериментом.

ТЕМА 12 ФОТОНИ

§ 72 Гальмівне рентгенівське випромінювання. Короткохвильова межа рентгенівського випромінювання [6]

1 У 1895 р. Рентген виявив, що при бомбардуванні скла й металів швидкими електронами виникає випромінювання, яке має велику проникну здатність. Сам Рентген назвав відкрите ним випромінювання Х-променями (ікс-променями). Потім воно отримало назву рентгенівських променів. Подальші дослідження показали, що рентгенівське випромінювання є електромагнітним випромінюванням з довжиною хвилі в межах від

електронів здійснюється високою напругою, що створюється між катодом і антикатодом. Майже вся енергія електронів виділяється на антикатоді у вигляді теплоти (у випромінювання перетворюється лише 1-3 % енергії). Тому в потужних трубках антикатод доводиться інтенсивно охолоджувати. Із цією метою в тілі антикатода роблять канали, по яких циркулює охолоджуюча рідина (вода або масло).

3 Якщо між катодом і антикатодом прикладені напруга U , електрони розганяються до енергії eU . Потрапивши в речовину антикатода, електрони сильно гальмуються, тобто рухаються з великим прискоренням і тому стають джерелом електромагнітних хвиль. При достатньо великій початковій швидкості електронів, крім гальмівного випромінювання

(тобто випромінювання, яке обумовлене гальмуванням електронів), збуджується також характеристичне випромінювання (викликане збудженням внутрішніх електронних оболонок атомів антикатода). У цьому параграфі нас буде цікавити тільки гальмівне випромінювання. Відповідно до класичної електродинаміки при гальмуванні електрона повинні виникати хвилі всіх довжин – від нуля до нескінченності. Довжина хвилі, на яку припадає максимум потужності випромінювання, повинна зменшуватися зі збільшенням швидкості електронів, тобто напруги U на трубці. На рис. 72.2 подані експериментальні

148

криві розподілу потужності гальмівного рентгенівського випромінювання за довжинами хвиль, які отримані для різних значень U . З рисунка випливає, що висновки теорії в основному підтверджуються на досліді. Однак є одне принципове неузгодження з класичною електродинамікою. Воно полягає у тому, що криві розподілу потужності не йдуть до початку координат, а обриваються при скінченних значеннях довжини хвилі lmin . Ці

значення довжини хвиль називають короткохвильовою межею рентгенівського випромінювання.

h = 1239×10−9 e =1,053×10−34 Дж ×с , 2pc

яке збігається зі значенням, що випливає із законів теплового випромінювання.

§ 73 Зовнішній фотоефект. Закони фотоефекту. Формула Ейнштейна для фотоефекту [6]

й суцільною пластиною, був включений послідовно з гальванометром G у ланцюг батареї. Світло, проходячи через сітку, падало на суцільну пластину. У результаті в електричному колі виникав струм, який реєструвався гальванометром. На базі своїх дослідів Столєтов дійшов до таких висновків: 1) найбільшу дію мають ультрафіолетові промені; 2) сила струму

149

зростає зі збільшенням освітленості пластини; 3) заряди, що випускаються під дією світла, мають від’ємний знак.

Через 10 років (у 1898 р.) Ленард і Томсон, вимірявши питомий заряд частинок, які вибиваються під дією світла, встановили, що ці частинки є електронами (електрон був відкритий Томсоном у 1897 р.).

2 Ленард й інші дослідники вдосконалили прилад Столєтова, помістивши електроди в евакуйований балон (рис. 73.2). Світло, що проникає через кварцове віконце Кв, освітлює катод К, який виготовлений з досліджуваного матеріалу. Електрони, вибиті внаслідок фотоефекту, рухаються під дією електричного поля до анода А. У результаті цього у електричному колі приладу проходить фотострум, який вимірюється гальванометром G. Напругу між анодом і катодом можна змінювати за допомогою потенціометра П.

Отримана на такому приладі вольт-амперна характеристика (тобто крива залежності фотоструму I від напруги між електродами U ) наведена на рис. 73.3. Зрозуміло, що вольтамперна характеристика знімається при незмінному потоці світла Φ . Із цієї кривої видно, що при деякій не дуже великій напрузі фотострум досягає насичення – всі електрони, які випущені катодом, попадають на анод. Отже, сила струму насичення Iн визначається

кількістю електронів, які випускаються катодом за одиницю часу під дією світла.

Пологий хід кривої вказує на те, що електрони вилітають із катода з різними за величиною швидкостями. Частина електронів, що відповідає силі струму при U = 0 , має швидкості, які є достатніми для того, щоб долетіти до анода «самостійно», без допомоги прискорювального поля. Для того щоб сила струму стала дорівнювати нулю, потрібно прикласти затримуючу напругу Uз . При такій напрузі жодному з електронів, який навіть

де m – маса електрона. Таким чином, вимірявши затримуючу напругу Uз , можна визначити

максимальне значення швидкості фотоелектронів.

До 1905 р. було експериментально з'ясовано, що максимальна швидкість фотоелектронів не залежить від інтенсивності світла, а залежить тільки від його частоти – збільшення частоти приводить до зростання швидкості. Також було визначено, що струм насичення Iн є пропорційним до інтенсивності світла, яке падає на поверхню

досліджуваного матеріалу.

Таким чином, дослідним шляхом були встановлені три закони фотоефекту:

1) Максимальна початкова швидкість фотоелектронів визначається частотою світла й не залежить від його інтенсивності.

150