Lysenko_physics_lek_2[1]

точки P повільно зростає з номером зони m (величині bm у (55.6) відповідає r ). Кут ϕ між нормаллю до елементів зони й напрямом на точку P також зростає з m . Все це приводить до того, що амплітуда Am коливання, яке збуджується m -ю зоною в точці P , відповідно до (55.6) монотонно зменшується з ростом m . Навіть при дуже великих m , коли площа зони починає помітно зростати з m (див. (55.3)), зменшення множника K(j), переважає зростанню DSm , так що Am продовжує зменшуватися. Таким чином, амплітуди коливань, які

збуджуються у точці P зонами Френеля, утворюють послідовність, яка монотонно зменшується:

A1 > A2 > A3 > ...Am−1 > Am > Am+1 > ...

Фази коливань, які збуджуються сусідніми зонами, як ми з’ясували вище,

відрізняються на π . Тому амплітуда A результуючого коливання в точці P може бути подана у вигляді

A = A1 - A2 + A3 - A4 +...

У цей вираз усі амплітуди від непарних зон входять із одним знаком, а від парних зон – із іншим. Напишемо цей вираз таким чином:

Внаслідок монотонного зменшення Am можна вважати, що

Am = Am−1 + Am+1 . 2

Тоді вирази в дужках (55.7) будуть дорівнювати нулю, а формула (55.7) спрощується:

Згідно з (55.8) амплітуда, що створюється в деякій точці P усією сферичною хвильовою поверхнею, дорівнює половині амплітуди, яку створює лише одна центральна зона. Якщо на шляху хвилі поставити непрозорий екран з отвором, що залишає відкритою тільки центральну зону Френеля, амплітуда в точці P буде дорівнювати A1 , тобто у два рази

перевищить амплітуду (55.8). Відповідно інтенсивність світла в точці P буде у цьому випадку в чотири рази більше, ніж за умови відсутності перешкоди між точками S та P .

5 Розв’яжемо задачу про поширення світла від джерела S до точки P методом графічного додавання амплітуд. Розіб'ємо хвильову поверхню на кільцеві зони, аналогічні зонам Френеля, але набагато менші за шириною (різниця ходу від країв зони до точки P становить однакову для всіх зон малу частину λ ). Коливання, що створюється у точці P такою зоною, зобразимо у вигляді вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а кут, який утворений таким вектором із напрямком, взятим за початок відліку, буде дорівнювати початковій фазі коливання (використовуємо метод векторних діаграм). Амплітуда коливань, які створюються такими зонами в точці P , повільно зменшується при переході від зони до зони. Кожне наступне коливання відстає від попереднього за фазою на одну і ту саму величину. Отже, векторна діаграма, яку ми отримуємо при додаванні коливань, що збуджується окремими зонами, має вигляд, показаний на рис. 55.3.

113

Якби амплітуди, що створюються окремими зонами, були однаковими, кінець останнього із зображених на рис. 55.3 векторів збігся б з початком першого вектора. У дійсності значення амплітуди, хоча й дуже слабко, але зменшується, внаслідок чого вектори утворюють не замкнену фігуру, а ламану спіралеподібну лінію.

У границі при прямуванні ширини кільцевих зон до нуля (число їх буде при цьому необмежено зростати) векторна діаграма набуде вигляду спіралі, що закручується до точки C (рис. 55.4). Фази коливань у точках 0 і 1 відрізняються на π (нескінченно малі вектори, що утворюють спіраль, напрямлені у цих точках у протилежні боки). Отже, ділянка спіралі 0–1 відповідає першій зоні Френеля. Вектор, проведений із точки 0 у точку 1 (рис. 55.5а), зображує коливання, яке збуджується у точці P цією зоною. Аналогічно вектор, проведений із точки 1 у точку 2 (рис. 55.5б), зображує коливання, яке збуджується другою зоною Френеля. Коливання від першої й другої зон перебувають у протилежних фазах; відповідно до цього вектори 01 і 12 напрямлені у протилежні боки.

Рисунок 55.5 – Векторна діаграма для знаходження амплітуди в центрі дифракційної картини на круглому отворі

Коливання, яке збуджується у точці P усією хвильовою поверхнею, зображується вектором 0С (рис. 55.5в). З рисунка випливає, що амплітуда в цьому випадку дорівнює половині амплітуди, яку створює перша зона. Цей результат ми отримали раніше алгебраїчно (див. формулу (55.8)). Зазначимо, що коливання, які збуджуються внутрішньою половиною першої зони Френеля, зображується вектором 0В (рис. 55.5г). Таким чином, дія внутрішньої

половини першої зони Френеля не еквівалентна половині дії першої зони. Вектор 0В в 2 разів більше від вектора 0С. Отже, інтенсивність світла, яка створюється внутрішньою половиною першої зони Френеля, у два рази перевищує інтенсивність, яка створюється всією хвильовою поверхнею.

114

Непарне m Парне m

Рисунок 56.3 – Картина, яку отримуємо при дифракції на круглому отворі

Якщо отвір відкриває лише частину центральної зони Френеля, на екрані отримуємо розмиту світлу пляму; чергування світлих і темних кілець у цьому випадку не виникає. Якщо отвір відкриває велику кількість зон, чергування світлих і темних кілець спостерігається лише в дуже вузькій області на межі геометричної тіні; усередині цієї області освітленість виявляється практично рівномірною.

§ 57 Дифракція Френеля на круглому диску. Амплітуда світлового вектора в центрі дифракційної картини. Характер дифракційної картини [5]

Амплітуди сусідніх зон практично однакові. Тому вирази в дужках можна вважати такими,

що дорівнюють нулю. Отже, в центрі дифракційної картини завжди буде максимум

2 З'ясуємо характер картини, яку ми отримуємо на екрані. Очевидно, що освітленість може залежати тільки від відстані r до точки P (рис. 57.1). При невеликому числі закритих зон амплітуда Am+1 мало відрізняється від A1 . Тому інтенсивність у точці S буде майже така

сама, як за умови відсутності перешкоди між джерелом S і точкою P . Для точки P′, яка зміщена відносно точки P у будь-якому радіальному напрямку, диск буде перекривати частину (m +1) -ї зони Френеля, одночасно відкриється частина m -ї зони. Це приведе до

зменшення інтенсивності. При деякому положенні точки P′ інтенсивність досягає мінімуму. Якщо зміститися від центра картини ще далі, диск перекриє додатково частину (m + 2) -ї

зони, одночасно відкриється частина (m −1) -ї зони. У результаті інтенсивність зростає й у

точці P′′ досягне максимуму.

Таким чином, у випадку непрозорого диска дифракційна картина має вигляд світлих і темних концентричних кілець, які чергуються. У центрі дифракційної картини знаходиться світла пляма (рис. 57.2). Зміна інтенсивності світла I залежно від відстані r від центра картини зображена на рис. 57.1 б.

Якщо диск закриває лише невелику частину центральної зони Френеля, він зовсім не відкидає тіні – освітленість екрана всюди залишається такою самою, як і за умови відсутності перешкоди. Якщо диск закриває багато зон Френеля, чергування світлих і темних

117

ділянки відкритої частини хвильової поверхні є джерелами вторинних хвиль, а світлове поле за щілиною знаходиться як результат інтерференції цих когерентних вторинних хвиль. Знайдемо, використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля, амплітуду і інтенсивність світла на екрані як функцію кута відхилення від прямолінійного напрямку поширення ϕ .

Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні на N однакових паралельних краям

елементарних зон, які інтерферують між собою. Різницю ходу для двох сусідніх зон, відстань

1

Рисунок 58.2 – Векторна діаграма для визначення амплітуди Aϕ суми N

коливань із однаковою амплітудою A , зміщених за фазою одна відносно одної на кут δ . Рисунок виконаний для N =6

Таким чином, у точці P інтерферують N хвиль із однаковою амплітудою A0 / N , які мають зміщення за фазою відносно одна одної на кут δ . Тоді результуюче коливання буде

векторних діаграм. Згідно з методом векторних діаграм кожне коливання зображується вектором, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кут між напрямком цього вектора та напрямом, який взято за вихідний, дорівнює початковій фазі коливання. Відповідно до (58.3) вектори усіх коливань мають однакову амплітуду A . Початкові фази коливань є різними і відрізняються на одну і ту саму величину, що дорівнює δ . Якщо скласти ці вектори геометрично, то неважко побачити, що вони утворюють частину багатокутника, який вписано в коло радіусом R . З рисунка випливає, що:

A / 2 = R sin(δ / 2),

Aϕ / 2 = Rsin[(2π − Nδ)/ 2] = R sin(π − Nδ / 2)= R sin(Nδ / 2). 119

3 Коли замість A у формулу (58.4) підставимо вираз (58.1), а замість δ – вираз (58.2), то отримаємо

Цей вираз є наближеним. Він буде тим більш точним, чим меншими будуть елементарні зони, тобто чим більшим буде N . Тоді знаменник набере вигляду

Тут використали, що lim{sin a / a}=1. Таким чином, вираз для амплітуди у точці P можемо

α→0

записати

З’ясуємо фізичний зміст константи A0 . Для цього розглянемо вираз (58.5) для

де I0 – інтенсивність усередині інтерференційної картини (при ϕ = 0); Iϕ – інтенсивність у точці, положення якої визначається даним значенням ϕ .

4 Проаналізуємо отриманий результат. Як з’ясували вище, коли ϕ = 0, то Iϕ = I0 .

Далі, прирівнюючи чисельник до нуля, знаходимо умову мінімуму інтенсивності

Таким чином, умова (58.7) визначає положення мінімумів інтенсивності.

Між мінімумами інтенсивності, які визначаються умовами (58.7), знаходяться максимуми різних порядків. Досліджуючи функцію (58.6) на екстремум, можемо знайти їх положення. Наближено можна вважати, що максимуми знаходяться посередині між сусідніми мінімумами.

Графік функції (58.6) зображений на рис. 58.3. Вздовж осі абсцис відкладені значення sin ϕ, осі ординат – інтенсивність Iϕ .

З умови (58.7) випливає, що sin ϕ = ±kλ / b . Модуль синуса не може перевищити одиницю. Тому kλ / b < 1, звідки

120